Структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов - Structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain

В математике , в области абстрактной алгебры , структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов является обобщением фундаментальной теоремы о конечно порожденных абелевых группах и грубо утверждает, что конечно порожденные модули над областью главных идеалов (PID) могут быть однозначно разложенным почти так же, как целые числа имеют разложение на простые множители . Результат обеспечивает простую основу для понимания различных результатов в канонической форме для квадратных матриц над полями .

Заявление

Когда векторное пространство над полем F имеет конечное порождающее множество, то можно извлечь из него основу , состоящую из конечного числа п векторов, а пространство, следовательно , изоморфно к F ^н . Соответствующее утверждение с F, обобщенным на область главных идеалов R , больше не верно, поскольку базис для конечно порожденного модуля над R может не существовать. Однако такой модуль по-прежнему изоморфен частному некоторого модуля R ⁿ с конечным n (чтобы убедиться в этом, достаточно построить морфизм, который отправляет элементы канонического базиса R ⁿ на образующие модуля, и взять фактор его ядром .) Изменяя выбор набора порождающих, можно фактически описать модуль как фактор некоторого R ⁿ по особенно простому подмодулю , и это структурная теорема.

Структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов обычно появляется в следующих двух формах.

Разложение инвариантного фактора

Для каждого конечно порожденного модуля М над областью главных идеалов R , существует единственная убывающая последовательность собственных идеалов таковы , что М изоморфны сумма из циклических модулей : ${\ Displaystyle (d_ {1}) \ supseteq (d_ {2}) \ supseteq \ cdots \ supseteq (d_ {n})}$

${\ displaystyle M \ cong \ bigoplus _ {i} R / (d_ {i}) = R / (d_ {1}) \ oplus R / (d_ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus R / (d_ { n}).}$

Генераторы этих идеалов единственна с точностью до умножения на единицу , и называются инвариантные множители из М . Поскольку идеалы должны быть собственными, эти множители не должны быть обратимыми (это позволяет избежать тривиальных множителей в сумме), а включение идеалов означает, что у человека есть делимость . Свободная часть видна в части разложения, соответствующей факторам . Такие факторы, если таковые имеются, встречаются в конце последовательности. ${\ displaystyle d_ {i}}$${\ Displaystyle d_ {1} \, | \, d_ {2} \, | \, \ cdots \, | \, d_ {n}}$${\ displaystyle d_ {i} = 0}$

В то время как прямая сумма однозначно определяется M , изоморфизм, дающий разложение, в общем случае не единственен . Например, если R на самом деле является полем, тогда все встречающиеся идеалы должны быть равны нулю, и получается разложение конечномерного векторного пространства в прямую сумму одномерных подпространств ; количество таких факторов фиксировано, а именно размерность пространства, но есть большая свобода выбора самих подпространств (если dim M > 1 ).

Ненулевые элементы вместе с числом которых равны нулю, образуют полный набор инвариантов модуля. Явно это означает, что любые два модуля, совместно использующие один и тот же набор инвариантов, обязательно изоморфны. ${\ displaystyle d_ {i}}$${\ displaystyle d_ {i}}$

Некоторые предпочитают писать бесплатную часть M отдельно:

${\ Displaystyle R ^ {F} \ oplus \ bigoplus _ {i} R / (d_ {i}) = R ^ {f} \ oplus R / (d_ {1}) \ oplus R / (d_ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus R / (d_ {nf})}$

где видимые отличны от нуля, а f - это количество нулей в исходной последовательности. ${\ displaystyle d_ {i}}$${\ displaystyle d_ {i}}$

Первичное разложение

Каждый конечно порожденный модуль M над областью главных идеалов R изоморфен одному из видов

${\ displaystyle \ bigoplus _ {i} R / (q_ {i})}$

где и являются первичными идеалами . Они уникальны (с точностью до умножения на единицы). ${\ displaystyle (q_ {i}) \ neq R}$${\ displaystyle (q_ {i})}$${\ displaystyle q_ {i}}$

Элементы называются элементарные делители из М . В PID ненулевые первичные идеалы являются степенями простых чисел и т . Д. Когда , результирующий неразложимый модуль является самим собой, и он находится внутри той части M, которая является свободным модулем. ${\ displaystyle q_ {i}}$${\ displaystyle (q_ {i}) = (p_ {i} ^ {r_ {i}}) = (p_ {i}) ^ {r_ {i}}}$${\ displaystyle q_ {i} = 0}$${\ displaystyle R}$

Слагаемые являются неразложимы , так что первичное разложением является разложением на неразложимые модули, и , таким образом каждый конечно порожденный модуль над PID является полностью разложимым модулем . Поскольку PID являются нётеровыми кольцами , это можно рассматривать как проявление теоремы Ласкера-Нётер . ${\ displaystyle R / (q_ {i})}$

Как и раньше, можно записать отдельно свободную часть (где ) и выразить M как: ${\ displaystyle q_ {i} = 0}$

${\ displaystyle R ^ {f} \ oplus (\ bigoplus _ {i} R / (q_ {i}))}$

где видимые отличны от нуля. ${\ displaystyle q_ {i}}$

Доказательства

Одно доказательство выглядит следующим образом:

• Каждый конечно порожденный модуль над PID также конечно представлен, потому что PID является нетеровым, что является даже более сильным условием, чем когерентность .
• Возьмите презентацию, которая представляет собой карту (отношения к генераторам), и поместите ее в нормальную форму Смита . ${\ Displaystyle R ^ {r} \ к R ^ {g}}$

Это дает инвариантное разложение множителей, и диагональные элементы нормальной формы Смита являются инвариантными множителями.

Еще один набросок доказательства:

• Обозначим через Tm на кручение подмодуль в M . Тогда M / tM - конечно порожденный модуль без кручения , и такой модуль над коммутативным PID является свободным модулем конечного ранга , поэтому он изоморфен для положительного целого числа n . Этот свободный модуль может быть встроен в качестве подмодуля F из М , таким образом, что вложение расколы (является правой обратной) отображение проекции; достаточно , чтобы поднять каждый из генераторов F в М . Как следствие . ${\ displaystyle R ^ {n}}$${\ Displaystyle M = TM \ oplus F}$
• Для простого элемента р в R мы можем говорить . Это подмодуль tM , и оказывается, что каждый N _p является прямой суммой циклических модулей, а tM является прямой суммой N _p для конечного числа различных простых чисел p . ${\ displaystyle N_ {p} = \ {m \ in tM \ mid \ exists i, mp ^ {i} = 0 \}}$
• Объединяя предыдущие два шага, M раскладывается на циклические модули указанных типов.

Следствия

Это включает в себя классификацию конечномерных векторных пространств как частный случай, когда . Поскольку у полей нет нетривиальных идеалов, каждое конечно порожденное векторное пространство свободно. ${\ Displaystyle R = K}$

Взятие дает основную теорему о конечно порожденных абелевых группах . ${\ Displaystyle R = \ mathbb {Z}}$

Пусть Т линейный оператор на конечномерном векторном пространстве V над K . Принимая , то алгебра из многочленов с коэффициентами из K оценивали при Т , дает информацию о структуре Т . V можно рассматривать как конечно порожденный модуль над . Последний инвариантный множитель - это минимальный полином , а произведение инвариантных множителей - это характеристический полином . В сочетании со стандартной матричной формой для , это дает различные канонические формы : ${\ displaystyle R = K [T]}$${\ displaystyle K [T]}$${\ Displaystyle К [Т] / п (Т)}$

• инвариантные факторы + сопутствующая матрица дает нормальную форму Фробениуса (также известную как рациональная каноническая форма )
• первичное разложение + сопутствующая матрица дает первичную рациональную каноническую форму
• примарное разложение + жордановы блоки дают жорданову каноническую форму (последняя верна только над алгебраически замкнутым полем )

Уникальность

Хотя инварианты (ранг, инвариантные множители и элементарные делители) уникальны, изоморфизм между M и его канонической формой не единственен и даже не сохраняет разложение в прямую сумму . Это следует потому, что существуют нетривиальные автоморфизмы этих модулей, не сохраняющие слагаемые.

Однако у одного есть канонический подмодуль кручения T и аналогичные канонические подмодули, соответствующие каждому (отдельному) инвариантному фактору, которые дают каноническую последовательность:

${\ Displaystyle 0 <\ cdots <Т <М.}$

Сравните композиционные ряды в теореме Жордана – Гёльдера .

Например, если и является одним базисом, то является другим базисом, и изменение базисной матрицы не сохраняет слагаемое . Однако он сохраняет слагаемое, так как это торсионный подмодуль (эквивалентно здесь 2-торсионные элементы). ${\ Displaystyle М \ приблизительно \ mathbf {Z} \ oplus \ mathbf {Z} / 2}$${\ displaystyle (1, {\ bar {0}}), (0, {\ bar {1}})}$${\ displaystyle (1, {\ bar {1}}), (0, {\ bar {1}})}$${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle \ mathbf {Z} / 2}$

Обобщения

Группы

Теорема Жордана – Гёльдера является более общим результатом для конечных групп (или модулей над произвольным кольцом). В этой общности получается не прямая сумма , а композиционный ряд .

Теорема Крулля – Шмидта и связанные с ней результаты дают условия, при которых модуль имеет нечто вроде примарного разложения, разложения в виде прямой суммы неразложимых модулей, в которых слагаемые уникальны до определенного порядка.

Первичное разложение

Примарное разложение обобщается на конечно порожденные модули над коммутативными нётеровыми кольцами , и этот результат называется теоремой Ласкера – Нётер .

Неразборные модули

В отличие от этого, уникальная декомпозиция на неразложимые подмодули не является универсальной, и отказ измеряется идеальной группой классов , которая исчезает для PID.

Для колец, которые не являются областями главных идеалов, однозначное разложение может не выполняться даже для модулей над кольцом, порожденным двумя элементами. Для кольца R  =  Z [√ − 5] и модуль R, и его подмодуль M, порожденный 2 и 1 + √ − 5, неразложимы. Хотя R не изоморфно M , R  ⊕  R изоморфно M  ⊕  M ; Таким образом , образы M слагаемые дают неразложимы подмодули L ₁ ,  L ₂  <  R  ⊕  R , которые дают различное разложение R  ⊕  R . Провал однозначно факторизующий R  ⊕  R в прямую сумму неразложимых модулей непосредственно связан (через идеал группы классов) к провалу единственности разложения элементов R на неприводимые элементы R .

Однако в области Дедекинда группа классов идеалов является единственным препятствием, и структурная теорема обобщается на конечно порожденные модули в области Дедекинда с небольшими модификациями. По-прежнему существует единственная торсионная часть с дополнением без кручения (единственная с точностью до изоморфизма), но модуль без кручения над дедекиндовым доменом уже не обязательно является свободным. Модули без кручения над дедекиндовым доменом определяются (с точностью до изоморфизма) рангом и классом Стейница (который принимает значение в группе классов идеалов), а разложение в прямую сумму копий R (свободные модули ранга 1) заменяется на прямая сумма в проективные модули ранга один : отдельные слагаемые не определены однозначно, но класс Стейница (суммы) определен.

Неконечно порожденные модули

Точно так же для модулей, которые не являются конечно порожденными, нельзя ожидать такой красивой декомпозиции: даже количество факторов может меняться. Есть Z -подмодули из Q ⁴ , которые одновременно являются прямыми суммами два неразложимых модулей и прямых суммами три неразложимых модулей, показывающих аналог первичного разложения не может выполняться для бесконечно порожденных модулей, даже над целыми числами, Z .

Другая проблема, которая возникает с неконечно генерируемыми модулями, заключается в том, что есть модули без кручения, которые не являются свободными. Например, рассмотрим кольцо Z целых чисел. Тогда Q - несвободный Z -модуль без кручения . Другим классическим примером такого модуля является группа Бэра – Шпекера , группа всех последовательностей целых чисел при почленном сложении. Вообще говоря, вопрос о том, какие бесконечно порожденные абелевы группы без кручения свободны, зависит от того, какие большие кардиналы существуют. Как следствие, любая структурная теорема для бесконечно порожденных модулей зависит от выбора аксиом теории множеств и может быть неверной при другом выборе.

Рекомендации