Теорема об отображении Римана - Riemann mapping theorem

Математический анализ → Комплексный анализ
Комплексный анализ
Комплексные числа
Настоящий номер Мнимое число Сложная плоскость Комплексное сопряжение Комплексное число единицы
Сложные функции
Комплексная функция Аналитическая функция Голоморфная функция Уравнения Коши – Римана Формальный степенной ряд
Основная теория
Нули и полюсы Интегральная теорема Коши Местный примитив Интегральная формула Коши Номер обмотки Серия Laurent Изолированная особенность Теорема об остатке Конформная карта Лемма Шварца Гармоническая функция Уравнение Лапласа
Геометрическая теория функций
Люди
Огюстен-Луи Коши Леонард Эйлер Карл Фридрих Гаусс Жак Адамар Киёси Ока Бернхард Риманн Карл Вейерштрасс
Математический портал
v т е

В комплексном анализе , то Риман теорема картирования гласит , что если U является непустым односвязным открытым подмножеством из комплексных чисел плоскости C , который не весь C , то существует биголоморфное отображение F (то есть взаимно однозначное голоморфное отображение, обратный также голоморфный) из U на открытый единичный круг

${\ Displaystyle D = \ {z \ in \ mathbf {C}: | z | <1 \}.}$

Это отображение известно как отображение Римана .

Интуитивно, условие односвязности U означает, что U не содержит «дырок». Тот факт, что f биголоморфен, означает, что это конформное отображение и, следовательно, сохраняет угол. Интуитивно такая карта сохраняет форму любой достаточно маленькой фигуры, возможно, вращая и масштабируя (но не отражая) ее.

Анри Пуанкаре доказал , что отображение F является по существу уникальным: если г ₀ является элементом U и φ произвольный угол, то существует ровно один п как выше , так что е ( г ₀ ) = 0 , и таким образом, что аргумент из производная функции f в точке z ₀ равна φ. Это простое следствие леммы Шварца .

Как следствие теоремы, любые два односвязных открытых подмножества сферы Римана, в каждом из которых отсутствует по крайней мере две точки сферы, могут быть конформно отображены друг в друга.

История

Теорема была сформулирована (в предположении , что граница из U является кусочно - гладкой) по Бернхард Риман в 1851 году в его докторской диссертации. Ларс Альфорс однажды написал относительно первоначальной формулировки теоремы, что она «в конечном итоге сформулирована в терминах, которые не поддаются любым попыткам доказательства, даже с использованием современных методов». Ошибочное доказательство Римана зависело от принципа Дирихле (названного самим Риманом), который в то время считался правильным. Однако Карл Вейерштрасс обнаружил, что этот принцип не является универсальным. Позже Дэвид Гильберт смог доказать, что принцип Дирихле в значительной степени верен при гипотезе, с которой работал Риман. Однако для того, чтобы принцип Дирихле был справедливым, необходимы некоторые гипотезы относительно границы U, которые в общем случае не верны для односвязных областей .

Первое строгое доказательство теоремы было дано Уильямом Фоггом Осгудом в 1900 году. Он доказал существование функции Грина на произвольных односвязных областях, отличных от самого C ; это установило теорему об отображении Римана.

Константин Каратеодори дал еще одно доказательство теоремы в 1912 году, которое было первым, которое опиралось исключительно на методы теории функций, а не теории потенциала . В его доказательстве использовалась концепция нормальных семей Монтеля, которая стала стандартным методом доказательства в учебниках. Каратеодори продолжил в 1913 году, разрешив дополнительный вопрос о том, можно ли продолжить отображение Римана между областями до гомеоморфизма границ (см . Теорему Каратеодори ).

Доказательство Каратеодори использовало римановы поверхности, и два года спустя Пол Кёбе упростил его, не требуя их. Другое доказательство, принадлежащее Липоту Фейеру и Фриджесу Риссу , было опубликовано в 1922 году, и оно было намного короче предыдущих. В этом доказательстве, как и в доказательстве Римана, искомое отображение получено как решение экстремальной задачи. Доказательство Фейера – Рисса было дополнительно упрощено Александром Островским и Каратеодори.

Важность

Следующие пункты подробно описывают единственность и мощность теоремы об отображении Римана:

• Даже относительно простые отображения Римана (например, карта из внутренней части круга во внутреннюю часть квадрата) не имеют явной формулы, использующей только элементарные функции .
• Односвязные открытые множества на плоскости могут быть очень сложными, например, граница может быть нигде не дифференцируемой фрактальной кривой бесконечной длины, даже если само множество ограничено. Тот факт, что такой набор может быть сопоставлен с сохранением угла на красивом и обычном единичном диске, кажется нелогичным.
• Аналог теоремы об отображении Римана для более сложных областей неверен. Следующий простейший случай - двусвязные области (области с одним отверстием). Любая двусвязная область, за исключением проколотого диска и проколотой плоскости, конформно эквивалентна некоторому кольцу { z  :  r  <| z | <1} с 0 < r <1, однако между кольцами нет конформных отображений, кроме инверсии и умножения на константы, поэтому кольцо { z  : 1 <| z | <2} конформно не эквивалентно кольцу { z  : 1 <| z | <4} (что можно доказать, используя экстремальную длину ).
• Аналог теоремы об отображении Римана в трех или более реальных измерениях неверен. Семейство конформных отображений в трех измерениях очень бедно и по существу содержит только преобразования Мёбиуса (см . Теорему Лиувилля ).
• Даже если разрешены произвольные гомеоморфизмы в высших измерениях, могут быть найдены стягиваемые многообразия , не гомеоморфные шару (например, континуум Уайтхеда ).
• Аналог теоремы об отображении Римана для нескольких комплексных переменных также неверен. В ( ) шар и полидиск являются односвязными, но между ними нет биголоморфного отображения.${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$${\ Displaystyle п \ geq 2}$

Доказательство через нормальные семьи

Простое подключение

Теорема. Для открытой области G ⊂ ℂ следующие условия эквивалентны:

1. G односвязен;
2. интеграл от любой голоморфной функции f вокруг замкнутой кусочно гладкой кривой в G равен нулю;
3. каждая голоморфная функция в G является производной голоморфной функции;
4. каждая нигде не обращающаяся в нуль голоморфная функция f на G имеет голоморфный логарифм;
5. у каждой нигде не исчезающей голоморфной функции g на G есть голоморфный квадратный корень;
6. для любого ж не в G , то обмотка число из ж для любого кусочно - гладкой замкнутой кривой в G равно 0;
7. дополнение к G в расширенной комплексной плоскости ℂ ∪ {∞} связно.

(1) ⇒ (2), поскольку любую непрерывную замкнутую кривую с базовой точкой a в G можно непрерывно деформировать до постоянной кривой a . Таким образом, линейный интеграл f dz по кривой равен 0.

(2) ⇒ (3), поскольку интеграл по любому кусочно-гладкому пути γ от a до z может использоваться для определения примитива.

(3) ⇒ (4) интегрированием f ⁻¹ df / dz вдоль γ от a до x, чтобы получить ветвь логарифма.

(4) ⇒ (5) извлечением квадратного корня в виде g ( z ) = exp f ( z ) / 2, где f - голоморфный выбор логарифма.

(5) ⇒ (6) потому что, если γ - кусочно замкнутая кривая, а f _n - последовательные квадратные корни из z - w для w вне G , то число витков f _n ∘ γ вокруг w в 2 ⁿ раз больше числа витков γ около 0. Следовательно, число витков γ вокруг w должно делиться на 2 ⁿ для всех n , поэтому должно быть равно 0.

(6) ⇒ (7) иначе расширенная плоскость ℂ ∪ {∞} \ G может быть записана как несвязное объединение двух открытых и замкнутых множеств A и B, причем ∞ в B и A ограничено. Пусть δ> 0 кратчайшим евклидово расстояние было A и B и построить квадратную сетку на ℂ с длиной δ / 4 с точкой а из А в центре квадрата. Пусть С будет компактное множество объединение всех квадратов с расстоянием ≤ δ / 4 от A . Тогда С ∩ B = ∅ и ∂ C не соответствует A или B : он состоит из конечного числа горизонтальных и вертикальных сегментов в G , образующих конечное число замкнутых прямоугольных пути Г _J в G . Принимая C _i за все квадраты, покрывающие A , (2 π) ⁻¹ ∫ _{∂ C} d arg ( z - a ) равняется сумме чисел намотки C _i над a , поэтому получаем 1. С другой стороны, Сумма числа витков γ _j вокруг a равна 1. Следовательно, число витков хотя бы одного из γ _j вокруг a не равно нулю.

(7) ⇒ (1) Это чисто топологический аргумент. Пусть γ кусочно гладкой замкнутой кривой , основанной на г ₀ в G . По приближению γ находится в том же гомотопическом классе, что и прямоугольный путь на квадратной сетке длиной δ> 0, основанный на z ₀ ; такой прямоугольный путь определяется последовательностью N последовательно направленных вертикальных и горизонтальных сторон. Индукцией по N такой путь можно деформировать до постоянного пути в углу сетки. Если путь пересекается в точке z ₁ , то он разбивается на два прямоугольных пути длиной < N , поэтому его можно деформировать до постоянного пути в точке z ₁ по предположению индукции и элементарным свойствам фундаментальной группы . Рассуждения следует «северо-восточному аргументу»: на несамопересекающемся пути будет угол z ₀ с наибольшей действительной частью (восток), а затем среди тех, у кого наибольшая мнимая часть (север). Если нужно изменить направление, путь идет от z ₀ - δ к z _0, а затем к w ₀ = z ₀ - i n δ для n ≥ 1, а затем идет влево к w ₀ - δ. Пусть R - открытый прямоугольник с этими вершинами. Число витков пути равно 0 для точек справа от вертикального сегмента от z ₀ до w ₀ и -1 для точек справа; и , следовательно , внутри R . Так как обмотки число равно 0 от G , R лежит в G . Если z - точка пути, она должна лежать в G ; если г на ∂ R , но не на пути, по непрерывности обмотки номер пути около г равен -1, поэтому г также должна лежать в G . Следовательно , R ∪ ∂ R ⊂ G . Но в этом случае путь можно деформировать, заменив три стороны прямоугольника четвертыми, в результате чего будет на 2 стороны меньше. (Самопересечения разрешены.)

Теорема Римана об отображении

• Теорема сходимости Вейерштрасса. Равномерный предел на компактах последовательности голоморфных функций голоморфен; аналогично для производных.

Это непосредственное следствие теоремы Мореры для первого утверждения. Интегральная формула Коши дает формулу для производных, с помощью которой можно проверить, что производные также равномерно сходятся на компактах.

• Теорема Гурвица . Если последовательность голоморфных функций, нигде не обращающихся в нуль на открытой области, имеет равномерный предел на компактах, то либо предел тождественно равен нулю, либо предел не обращается в нуль. Если последовательность однолистных голоморфных функций на открытой области имеет равномерный предел на компактах, то либо предел постоянен, либо предел однолистен.

Если предельная функция отлична от нуля, то ее нули должны быть изолированы. Нули с кратностей можно пересчитать по извилистой числа (2 я π) ^-1 ∫ _С г ( г ) ^-1 г «( г ) дг для голоморфной функции г . Следовательно, числа витков непрерывны при одинаковых пределах, так что если каждая функция в последовательности не имеет нулей, то и предел не может. Для второго утверждения предположим, что f ( a ) = f ( b ), и положим g _n ( z ) = f _n ( z ) - f _n ( a ) . Они нигде не обращаются в нуль на диске, но g ( z ) = f ( z ) - f ( a ) обращается в нуль в точке b , поэтому g должен равняться нулю тождественно.

Определения. Семейство голоморфных функций на открытой области называется нормальным, если любая последовательность функций в имеет подпоследовательность, сходящуюся к голоморфной функции равномерно на компактах. Семейство является компактным , если всякий раз , когда последовательность е _п лежит в и равномерно сходится к F на компактов, то F также лежит в . Семейство называется локально ограниченным, если его функции равномерно ограничены на каждом компакт-диске. Дифференцируя интегральную формулу Коши , следует, что производные локально ограниченного семейства также локально ограничены. ${\ displaystyle {\ cal {F}}}$${\ displaystyle {\ cal {F}}}$${\ displaystyle {\ cal {F}}}$${\ displaystyle {\ cal {F}}}$${\ displaystyle {\ cal {F}}}$${\ displaystyle {\ cal {F}}}$

• Теорема Монтеля . Всякое локально ограниченное семейство голоморфных функций в области G нормально.

Пусть е _п будет полностью ограниченную последовательность и выбрал счетное плотное подмножество ш _т от G . Благодаря локальной ограниченности и «диагональному аргументу» подпоследовательность может быть выбрана так, чтобы g _n сходилась в каждой точке w _m . Необходимо проверить , что эта последовательность голоморфных функций сходится на G равномерно на каждом компакте K . Возьмем E открыть с K ⊂ E такое , что замыкание Е компактно и содержит G . Поскольку последовательность ( g _n ′) локально ограничена, | g _n ′ | ≤ M на E . В силу компактности, если δ> 0 берется достаточно мала, конечное число открытых дисков D _K радиуса δ> 0 должны покрывать K , оставаясь при этом в Е . С

${\ displaystyle g_ {n} (b) -g_ {n} (a) = \ int _ {a} ^ {b} g_ {n} ^ {\ prime} (z) \, dz}$,

| g _n ( a ) - g _n ( b ) | ≤ M | а - б | ≤ 2 δ М . Теперь для каждого k выберите некоторое w _i в D _k, где g _n ( w _i ) сходится, взяв n и m такими большими, чтобы они находились в пределах δ от его предела. Тогда для z в D _k ,

${\ displaystyle | g_ {n} (z) -g_ {m} (z) | \ leq | g_ {n} (z) -g_ {n} (w_ {i}) | + | g_ {n} (w_ {i}) - g_ {m} (w_ {i}) | + | g_ {m} (w_ {1}) - g _ {(} z) | \ leq 4M \ delta +2 \ delta.}$

Следовательно, последовательность ( g _n ) образует последовательность Коши в равномерной норме на K, как и требуется.

• Теорема Римана об отображении. Если G - односвязная область ≠ ℂ и a лежит в G , существует единственное конформное отображение f группы G на единичный круг D, нормализованное такое, что f ( a ) = 0 и f ′ ( a )> 0 .

Единственность следует из-за того, что f и g удовлетворяют тем же условиям, что h = f ∘ g ⁻¹ было бы однолистным голоморфным отображением единичного круга с h (0) = 0 и h '(0)> 0 . Но по лемме Шварца однолистные голоморфные отображения единичного круга в себя задаются преобразованиями Мёбиуса k ( z ) = e ^{i θ} ( z - α) / (1 - α * z ) с | α | <1. Значит, h должно быть тождественным отображением и f = g .

Чтобы доказать существование, возьмем семейство голоморфных однолистных отображений f группы G в открытый единичный круг D с f ( a ) = 0 и f '( a )> 0 . По теореме Монтеля это нормальная семья. По характеристике простой-связи, для Ь в ℂ \ G существует голоморфная ветвь квадратного корня в G . Это однолистны и ч ( г ₁ ) ≠ - ч ( г ₂ ) для г ₁ и г ₂ в G . Поскольку h ( G ) должен содержать замкнутый круг ∆ с центром h ( a ) и радиусом r > 0 , никакие точки −∆ не могут лежать в h ( G ) . Пусть F - единственное преобразование Мёбиуса, переводящее ℂ \ −∆ на D с нормализацией F ( h ( a )) = 0 и F ′ ( h ( a ))> 0 . По построению F ∘ h находится внутри , поэтому он не пуст . Метод Кебе заключается в использовании экстремальной функции для создания конформного отображения, решающего проблему: в этой ситуации ее часто называют функцией Альфорса группы G после Альфорса . Пусть 0 < M ≤ ∞ - верхняя грань f ′ ( a ) для f in . Pick е _п в с ф _п '( ) стремится к М . По теореме Монтеля, переходя при необходимости к подпоследовательности, f _n стремится к голоморфной функции f равномерно на компактах. По теореме Гурвица f либо однолистно, либо константа. Но f имеет f ( a ) = 0 и f ′ ( a )> 0 . Итак, M конечно, равно f ′ ( a )> 0 и f лежит в . Остается проверить , что конформное отображение F принимает G на D . Если нет, гр ≠ 0 в D \ F ( G ) , и пусть H -голоморфная квадратный корень из ( е ( г ) - гр ) / (1 - с * е ( г )) на G . Функция H однозначна и отображает G в D . Пусть F ( z ) = e ^{i θ} ( H ( z ) - H ( a )) / (1 - H ( a ) * H ( z )), где H ′ ( a ) / | H ′ ( a ) | = е ^{- я θ} . Тогда F лежит в, и обычное вычисление показывает, что F ′ ( a ) = H ′ ( a ) / (1 - | H ( a ) | ² ) = f ′ ( a ) (√ | c | + √ | c | ^{- 1} ) / 2> F '( ) = М . Это противоречит максимальности М , так что е должны принимать все значения в D .${\ displaystyle {\ cal {F}}}$${\ Displaystyle ч (г) = {\ sqrt {zb}}}$${\ displaystyle {\ cal {F}}}$${\ displaystyle {\ cal {F}}}$${\ displaystyle {\ cal {F}}}$${\ displaystyle {\ cal {F}}}$${\ displaystyle {\ cal {F}}}$ ${\ displaystyle {\ cal {F}}}$

Замечание. Как следствие теоремы об отображении Римана, каждая односвязная область на плоскости гомеоморфна единичному кругу. Если точки опущены, это следует из теоремы. Для всей плоскости, гомеоморфизм φ ( г ) = г / (1 + | г |) дает гомеоморфизм ℂ на D .

Отображение параллельных щелей

Теорема Кёбе об униформизации для нормальных семейств также обобщается и дает униформизаторы f для многосвязных областей на конечные области с параллельными щелями , где щели имеют угол θ к оси x . Таким образом , если G является областью в ℂ ∪ {∞} , содержащий ∞ и ограничено конечным числом контуров Жордана, существует единственная функция однолистны е на G с F ( г ) = г ^-1 + ₁ г + ₂ г ² ⋅ ⋅⋅ вблизи ∞ , максимизируя Ре е ^{-2 я θ} ₁ и имеющее изображение п ( G ) параллельный домен щелевого с углом & thetas к й Оу.

Первое доказательство того, что параллельные щелевые области являются каноническими областями для многосвязного случая, было дано Дэвидом Гильбертом в 1909 году. Дженкинс (1958) в своей книге об однолистных функциях и конформных отображениях дал трактовку, основанную на работах Герберта Гретча и Рене де Поссель из начала 1930-х годов; он был предшественником квазиконформных отображений и квадратичных дифференциалов , позднее разработан как метод экстремальной метрики из - за Освальд Тейхмюллера . Менахем Шиффер дал трактовку, основанную на очень общих вариационных принципах , резюмированную в выступлениях, которые он дал на Международном конгрессе математиков в 1950 и 1958 годах. В теореме о «граничной вариации» (чтобы отличить ее от «внутренней вариации») он вывел дифференциальное уравнение и неравенство, которые основывались на теоретико-мерной характеристике отрезков прямой, полученной Утредом Шаттлвортом Хасламом-Джонсом в 1936 году. Доказательство Хаслама-Джонса считалось трудным и получило удовлетворительное доказательство только в середине 1970-х годов. Шобер и Кэмпбелл-Ламурё.

Шифф (1993) дал доказательство униформизации для параллельных областей щелей, которое было похоже на теорему об отображении Римана. Для упрощения обозначений будут сделаны горизонтальные разрезы. Во-первых, по неравенству Бибербаха любая однолистная функция g ( z ) = z + c z ² + ··· с z в открытом единичном круге должна удовлетворять | c | ≤ 2. Как следствие, если f ( z ) = z + a ₀ + a _1, z ^–1 + ··· однолистно в | z | > R , то | f ( z ) - a ₀ | ≤ 2 | z |: возьмем S > R , положим g ( z ) = S [ f ( S / z ) - b ] ^–1 для z в единичном круге, выбрав b так, чтобы знаменатель нигде не обращался в нуль, и применили лемму Шварца . Далее функция f _R ( z ) = z + R ² / z характеризуется «экстремальным условием» как единственная однолистная функция в z > R вида z + a ₁ z ^–1 + ···, которая максимизирует Re a ₁ : это непосредственное следствие теоремы Гренуолла о площади , примененной к семейству однолистных функций f ( z R ) / R в z > 1 .

Чтобы доказать теперь, что многосвязная область G ⊂ ℂ {∞} может быть униформизирована конформным отображением с горизонтальной параллельной щелью f ( z ) = z + a ₁ z ^–1 + ··· , возьмем R достаточно большим, чтобы ∂ G лежало в открытом диске | z | < R . При S > R однолистность и оценка | f ( z ) | ≤ 2 | z | следует, что если z лежит в G с | z | ≤ S , то | f ( z ) | ≤ 2 S . Поскольку семейство однолистных f локально ограничено в G \ {∞}, по теореме Монтеля они образуют нормальное семейство. Кроме того, если f _n входит в семейство и стремится к f равномерно на компактах, то f также входит в семейство, и каждый коэффициент разложения Лорана в точке ∞ функции f _n стремится к соответствующему коэффициенту при f . Это, в частности, относится к коэффициенту: поэтому из-за компактности существует однолистный f, который максимизирует Re a ₁ . Для того, чтобы проверить , что п ( г ) = г + ₁ + ⋅⋅⋅ это требуется параллельное преобразование щели, предположим , что доведение до абсурда , что F ( G ) = G ₁ имеет компактный и компонента связности К ее границы , которая не является горизонтальной щель. Тогда дополнение G ₂ к K в ℂ ∪ {∞} односвязно с G ₂ ⊃ G ₁ . По теореме об отображении Римана существует конформное отображение h ( w ) = w + b ₁ w ⁻¹ + ⋅⋅⋅ такое, что h ( G ₂ ) есть ℂ с удаленной горизонтальной щелью. Итак, h ( f ( z )) = z + ( a ₁ + b ₁ ) z ⁻¹ + ⋅⋅⋅ и, следовательно, Re ( a ₁ + b ₁ ) ≤ Re a _{1 в} силу экстремальности f . Таким образом, Re b ₁ ≤ 0 . С другой стороны, по теореме об отображении Римана существует конформное отображение k ( w ) = w + c ₀ + c ₁ w ⁻¹ + ⋅⋅⋅ из | w | > S на G ₂ . Тогда f ( k ( w )) - c ₀ = w + ( a ₁ + c ₁ ) w ⁻¹ + ⋅⋅⋅ . По строгой максимальности для отображения щели в предыдущем абзаце Re c ₁ <Re ( b ₁ + c ₁ ) , так что Re b ₁ > 0. Два неравенства для Re b ₁ противоречат друг другу.

Доказательство единственности преобразования конформной параллельной щели дано в работах Голузина (1969) и Грунского (1978) . Применяя обратное преобразованию Жуковского h к области горизонтальной щели, можно предположить, что G является областью, ограниченной единичной окружностью C ₀ и содержит аналитические дуги C _i и изолированные точки (изображения других обратных преобразованию Жуковского под другими параллельными горизонтальными щелями). Таким образом, при фиксированном a в G существует однолистное отображение F ₀ ( w ) = h ∘ f ( w ) = ( w - a ) ⁻¹ + a ₁ ( w - a ) + a ₂ ( w - a ) ² + ⋅⋅⋅ с изображением области горизонтальной щели. Предположим, что F ₁ ( w ) - еще один униформизатор с F ₁ ( w ) = ( w - a ) ⁻¹ + b ₁ ( w - a ) + b ₂ ( w - a ) ² + ⋅⋅⋅ . Изображения под F ₀ или F ₁ каждого C _i имеют фиксированную координату y, так же как и горизонтальные сегменты. С другой стороны , Р ₂ ( ш ) = F ₀ ( ш ) - Р ₁ ( ш ) голоморфна в G . Если он постоянный, то он должен быть тождественно нулевым, поскольку F ₂ ( a ) = 0. Предположим, что F ₂ непостоянно. Тогда по предположению F ₂ ( C _i ) - все горизонтальные прямые. Если t не находится в одной из этих строк, принцип аргумента Коши показывает, что количество решений F ₂ ( w ) = t в G равно нулю (любое t в конечном итоге будет окружено контурами в G, близкими к C _i ) . Это противоречит тому факту, что непостоянная голоморфная функция F ₂ является открытым отображением .

Доказательство эскиза с помощью задачи Дирихле

Для данного U и точки z ₀ в U мы хотим построить функцию f, которая отображает U в единичный круг, а z ₀ в 0. В этом эскизе мы будем предполагать, что U ограничено, а его граница гладкая, как у Римана. сделал. Писать

${\ Displaystyle е (г) = (г-г_ {0}) е ^ {г (г)}}$

где g = u + iv - некоторая (предстоит определить) голоморфная функция с действительной частью u и мнимой частью v . Тогда ясно, что z ₀ - единственный нуль функции f . Мы требуем | f ( z ) | = 1 для z ∈ ∂ U , поэтому нам понадобится

${\ displaystyle u (z) = - \ log | z-z_ {0} |}$

на границе. Поскольку u - действительная часть голоморфной функции, мы знаем, что u обязательно является гармонической функцией ; т.е. удовлетворяет уравнению Лапласа .

Тогда возникает вопрос: существует ли действительная гармоническая функция u, которая определена на всей U и имеет заданное граничное условие? Положительный ответ дает принцип Дирихле . После того, как существование u установлено, уравнения Коши – Римана для голоморфной функции g позволяют нам найти v (этот аргумент зависит от предположения, что U односвязен). После того, как u и v построены, нужно проверить, что полученная функция f действительно обладает всеми необходимыми свойствами.

Теорема униформизации

Отображение Римана теорема может быть обобщен на контекст римановой поверхности : Если U не является пустым односвязным открытым подмножеством римановой поверхности , то U биголоморфен к одному из следующих вариантов : в сфере Римана , C или D . Это известно как теорема униформизации .

Теорема о гладком отображении Римана

В случае односвязной ограниченной области с гладкой границей функция отображения Римана и все ее производные продолжаются по непрерывности до замыкания области. Это можно доказать, используя свойства регулярности решений краевой задачи Дирихле, которые следуют либо из теории пространств Соболева для плоских областей, либо из классической теории потенциала . Другие методы доказательства теоремы о гладком отображении Римана включают теорию ядерных функций или уравнение Бельтрами .

Алгоритмы

Вычислительное конформное отображение широко используется в задачах прикладного анализа и математической физики, а также в инженерных дисциплинах, таких как обработка изображений.

В начале 1980-х был открыт элементарный алгоритм вычисления конформных отображений. С учетом точек в плоскости, алгоритм вычисляет явно конформное отображение единичного круга на область , ограниченной кривой Жордан с Этим алгоритмом сходится для иорданских областей в смысле равномерно близких границ. Имеются соответствующие равномерные оценки на замкнутой области и замкнутом круге для отображающих функций и их обратных. Улучшенные оценки получаются, если точки данных лежат на кривой или K- квазиокружности . Алгоритм был открыт как приближенный метод конформной сварки; однако его также можно рассматривать как дискретизацию дифференциального уравнения Лёвнера . ${\ displaystyle z_ {0}, \ ldots, z_ {n}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle z_ {0}, \ ldots, z_ {n} \ in \ gamma.}$${\ displaystyle C ^ {1}}$

О численной аппроксимации конформного отображения между двумя плоскими областями известно следующее.

Положительные результаты:

• Существует алгоритм A, который вычисляет униформизирующую карту в следующем смысле. Пусть будет ограниченной односвязной областью, и ∂Ω предоставляется A оракулом, представляющим его в пиксельном смысле (то есть, если экран разделен на пиксели, оракул может сказать, принадлежит ли каждый пиксель границе или нет) . Затем A вычисляет абсолютные значения униформизирующей карты с точностью в пространстве, ограниченном временем и , где C зависит только от диаметра и Кроме того, алгоритм вычисляет значение φ (w) с точностью до тех пор, пока A запрашивает ∂ Ω с точностью не выше В частности, если ∂Ω является полиномиальным пространством, вычисляемым в пространстве для некоторой константы и времени, то A можно использовать для вычисления униформизирующего отображения в пространстве и времени${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle w_ {0} \ in \ Omega.}$${\ Displaystyle 2 ^ {п} \ раз 2 ^ {п}}$${\ displaystyle \ phi: (\ Omega, w_ {0}) \ to (D, 0)}$${\ displaystyle 2 ^ {- n}}$${\ Displaystyle C \ cdot п ^ {2}}$${\ Displaystyle 2 ^ {О (п)}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle d (w_ {0}, \ partial \ Omega).}$${\ displaystyle 2 ^ {- n}}$${\ displaystyle | \ phi (w) | <1-2 ^ {- n}.}$${\ displaystyle 2 ^ {- O (n)}.}$${\ Displaystyle п ^ {а}}$${\ displaystyle a \ geq 1}$${\ Displaystyle Т (п) <2 ^ {О (п ^ {а})},}$${\ Displaystyle С \ CDOT п ^ {\ макс (а, 2)}}$${\ displaystyle 2 ^ {O (n ^ {a})}.}$

• Существует алгоритм A ′, который вычисляет униформизирующее отображение в следующем смысле. Пусть - ограниченная односвязная область, и Предположим, что для некоторого ∂Ω задано A ′ с точностью до пикселей. Затем A 'вычисляет абсолютные значения униформизирующего отображения в пределах ошибки в рандомизированном пространстве, ограниченном полиномом времени in (то есть BPL ( n ) -машиной). Кроме того, алгоритм вычисляет значение с точностью до тех пор, пока${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle w_ {0} \ in \ Omega.}$${\ Displaystyle п = 2 ^ {к},}$${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {п}}}$${\ Displaystyle О (п ^ {2})}$${\ displaystyle \ phi: (\ Omega, w_ {0}) \ to (D, 0)}$${\ Displaystyle О (1 / п)}$${\ Displaystyle О (к)}$${\ Displaystyle п = 2 ^ {к}}$${\ Displaystyle \ фи (ш)}$${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {п}}}$${\ displaystyle | \ phi (w) | <1 - {\ tfrac {1} {n}}.}$

Отрицательные результаты:

• Предположим, что существует алгоритм A, который дает односвязную область с вычисляемой за линейное время границей и внутренним радиусом> 1/2, а число вычисляет первые цифры конформного радиуса, тогда мы можем использовать один вызов A для решения любого экземпляр #SAT ( n ) с линейными накладными расходами по времени. Другими словами, #P многократно сводится к вычислению конформного радиуса набора.${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 20n}$ ${\ Displaystyle г (\ Омега, 0),}$

• Рассмотрим задачу вычисления конформного радиуса односвязной области, где граница задается с точностью посредством явного набора пикселей. Обозначит задачу вычисления конформного радиуса с точностью по Затем это AC0 сводится к для любого${\ displaystyle \ Omega,}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle 1 / n}$${\ Displaystyle О (п ^ {2})}$${\ Displaystyle 1 / п ^ {с}}$${\ displaystyle CONF (n, n ^ {c}).}$${\ displaystyle MAJ_ {n}}$${\ Displaystyle КОНФ (п, п ^ {с})}$${\ displaystyle 0 <c <{\ tfrac {1} {2}}.}$

Смотрите также

• Теорема об измеримом римановом отображении
• Отображение Шварца – Кристоффеля - конформное преобразование верхней полуплоскости внутрь простого многоугольника.
• Конформный радиус

Заметки

Рекомендации

• Альфорс, Ларс В. (1978), Комплексный анализ. Введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной , Международная серия по чистой и прикладной математике (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 0070006571
• Бирдон, Алан Ф. (1979), Комплексный анализ. Принцип аргумента в анализе и топологии , John Wiley & Sons, ISBN 0471996718
• Белл, Стивен Р. (1992), преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение , Исследования по высшей математике, CRC Press, ISBN 0-8493-8270-X
• Беренштейн, Карлос А .; Гей, Роджер (1991), Комплексные переменные. Введение , Тексты для выпускников по математике, 125 , Springer-Verlag , ISBN 0387973494
• Каратеодори, К. (1912), "Untersuchungen über die konformen Abbildungen von festen und veranderlichen Gebieten" (PDF) , Mathematische Annalen , 72 : 107–144, doi : 10.1007 / bf01456892
• Конвей, Джон Б. (1978), Функции одной комплексной переменной , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90328-3
• Конвей, Джон Б. (1995), Функции одной комплексной переменной II , Springer-Verlag , ISBN 0-387-94460-5
• Duren, PL (1980), "Экстремальные задачи для однолистных функций", в Brannan, DA; Клуни, Дж. Г. (ред.), Аспекты современного комплексного анализа , Academic Press, стр. 181–208, ISBN 9780121259501
• Дюрен, П.Л. (1983), Однолистные функции , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259 , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5
• Гамлен, Теодор В. (2001), Комплексный анализ , Тексты для бакалавров по математике, Springer, ISBN 0-387-95069-9
• Голузин Г. М. (1969), Геометрическая теория функций комплексного переменного , Переводы математических монографий, 26 , Американское математическое общество
• Грей, Джереми (1994), "К истории теоремы об отображении Римана" (PDF) , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Серия II. Дополнение (34): 47–94, MR  1295591
• Грин, Роберт Э .; Ким, Канг-Тэ (2017), «Теорема Римана об отображении с точки зрения Римана», Комплексный анализ и его синергия , doi : 10.1186 / s40627-016-0009-7
• Грётша, Герберт (1932), "Über дас Parallelschlitztheorem дер konformen Abbildung Шлихтер Bereiche", Berichte über умереть Verhandlungen дер Sächsischen Akademie дер Wissenschaften цу Лейпциг, Physische-Математический Klasse (на немецком языке ), 84 : 15-36, Zbl  0005,06802
• Грунский, Хельмут (1978), Лекции по теории функций в многосвязных областях , Studia Mathematica, 4 , Vandenhoeck & Ruprecht, ISBN 978-3-525-40142-2
• Йених, Клаус (1993), Funktionentheorie. Eine Einführung , Springer-Lehrbuch (на немецком языке) (3-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 3540563377
• Дженкинс, Джеймс А. (1958), Однолистные функции и конформное отображение. , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 18 , Springer-Verlag
• Кодаира, Кунихико (2007), Комплексный анализ , Кембриджские исследования в области высшей математики, 107 , Cambridge University Press, ISBN 9780521809375
• Кранц, Стивен Г. (2006), "Теорема Римана Mapping и ее обобщения", Геометрическая теория функций , Birkhäuser , стр. 83-108, ISBN 0-8176-4339-7
• Нехари, Зеев (1952), конформное отображение , Dover Publications , ISBN 9780486611372
• Осгуд, У. Ф. (1900), «О существовании функции Грина для наиболее общей просто связанной плоской области», Труды Американского математического общества , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , 1 (3): 310–314, DOI : 10,2307 / 1986285 , ISSN  0002-9947 , JFM  31.0420.01 , JSTOR  1986285
• де Поссель, Рене (1931), "Zum Parallelschlitztheorm unendlich- vielfach zusammenhängender Gebiete" , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (на немецком языке): 199−202
• Реммерт, Райнхольд (1998), Классические темы в теории сложных функций , переведенные Лесли Кей, Springer-Verlag , ISBN 0-387-98221-3
• Риман, Бернхард (1851), Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (PDF) (на немецком языке), Геттинген
• Шифф, Джоэл Л. (1993), Нормальные семьи , Universitext, Springer-Verlag , ISBN 0387979670
• Schober, Glenn (1975), «Приложение C. Граничная вариация Шиффера и фундаментальная лемма», Однолистные функции - избранные темы , Lecture Notes in Mathematics, 478 , Springer-Verlag , pp. 181–190
• Уолш, JL (1973), "История теоремы Римана", Американский Математический Месячный , 80 : 270-276, DOI : 10,2307 / 2318448 , ISSN  0002-9890 , JSTOR  2318448 , MR  0323996

Внешние ссылки

• Долженко, Е.П. (2001) [1994], "Теорема Римана" , Энциклопедия математики , EMS Press