Общая точка - Generic point

В алгебраической геометрии , А общая точка Р из алгебраического многообразия X , грубо говоря, точка , в которой все общие свойства истинны, свойство общего быть свойство , которое верно для почти каждой точки.

В классической алгебраической геометрии общая точка аффинного или проективного алгебраического многообразия размерности d - это точка, в которой поле, порожденное ее координатами, имеет степень трансцендентности d над полем, порожденным коэффициентами уравнений многообразия.

В теории схем , то спектр из области целостности имеет уникальную общую точку, которая является минимальным простым идеалом. Поскольку закрытие этой точки для топологии Зарисской есть весь спектр, определение было распространено на общую топологию , где общая точка из топологического пространства X является точкой, замыкание которой X .

Определение и мотивация

Общая точка топологического пространства X является точкой Р которой замыкание все из X , то есть, в точке , которая является плотным в X .

Терминология возникает от случая к топологии Зарисской на множестве подмногообразие в качестве алгебраического множества : алгебраическое множество неприводимо (то есть, она не является объединение двух собственных алгебраических подмножеств) тогда и только тогда , когда топологическое пространство подмногообразие имеет общую точку.

Примеры

История

В основополагающем подходе Андре Вейля , разработанном в его « Основах алгебраической геометрии» , общие точки играли важную роль, но обрабатывались по-другому. Для алгебраического многообразия V над полем K , общие точки из V были целым классом точек V , принимающим значение в универсальной области Ом, алгебраически замкнутое поле , содержащее K , но и бесконечный запас свежих неизвестных. Этот подход работал без какой-либо необходимости иметь дело непосредственно с топологией V (то есть топологией K- Зарисского), потому что все специализации можно было обсуждать на уровне поля (как в подходе теории оценки к алгебраической геометрии, популярной в 1930-е годы).

Это было ценой огромной коллекции одинаково общих точек. Оскар Зариски , коллега Вейля в Сан-Паулу сразу после Второй мировой войны , всегда настаивал на том, чтобы общие очки были уникальными. (Это можно выразить в терминах топологов: идея Вейля не дает пространства Колмогорова, и Зариский мыслит в терминах фактора Колмогорова .)

В результате быстрых фундаментальных изменений 1950-х годов подход Вейля устарел. Однако в теории схем с 1957 года вернулись общие принципы: на этот раз а-ля Зарисский . Например , для R кольцо дискретного нормирования , Spec ( R ) состоит из двух точек, в общей точке (исходя из простого идеала {0}) и замкнутой точки или особой точки , поступающей из уникального максимального идеала . Для морфизмов в Spec ( R ) слой над специальной точкой является специальным слоем , что является важным понятием, например, в редукции по модулю p , теории монодромии и других теориях вырождения. Общий слой , в равной степени, это волокно выше общей точки. Геометрия вырождения в значительной степени связана с переходом от общих к специальным волокнам, или, другими словами, как влияет специализация параметров. (Для кольца дискретного нормирования рассматриваемое топологическое пространство - это пространство топологов Серпинского . Другие локальные кольца имеют уникальные общие и особые точки, но более сложный спектр, поскольку они представляют общие измерения. Случай дискретного оценивания во многом похож на комплексную единицу диск для этих целей.)

использованная литература

  1. ^ Дэвид Мамфорд , Красная книга разновидностей и схем, Springer 1999
  • Викерс, Стивен (1989). Топология через логику . Кембриджские тракты в теоретической информатике. 5 . п. 65. ISBN 0-521-36062-5.
  • Вайль, Андре (1946). Основы алгебраической геометрии . Публикации коллоквиума Американского математического общества. XXIX .