Элементарная функция - Elementary function

В математике , элементарная функция является функцией от одной переменной ( как правило , реальный или комплекс ) , который определяется как взятие суммы , продукты и композиции из конечного множества многочлена , рациональной , тригонометрических , гиперболических и экспоненциальные функции, в том числе , возможно , их обратные функции (например, arcsin , log или x ^{1 / n} ).

Элементарные функции были введены Джозефом Лиувиллем в серии статей с 1833 по 1841 год. Алгебраическое рассмотрение элементарных функций было начато Джозефом Фелсом Риттом в 1930-х годах.

Примеры

Основные примеры

К элементарным функциям одной переменной $x$ относятся:

Постоянные функции : и т. Д. ${\ Displaystyle 2, \ \ пи, \ е,}$
Силовые функции : др. ${\ Displaystyle х, \ х ^ {2}, \ х ^ {3},}$
Функция квадратного корня : ${\ displaystyle {\ sqrt {x}}}$
$n-$ е корневые функции : и т. д. ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}}, \ {\ sqrt [{4}] {x}},}$
Экспоненциальные функции : ${\ Displaystyle е ^ {х}, \ а ^ {х}}$
Логарифмы : ${\ Displaystyle \ пер х, \ \ журнал _ {а} х}$
Тригонометрические функции : и т.д. ${\ Displaystyle \ грех х, \ \ соз х, \ \ загар х,}$
Обратные тригонометрические функции : и т.д. ${\ Displaystyle \ arcsin x, \ \ arccos x,}$
Гиперболические функции : и т.д. ${\ Displaystyle \ зп х, \ \ сш х,}$
Обратные гиперболические функции : и т.д. ${\ displaystyle \ operatorname {arsinh} x, \ \ operatorname {arcosh} x,}$
Все функции, полученные сложением, вычитанием, умножением или делением конечного числа любой из предыдущих функций
Все функции, полученные путем составления конечного числа любой из ранее перечисленных функций

Некоторые элементарные функции одной комплексной переменной $z$ , такие как и , могут быть многозначными . ${\ displaystyle {\ sqrt {z}}}$ ${\ displaystyle \ log z}$

Составные примеры

Примеры элементарных функций включают:

Сложение, например ( x +1)
Умножение, например (2 x )
Полиномиальные функции
${\ displaystyle {\ frac {e ^ {\ tan x}} {1 + x ^ {2}}} \ sin \ left ({\ sqrt {1 + (\ ln x) ^ {2}}} \ right) }$
${\ displaystyle -i \ ln \ left (x + i {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ right)}$

Последняя функция равна , по обратному косинусу , во всей комплексной плоскости . ${\ displaystyle \ arccos x}$

Все одночлены , многочлены и рациональные функции элементарны. Кроме того , функция абсолютного значения , для реального , также является элементарной , как это может быть выражена в виде композиции мощности и корня : . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ textstyle | х | = {\ sqrt {x ^ {2}}}}$

Неэлементарные функции

Пример функции, не элементарный является функцией ошибки

${\ displaystyle \ mathrm {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} \, dt ,}$

факт, который может быть не сразу очевиден, но может быть доказан с помощью алгоритма Риша .

См. Также примеры функций Лиувилля и Неэлементарного интеграла .

Закрытие

Непосредственно из определения следует, что множество элементарных функций замкнуто относительно арифметических операций и композиции. Элементарные функции замкнуты относительно дифференцирования . Они не закрываются лимитами и бесконечными суммами . Важно отметить, что элементарные функции не замыкаются при интегрировании , как показано теоремой Лиувилля , см. Неэлементарный интеграл . Функции Лиувилля определяются как элементарные функции и, рекурсивно, интегралы от функций Лиувилля.

Дифференциальная алгебра

Математическое определение элементарной функции или функции в элементарной форме рассматривается в контексте дифференциальной алгебры . Дифференциальная алгебра - это алгебра с дополнительной операцией дифференцирования (алгебраическая версия дифференцирования). Используя операцию вывода, можно записать новые уравнения и использовать их решения в расширениях алгебры. Начиная с полем из рациональных функций , два специальных типа трансцендентных расширений (Логарифм и экспоненциальные) может быть добавлен к области строительства башни , содержащую элементарные функции.

Дифференциальное поле F является поле F ₀ (рациональные функции над рациональными числами Q , например) вместе с выводом картой U → ∂ U . (Здесь ∂ u - новая функция. Иногда используется обозначение u '.) Вывод отражает свойства дифференцирования, так что для любых двух элементов основного поля вывод является линейным.

{\ Displaystyle \ partial (u + v) = \ partial u + \ partial v}

и удовлетворяет правилу произведения Лейбница

{\ Displaystyle \ partial (и \ cdot v) = \ partial u \ cdot v + u \ cdot \ partial v \ ,.}

Элемент h является константой, если ∂h = 0 . Если базовое поле превышает рациональные числа, следует проявлять осторожность при расширении поля, чтобы добавить необходимые трансцендентные константы.

Функция u дифференциального расширения F [ u ] дифференциального поля F является элементарной функцией над F, если функция u

является алгебраическим над F , или
является экспонентой , т. е. ∂ u = u ∂ a для a ∈ F , или
это логарифм , то есть ∂ U = ∂ / а для более ∈ F .

(см. также теорему Лиувилля )

Смотрите также

Заметки

дальнейшее чтение

Давенпорт, Дж. Х .: Что может означать «понимание функции». В: Kauers, M .; Кербер, М., Майнер, Р.; Виндштайгер, В .: К механизированным помощникам по математике. Springer, Берлин / Гейдельберг 2007, стр. 55-65. [1]

Languages

In other projects