Формальный степенной ряд - Formal power series

В математике , и особенно в алгебре , формальный ряд - это бесконечная сумма, которая рассматривается независимо от любого понятия сходимости , и ею можно манипулировать с помощью обычных алгебраических операций над рядами (сложение, вычитание, умножение, деление, частичные суммы и т. Д.) ).

Формальный степенной ряд представляет собой особый вид формальных рядов, члены которого имеют вида , где является й степенью переменного ( является неотрицательным целым числом ), и называется коэффициентом. Следовательно, степенные ряды можно рассматривать как обобщение многочленов , где количество членов может быть бесконечным, без требований сходимости. Таким образом, ряд может больше не представлять функцию своей переменной, а просто формальную последовательность коэффициентов, в отличие от степенного ряда , который определяет функцию, принимая числовые значения для переменной в пределах радиуса сходимости. В формальных степенных рядах используются только в качестве держателей позиций для коэффициентов, так что коэффициент при является пятым членом в последовательности. В комбинаторике метод генерации функций использует формальные степенные ряды для представления числовых последовательностей и мультимножеств , например, позволяя краткие выражения для рекурсивно определенных последовательностей независимо от того, может ли рекурсия быть решена явно. В более общем смысле, формальные степенные ряды могут включать ряды с любым конечным (или счетным) числом переменных и с коэффициентами в произвольном кольце . ${\ displaystyle ax ^ {n}}$${\ Displaystyle х ^ {п}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle х ^ {п}}$${\ displaystyle x ^ {5}}$

Кольца формальных степенных рядов являются полными локальными кольцами , и это позволяет использовать методы исчисления в чисто алгебраических рамках алгебраической геометрии и коммутативной алгебры . Они во многом аналогичны целым p- адическим числам , которые можно определить как формальные ряды степеней p .

Вступление

Формальный степенной ряд можно условно представить как объект, похожий на многочлен , но с бесконечно большим числом членов. В качестве альтернативы, для тех, кто знаком со степенными рядами (или рядами Тейлора ), можно думать о формальных степенных рядах как о степенных рядах, в которых мы игнорируем вопросы сходимости , не предполагая, что переменная X обозначает какое-либо числовое значение (даже не неизвестное значение. ). Например, рассмотрим серию

${\ displaystyle A = 1-3X + 5X ^ {2} -7X ^ {3} + 9X ^ {4} -11X ^ {5} + \ cdots.}$

Если бы мы изучали его как степенной ряд, его свойства включали бы, например, то, что его радиус сходимости равен 1. Однако, как формальный степенной ряд, мы можем полностью игнорировать это; все, что имеет значение, - это последовательность коэффициентов [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]. Другими словами, формальный степенной ряд - это объект, который просто записывает последовательность коэффициентов. Вполне приемлемо рассматривать формальный степенной ряд с факториалами [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ...] в качестве коэффициентов, даже если соответствующий степенной ряд расходится для любого ненулевого значения X .

Арифметика формальных степенных рядов выполняется просто при условии, что ряды являются многочленами. Например, если

${\ Displaystyle B = 2X + 4X ^ {3} + 6X ^ {5} + \ cdots,}$

затем мы добавляем A и B по очереди:

${\ displaystyle A + B = 1-X + 5X ^ {2} -3X ^ {3} + 9X ^ {4} -5X ^ {5} + \ cdots.}$

Мы можем умножать формальные степенные ряды, опять же, просто рассматривая их как многочлены (см., В частности, произведение Коши ):

${\ displaystyle AB = 2X-6X ^ {2} + 14X ^ {3} -26X ^ {4} + 44X ^ {5} + \ cdots.}$

Обратите внимание , что каждый коэффициент в продукте АВ зависит только от конечного числа коэффициентов A и B . Например, член X ⁵ задается следующим образом:

${\ displaystyle 44X ^ {5} = (1 \ times 6X ^ {5}) + (5X ^ {2} \ times 4X ^ {3}) + (9X ^ {4} \ times 2X).}$

По этой причине можно умножать формальные степенные ряды, не беспокоясь об обычных вопросах абсолютной , условной и равномерной сходимости, которые возникают при работе со степенными рядами в контексте анализа .

После того, как мы определили умножение для формальных степенных рядов, мы можем определить мультипликативные инверсии следующим образом. Мультипликативный обратный к формальному степенному ряду A является формальным степенным рядом C таким, что AC = 1, при условии, что такой формальный степенной ряд существует. Оказывается, что если A имеет мультипликативный обратный, он единственен, и мы обозначаем его A ⁻¹ . Теперь мы можем определить деление формального степенного ряда, определив B / A как произведение BA ⁻¹ , при условии, что существует обратный к A. Например, можно использовать приведенное выше определение умножения, чтобы проверить знакомую формулу

${\ displaystyle {\ frac {1} {1 + X}} = 1-X + X ^ {2} -X ^ {3} + X ^ {4} -X ^ {5} + \ cdots.}$

Важной операцией над формальным степенным рядом является извлечение коэффициентов. В своей основной форме оператор извлечения коэффициентов, применяемый к формальному степенному ряду одной переменной, извлекает коэффициент при степени -й степени переменной, так что и . Другие примеры включают ${\ displaystyle [X ^ {n}]}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle [X ^ {2}] A = 5}$${\ displaystyle [X ^ {5}] A = -11}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ left [X ^ {3} \ right] (B) & = 4, \\\ left [X ^ {2} \ right] (X + 3X ^ {2} Y ^ {3} + 10Y ^ {6}) & = 3Y ^ {3}, \\\ left [X ^ {2} Y ^ {3} \ right] (X + 3X ^ {2} Y ^ {3} + 10Y ^ {6}) & = 3, \\\ left [X ^ {n} \ right] \ left ({\ frac {1} {1 + X}} \ right) & = (- 1) ^ {n }, \\\ left [X ^ {n} \ right] \ left ({\ frac {X} {(1-X) ^ {2}}} \ right) & = n. \ end {align}}}$

Точно так же многие другие операции, выполняемые с многочленами, могут быть расширены до настройки формального степенного ряда, как описано ниже.

Кольцо формальных степенных рядов

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо с продуктом • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (п ^ {\ infty})}$ • Основание - круговое кольцо p ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • База - p целых чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -адические рациональные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • База - p вещественных чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -адические целые числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -адические числа ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • p -адический соленоид ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

Если рассматривать множество всех формальных степенных рядов в X с коэффициентами в коммутативном кольце R , элементы этого множества в совокупности образуют другое кольцо , которое написано и называется кольцом формальных степенных рядов по переменной  X над R . ${\ Displaystyle R [[X]],}$

Определение кольца формальных степенных рядов

Можно охарактеризовать абстрактно как завершение этого многочлена кольца , снабженном определенной метрикой . Это автоматически дает структуру топологического кольца (и даже полного метрического пространства). Но общая конструкция пополнения метрического пространства более сложна, чем то, что здесь требуется, и сделает формальные степенные ряды более сложными, чем они есть на самом деле. Можно описать более подробно и отдельно определить кольцевую структуру и топологическую структуру следующим образом. ${\ Displaystyle R [[X]]}$${\ Displaystyle R [X]}$${\ Displaystyle R [[X]]}$${\ Displaystyle R [[X]]}$

Структура кольца

Как набор, может быть построен как набор всех бесконечных последовательностей элементов , индексированных натуральными числами (включая 0). Обозначая последовательность, срок по индексу является путем , один определяет сложение двух таких последовательностей ${\ Displaystyle R [[X]]}$${\ Displaystyle R ^ {\ mathbb {N}}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ Displaystyle (а_ {п})}$

${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} + (b_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} = \ left (a_ {n} + b_ {n } \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

и умножение на

${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ times (b_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} = \ left (\ sum _ {k = 0 } ^ {n} a_ {k} b_ {nk} \ right) _ {\! n \ in \ mathbb {N}}.}$

Этот тип продукта называется произведением Коши двух последовательностей коэффициентов и представляет собой своего рода дискретную свертку . С помощью этих операций становится коммутативным кольцом с нулевым элементом и мультипликативной единицей . ${\ Displaystyle R ^ {\ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle (0,0,0, \ ldots)}$${\ Displaystyle (1,0,0, \ ldots)}$

Фактически, произведение является тем же самым, что используется для определения произведения многочленов от одного неопределенного, что предполагает использование аналогичных обозначений. Один встраивает в отправляя любую (константу) к последовательности и обозначает последовательность путем ; то, используя приведенные выше определения, каждая последовательность только с конечным числом ненулевых членов может быть выражена в терминах этих специальных элементов как ${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R [[X]]}$${\ displaystyle a \ in R}$${\ Displaystyle (а, 0,0, \ ldots)}$${\ Displaystyle (0,1,0,0, \ ldots)}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}, 0,0, \ ldots) = a_ {0} + a_ {1} X + \ cdots + a_ { n} X ^ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} X ^ {i};}$

это в точности многочлены от . Учитывая это, вполне естественно и удобно обозначать общую последовательность формальным выражением , даже если последнее не является выражением, образованным операциями сложения и умножения, определенными выше (из которых могут быть построены только конечные суммы). Это условное обозначение позволяет переформулировать приведенные выше определения как ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle (а_ {п}) _ {п \ в \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {я \ in \ mathbb {N}} a_ {i} X ^ {i}}$

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} a_ {i} X ^ {i} \ right) + \ left (\ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} b_ { i} X ^ {i} \ right) = \ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} (a_ {i} + b_ {i}) X ^ {i}}$

а также

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} a_ {i} X ^ {i} \ right) \ times \ left (\ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} b_ {i} X ^ {i} \ right) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} b_ {nk} \ right ) X ^ {n}.}$

что довольно удобно, но нужно помнить о различии между формальным суммированием (простое соглашение) и фактическим сложением.

Топологическая структура

Условно оговорив, что

${\ displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} X ^ {i} ,}$

( 1 )

правую часть хотелось бы интерпретировать как четко определенное бесконечное суммирование. С этой целью определяется понятие сходимости в и строится топология в . Есть несколько эквивалентных способов определения желаемой топологии. ${\ Displaystyle R ^ {\ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle R ^ {\ mathbb {N}}}$

• Мы можем дать на топологию продукта , где каждая копия дается дискретная топология .${\ Displaystyle R ^ {\ mathbb {N}}}$${\ displaystyle R}$
• Мы можем дать в I-адическая топологию , где это идеал , порожденный , который состоит из всех последовательностей, первое слагаемое равно нулю.${\ Displaystyle R ^ {\ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle I = (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle a_ {0}}$
• Желаемую топологию можно также получить из следующей метрики . Расстояние между различными последовательностями определяется как${\ displaystyle (a_ {n}), (b_ {n}) \ in R ^ {\ mathbb {N}},}$
  $${\ displaystyle d ((a_ {n}), (b_ {n})) = 2 ^ {- k},}$$

  
  где наименьшее натуральное число такое, что ; расстояние между двумя равными последовательностями, конечно, равно нулю.${\ displaystyle k}$${\ displaystyle a_ {k} \ neq b_ {k}}$

Неформально, две последовательности и становятся все ближе и ближе тогда и только тогда, когда все больше и больше их терминов точно совпадают. Формально последовательность частных сумм некоторого бесконечного суммирования сходится, если для каждой фиксированной степени коэффициента стабилизируется: существует точка, за которой все последующие частичные суммы имеют одинаковый коэффициент. Это явно верно для правой части ( 1 ), независимо от значений , поскольку включение члена для дает последнее (и фактически единственное) изменение коэффициента . Также очевидно, что предел последовательности частичных сумм равен левой части. ${\ Displaystyle (а_ {п})}$${\ displaystyle (b_ {n})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ Displaystyle я = п}$${\ displaystyle X ^ {n}}$

Эта топологическая структура вместе с описанными выше кольцевыми операциями образует топологическое кольцо. Это называется кольцом формальных степенных рядов над${\ displaystyle R}$ и обозначается через . Топология обладает тем полезным свойством, что бесконечное суммирование сходится тогда и только тогда, когда последовательность его членов сходится к 0, что просто означает, что любая фиксированная степень имеет только конечное число членов. ${\ Displaystyle R [[X]]}$${\ displaystyle X}$

Топологическая структура позволяет гораздо более гибко использовать бесконечные суммирования. Например, правило умножения можно просто переформулировать как

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} a_ {i} X ^ {i} \ right) \ times \ left (\ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} b_ {i} X ^ {i} \ right) = \ sum _ {i, j \ in \ mathbb {N}} a_ {i} b_ {j} X ^ {i + j},}$

так как только конечное число членов справа влияет на любое фиксированное . Бесконечные произведения также определяются топологической структурой; видно, что бесконечное произведение сходится тогда и только тогда, когда последовательность его множителей сходится к 1. ${\ displaystyle X ^ {n}}$

Альтернативные топологии

Приведенная выше топология является наилучшей топологией, для которой

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {\ infty} а_ {я} X ^ {я}}$

всегда сходится как суммирование к формальному степенному ряду, обозначенному тем же выражением, и часто бывает достаточно придать смысл бесконечным суммам и произведениям или другим видам ограничений, которые желают использовать для обозначения конкретных формальных степенных рядов. Однако иногда может случиться так, что кто-то захочет использовать более грубую топологию, так что некоторые выражения станут сходящимися, которые в противном случае расходились бы. В частности, это применимо, когда базовое кольцо уже имеет топологию, отличную от дискретной, например, если оно также является кольцом формальных степенных рядов. ${\ displaystyle R}$

В кольце формальных степенных рядов топология вышеупомянутой конструкции относится только к неопределенным , поскольку наложенная топология была заменена дискретной топологией при определении топологии всего кольца. Так ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [[X]] [[Y]]}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [[X]]}$

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {\ infty} XY ^ {я}}$

сходится (а его сумму можно записать как ); тем не мение ${\ displaystyle {\ tfrac {X} {1-Y}}}$

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {\ infty} X ^ {я} Y}$

будет считаться расходящимся, поскольку каждый член влияет на коэффициент . Эта асимметрия исчезает, если кольцу степенных рядов в дана топология произведения, где каждой копии дана его топология как кольцо формальных степенных рядов, а не дискретная топология. При такой топологии последовательность элементов сходится, если коэффициент при каждой степени сходится к формальному степенному ряду в , что является более слабым условием, чем полная стабилизация. Например, с этой топологией во втором примере, приведенном выше, коэффициент сходится к , так что все суммирование сходится к . ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [[X]]}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [[X]] [[Y]]}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {1-X}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {Y} {1-X}}}$

Этот способ определения топологии на самом деле является стандартным для повторяющихся построений колец формальных степенных рядов и дает ту же топологию, которую можно получить, взяв формальные степенные ряды сразу по всем неопределенным. В приведенном выше примере это означало бы построение, а здесь последовательность сходится тогда и только тогда, когда коэффициент каждого монома стабилизируется. Эта топология, которая также является -адической топологией, где идеал порождается и , по-прежнему обладает тем свойством, что суммирование сходится тогда и только тогда, когда его члены стремятся к 0. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [[X, Y]]}$${\ displaystyle X ^ {i} Y ^ {j}}$${\ displaystyle I}$${\ Displaystyle I = (X, Y)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Тот же принцип можно использовать для сближения других расходящихся пределов. Например в пределе ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [[X]]}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {X} {n}} \ right) ^ {\! n}}$

не существует, поэтому, в частности, он не сходится к

${\ displaystyle \ exp (X) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ frac {X ^ {n}} {n!}}.}$

Это происходит потому , что для коэффициента из не стабилизироваться . Это , однако , сходятся в обычной топологии , а на самом деле к коэффициенту в . Следовательно, если дать топологию продукта, в которой топология является обычной топологией, а не дискретной, то указанный выше предел сходится к . Этот более снисходительный подход, однако, не является стандартом при рассмотрении формальных степенных рядов, поскольку он привел бы к соображениям сходимости, которые столь же тонки, как и при анализе , в то время как философия формальных степенных рядов, напротив, делает вопросы сходимости столь же тривиальными, как они вполне могут быть. С помощью этой топологии было бы не быть так , что суммирование сходится тогда и только тогда , когда его члены стремятся к 0. ${\ displaystyle i \ geq 2}$${\ Displaystyle {\ tbinom {п} {я}} / п ^ {я}}$${\ displaystyle X ^ {i}}$${\ Displaystyle п \ к \ infty}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {я!}}}$${\ Displaystyle \ ехр (Х)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} [[X]]}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ ехр (Х)}$

Универсальная собственность

Кольцо можно охарактеризовать следующим универсальным свойством . Если - коммутативная ассоциативная алгебра над , если - идеал такой, что -адическая топология на полна, и если является элементом , то существует единственная со следующими свойствами: ${\ Displaystyle R [[X]]}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle I}$ ${\ Displaystyle \ Phi: R [[X]] \ к S}$

• ${\ displaystyle \ Phi}$является гомоморфизмом -алгебр${\ displaystyle R}$

• ${\ displaystyle \ Phi}$ непрерывно

• ${\ Displaystyle \ Phi (X) = х}$.

Операции над формальными степенными рядами

Можно выполнять алгебраические операции над степенными рядами для создания новых степенных рядов. Помимо операций с кольцевой структурой, определенных выше, мы имеем следующее.

Силовая серия возведена в могущество

Для любого натурального числа n имеем

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} X ^ {k} \ right) ^ {\! n} = \, \ sum _ {m = 0} ^ { \ infty} c_ {m} X ^ {m},}$

куда

${\ displaystyle {\ begin {align} c_ {0} & = a_ {0} ^ {n}, \\ c_ {m} & = {\ frac {1} {ma_ {0}}} \ sum _ {k = 1} ^ {m} (kn-m + k) a_ {k} c_ {mk}, \ \ \ m \ geq 1. \ end {align}}}$

(Эта формула может использоваться только в том случае, если m и a ₀ обратимы в кольце коэффициентов.)

В случае формальных степенных рядов с комплексными коэффициентами комплексные степени хорошо определены, по крайней мере, для ряда f с постоянным членом, равным 1. В этом случае можно определить либо путем композиции с биномиальным рядом (1+ x ) ^α , или по композиции с экспонентой и логарифмическим рядом, или как решение дифференциального уравнения с постоянным членом 1, три определения эквивалентны. Правила исчисления и легко следовать. ${\ displaystyle f ^ {\ alpha}}$${\ Displaystyle е ^ {\ альфа} = \ ехр (\ альфа \ журнал (е)),}$${\ Displaystyle е (е ^ {\ альфа}) '= \ альфа е ^ {\ альфа} е'}$${\ Displaystyle (е ^ {\ альфа}) ^ {\ бета} = е ^ {\ альфа \ бета}}$${\ Displaystyle е ^ {\ альфа} г ^ {\ альфа} = (фг) ^ {\ альфа}}$

Мультипликативный обратный

Сериал

${\ displaystyle A = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ {n} \ in R [[X]]}$

обратима в тогда и только тогда, когда его постоянный коэффициент обратим в . Это условие необходимо, по следующей причине: если мы предположим , что имеет обратную , то постоянный член в это термин константа серии идентичности, т.е. 1. Это условие является и достаточным; мы можем вычислить коэффициенты обратного ряда с помощью явной рекурсивной формулы ${\ Displaystyle R [[X]]}$${\ displaystyle a_ {0}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B = b_ {0} + b_ {1} x + \ cdots}$ ${\ displaystyle a_ {0} b_ {0}}$${\ Displaystyle A \ cdot B}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle {\ begin {align} b_ {0} & = {\ frac {1} {a_ {0}}}, \\ b_ {n} & = - {\ frac {1} {a_ {0}} } \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {ni}, \ \ \ n \ geq 1. \ end {align}}}$

Важным частным случаем является то, что формула геометрического ряда верна в : ${\ Displaystyle R [[X]]}$

${\ displaystyle (1-X) ^ {- 1} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} X ^ {n}.}$

Если - поле, то серия обратима тогда и только тогда, когда постоянный член не равен нулю, то есть тогда и только тогда, когда серия не делится на . Это означает, что это кольцо дискретной оценки с униформизирующим параметром . ${\ Displaystyle R = K}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle К [[X]]}$${\ displaystyle X}$

Разделение

Вычисление частного ${\ displaystyle f / g = h}$

${\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} X ^ {n}} {\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ {n}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} X ^ {n},}$

предполагая, что знаменатель обратим (то есть обратим в кольце скаляров), может быть выполнен как произведение и обратное значение , или прямое приравнивание коэффициентов в : ${\ displaystyle a_ {0}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f = gh}$

${\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {a_ {0}}} \ left (b_ {n} - \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} c_ {nk} \ Правильно).}$

Извлечение коэффициентов

Оператор извлечения коэффициентов применяется к формальному степенному ряду

${\ displaystyle f (X) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ {n}}$

в X написано

${\ Displaystyle \ влево [Х ^ {м} \ вправо] е (Х)}$

и извлекает коэффициент при X ^m , так что

${\ displaystyle \ left [X ^ {m} \ right] f (X) = \ left [X ^ {m} \ right] \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ { n} = a_ {m}.}$

Состав

Учитывая формальный степенной ряд

${\ displaystyle f (X) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ {n} = a_ {1} X + a_ {2} X ^ {2} + \ cdots}$

${\ displaystyle g (X) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} X ^ {n} = b_ {0} + b_ {1} X + b_ {2} X ^ {2 } + \ cdots,}$

можно составить композицию

${\ Displaystyle г (е (Х)) = \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} b_ {п} (е (Х)) ^ {п} = \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} c_ {n} X ^ {n},}$

где коэффициенты c _n определяются путем «разложения» степеней f ( X ):

${\ displaystyle c_ {n}: = \ sum _ {k \ in \ mathbb {N}, | j | = n} b_ {k} a_ {j_ {1}} a_ {j_ {2}} \ cdots a_ { j_ {k}}.}$

Здесь сумма распространяется на все ( k , j ) с и с${\ Displaystyle к \ в \ mathbb {N}}$${\ displaystyle j \ in \ mathbb {N} _ {+} ^ {k}}$${\ displaystyle | j |: = j_ {1} + \ cdots + j_ {k} = n.}$

Более точное описание этих коэффициентов дает формула Фаа ди Бруно , по крайней мере, в случае, когда кольцо коэффициентов является полем характеристики 0 .

Состав действителен только тогда, когда не имеет постоянного члена , так что каждый зависит только от конечного числа коэффициентов и . Другими словами, ряд для сходится в топологии с . ${\ Displaystyle f (X)}$${\ displaystyle c_ {n}}$${\ Displaystyle f (X)}$${\ displaystyle g (X)}$${\ Displaystyle г (е (Х))}$${\ Displaystyle R [[X]]}$

Пример

Предположим, что кольцо имеет характеристику 0 и ненулевые целые числа обратимы в . Если обозначить формальным степенным рядом ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle \ ехр (Х)}$

${\ displaystyle \ exp (X) = 1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {2!}} + {\ frac {X ^ {3}} {3!}} + {\ frac {X ^ {4}} {4!}} + \ Cdots,}$

тогда выражение

${\ displaystyle \ exp (\ exp (X) -1) = 1 + X + X ^ {2} + {\ frac {5X ^ {3}} {6}} + {\ frac {5X ^ {4}} {8}} + \ cdots}$

имеет смысл как формальный степенной ряд. Однако заявление

${\ Displaystyle \ ехр (\ ехр (Х)) \ {\ stackrel {?} {=}} \ е \ ехр (\ ехр (Х) -1) \ = \ е + еХ + еХ ^ {2} + { \ frac {5eX ^ {3}} {6}} + \ cdots}$

не является допустимым применением операции композиции для формальных степенных рядов. Скорее, это сбивает с толку понятия конвергенции и конвергенции внутри ; действительно, кольцо может даже не содержать числа с соответствующими свойствами. ${\ Displaystyle R [[X]]}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle e}$

Композиция инверсия

Всякий раз, когда формальная серия

${\ Displaystyle е (X) = \ сумма _ {k} f_ {k} X ^ {k} \ in R [[X]]}$

имеет f ₀ = 0 и f ₁ является обратимым элементом R , существует ряд

${\ Displaystyle г (Х) = \ сумма _ {k} g_ {k} X ^ {k}}$

то есть композиция, обратная к , что означает, что композиция с дает ряд, представляющий функцию идентичности . Коэффициенты могут быть найдены рекурсивно, используя приведенную выше формулу для коэффициентов композиции, приравнивая их с коэффициентами идентичности композиции X (то есть 1 на степени 1 и 0 на каждой степени больше 1). В случае, когда кольцо коэффициентов является полем характеристики 0, формула обращения Лагранжа (обсуждается ниже) предоставляет мощный инструмент для вычисления коэффициентов g , а также коэффициентов (мультипликативных) степеней g . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle x = 0 + 1x + 0x ^ {2} + 0x ^ {3} + \ cdots}$${\ displaystyle g}$

Формальная дифференциация

Учитывая формальный степенной ряд

${\ displaystyle f = \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} X ^ {n} \ in R [[X]],}$

определим его формальную производную , обозначенную Df или f ′, как

${\ displaystyle Df = f '= \ sum _ {n \ geq 1} a_ {n} nX ^ {n-1}.}$

Символ D называется оператором формального дифференцирования . Это определение просто имитирует почленное дифференцирование многочлена.

Эта операция R - линейная :

${\ Displaystyle D (af + bg) = a \ cdot Df + b \ cdot Dg}$

для любых a , b в R и любых f , g в Кроме того, формальная производная обладает многими свойствами обычной производной исчисления. Например, действует правило продукта : ${\ displaystyle R [[X]].}$

${\ Displaystyle D (fg) \ = \ е \ cdot (Dg) + (Df) \ cdot g,}$

и правило цепочки также работает:

${\ Displaystyle D (е \ circ g) = (Df \ circ g) \ cdot Dg,}$

всякий раз, когда определены соответствующие составы серий (см. выше в разделе « Состав серий» ).

Таким образом, в этом отношении формальные степенные ряды ведут себя как ряды Тейлора . В самом деле, для определенного выше f мы находим, что

${\ displaystyle (D ^ {k} f) (0) = k! a_ {k},}$

где D ^k обозначает k- ю формальную производную (то есть результат формального дифференцирования k раз).

Формальная антидифференцировка

Если - кольцо с нулевой характеристикой и ненулевые целые числа обратимы в , то дан формальный степенной ряд ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle f = \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} X ^ {n} \ in R [[X]],}$

мы определяем его формальную первообразную или формально неопределенный интеграл как

${\ displaystyle D ^ {- 1} f = \ int f \ dX = C + \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} {\ frac {X ^ {n + 1}} {n + 1}}. }$

для любой константы . ${\ Displaystyle C \ in R}$

Эта операция R - линейная :

${\ displaystyle D ^ {- 1} (af + bg) = a \ cdot D ^ {- 1} f + b \ cdot D ^ {- 1} g}$

для любых a , b в R и любых f , g в Кроме того, формальная первообразная имеет многие свойства обычной первообразной исчисления. Например, формальная первообразная является правой обратной по отношению к формальной производной: ${\ displaystyle R [[X]].}$

${\ Displaystyle D (D ^ {- 1} (е)) = е}$

для любого . ${\ Displaystyle е \ в р [[X]]}$

Характеристики

Алгебраические свойства кольца формальных степенных рядов

${\ Displaystyle R [[X]]}$- ассоциативная алгебра, над которой содержится кольцо многочленов над ; полиномы соответствуют последовательностям, заканчивающимся нулями. ${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R [X]}$${\ displaystyle R}$

Радикал Джекобсона из является идеальным , порожденной и Jacobson радикалом ; это подразумевается критерием обратимости элемента, рассмотренным выше. ${\ Displaystyle R [[X]]}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle R}$

В максимальные идеалы из всего возникают из тех , кто следующим образом: идеал из максимальна тогда и только тогда , когда есть максимальный идеал и порождается как идеал по и . ${\ Displaystyle R [[X]]}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle R [[X]]}$${\ Displaystyle M \ cap R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle M \ cap R}$

Некоторые алгебраические свойства наследуются : ${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R [[X]]}$

• если - локальное кольцо , то так и есть (с множеством неединиц - единственный максимальный идеал),${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R [[X]]}$
• если это нетерово , то так (версия из теоремы Гильберта о базисе ),${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R [[X]]}$
• если - область целостности , то так и есть , и${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R [[X]]}$
• если - поле , то - кольцо дискретной оценки .${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle К [[X]]}$

Топологические свойства кольца формальных степенных рядов

Метрическое пространство является полным . ${\ displaystyle (р [[X]], d)}$

Кольцо является компактным тогда и только тогда , когда R является конечным . Это следует из теоремы Тихонова и характеризации топологии на как топологии произведения. ${\ Displaystyle R [[X]]}$${\ Displaystyle R [[X]]}$

Приготовление Вейерштрасса

Кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами в полном локальном кольце удовлетворяет подготовительной теореме Вейерштрасса .

Приложения

Формальные степенные ряды могут использоваться для решения повторяющихся задач, встречающихся в теории чисел и комбинаторике. Пример поиска выражения в замкнутой форме для чисел Фибоначчи см. В статье Примеры генерирующих функций .

Можно использовать формальные степенные ряды для доказательства некоторых соотношений, знакомых из анализа в чисто алгебраической обстановке. Рассмотрим, например, следующие элементы : ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} [[X]]}$

${\ displaystyle \ sin (X): = \ sum _ {n \ geq 0} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} X ^ {2n + 1}}$

${\ displaystyle \ cos (X): = \ sum _ {n \ geq 0} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} X ^ {2n}}$

Тогда можно показать, что

${\ Displaystyle \ грех ^ {2} (Х) + \ соз ^ {2} (Х) = 1,}$

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial X}} \ sin (X) = \ cos (X),}$

${\ displaystyle \ sin (X + Y) = \ sin (X) \ cos (Y) + \ cos (X) \ sin (Y).}$

Последний действующий на ринге ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} [[X, Y]].}$

Для поля K кольцо часто используется как «стандартное, наиболее общее» полное локальное кольцо над K в алгебре. ${\ Displaystyle К [[X_ {1}, \ ldots, X_ {r}]]}$

Интерпретация формальных степенных рядов как функций

Математический анализ → Комплексный анализ
Комплексный анализ
Сложные числа
Настоящий номер Мнимое число Сложная плоскость Комплексное сопряжение Комплексное число единицы
Сложные функции
Комплексная функция Аналитическая функция Голоморфная функция Уравнения Коши – Римана Формальный степенной ряд
Основная теория
Нули и полюсы Интегральная теорема Коши Местный примитив Интегральная формула Коши Номер обмотки Серия Laurent Изолированная особенность Теорема об остатке Конформная карта Лемма Шварца Гармоническая функция Уравнение Лапласа
Геометрическая теория функций
Люди
Огюстен-Луи Коши Леонард Эйлер Карл Фридрих Гаусс Жак Адамар Киёси Ока Бернхард Риманн Карл Вейерштрасс
Математический портал
v т е

В математическом анализе каждый сходящийся степенной ряд определяет функцию со значениями в виде действительных или комплексных чисел. Формальный степенной ряд над некоторыми специальными кольцами также может быть интерпретирован как функции, но один должен быть осторожным с доменом и областью значений . Позволять

${\ displaystyle f = \ сумма a_ {n} X ^ {n} \ in R [[X]],}$

и пусть S является коммутативной ассоциативной алгеброй над R , I является идеалом в S , так что я-адическая топология на S является полной, и х является элементом I . Определять:

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} x ^ {n}.}$

Этот ряд гарантированно сходится в S с учетом сделанных выше предположений относительно x . Кроме того, у нас есть

${\ Displaystyle (е + г) (х) = е (х) + г (х)}$

а также

${\ Displaystyle (fg) (x) = f (x) g (x).}$

В отличие от добросовестных функций, эти формулы не являются определениями, но должны быть доказаны.

Поскольку топология on является ( X ) -адической топологией и является полной, мы можем, в частности, применять степенные ряды к другим степенным рядам, при условии, что аргументы не имеют постоянных коэффициентов (так что они принадлежат идеалу ( X )) : f (0), f ( X ² - X ) и f ((1 - X ) ⁻¹  - 1) корректно определены для любого формального степенного ряда${\ Displaystyle R [[X]]}$${\ Displaystyle R [[X]]}$${\ displaystyle f \ in R [[X]].}$

С помощью этого формализма мы можем дать явную формулу для мультипликативного обратного степенного ряда f , постоянный коэффициент которого a = f (0) обратим в R :

${\ displaystyle f ^ {- 1} = \ sum _ {n \ geq 0} a ^ {- n-1} (af) ^ {n}.}$

Если формальный степенной ряд g с g (0) = 0 неявно задается уравнением

${\ Displaystyle f (g) = X}$

где f - известный степенной ряд с f (0) = 0, то коэффициенты при g могут быть явно вычислены с использованием формулы обращения Лагранжа .

Обобщения

Формальная серия Laurent

Формальный ряд Лорана над кольцом определяются аналогичным образом формальный степенной ряд, за исключением того, что мы также позволяют конечным числом членов отрицательной степени. То есть это серии, которые можно записать как ${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle f = \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ {n}}$

для некоторого целого N , так что есть только конечное число отрицательных n с . (Это отличается от классического ряда Лорана из комплексного анализа .) Для ненулевого формального ряда Лорана, минимальное целое число такое , что называется порядок из и обозначается (Порядок серии ноль .) ${\ displaystyle a_ {n} \ neq 0}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a_ {n} \ neq 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ operatorname {ord} (f).}$${\ displaystyle + \ infty}$

Умножение такого ряда можно определить. Действительно, аналогично определению для формальных степенных рядов коэффициент при X ^k двух рядов с соответствующими последовательностями коэффициентов и равен ${\ Displaystyle \ {а_ {п} \}}$${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$

Эта сумма имеет лишь конечное число ненулевых членов из-за предполагаемого обращения в нуль коэффициентов при достаточно отрицательных индексах.

Формальные ряды Лорана образуют кольцо формальных рядов Лорана над , обозначаемых через . Она равна локализации по отношению к множеству положительных степеней . Если - поле , то фактически это поле, которое в качестве альтернативы может быть получено как поле дробей области целостности . ${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R ((X))}$${\ Displaystyle R [[X]]}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle R = K}$${\ Displaystyle К ((Х))}$ ${\ Displaystyle К [[X]]}$

Как и кольцо формальных степенных рядов, кольцо формальных рядов Лорана может быть наделено структурой топологического кольца путем введения метрики ${\ Displaystyle R [[X]]}$${\ Displaystyle R ((X))}$

Формальное дифференцирование формальных рядов Лорана можно определить естественным (почленным) способом. Точнее, формальная производная формального ряда Лорана, приведенного выше, есть ${\ displaystyle f}$

что снова является формальной серией Лорана. Если - непостоянный формальный ряд Лорана и с коэффициентами в поле характеристики 0, то ${\ displaystyle f}$ Однако, в общем случае это не так , поскольку коэффициент п для наименьшего срока заказа может быть равен 0 в R .

Формальный остаток

Предположим, что это поле характеристики 0. Тогда отображение ${\ displaystyle K}$

${\ Displaystyle D \ двоеточие K ((X)) \ к K ((X))}$

это - вывод , который удовлетворяет ${\ displaystyle K}$

${\ Displaystyle \ ker D = K}$

${\ displaystyle \ operatorname {im} D = \ left \ {f \ in K ((X)): [X ^ {- 1}] f = 0 \ right \}.}$

Последнее показывает, что коэффициент при in представляет особый интерес; он называется формальным остатком и обозначается . Карта ${\ displaystyle X ^ {- 1}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ operatorname {Res} (f)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Res}: K ((X)) \ to K}$

является -линейным, и по вышеизложенному наблюдению имеется точная последовательность${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle 0 \ к K \ к K ((X)) {\ overset {D} {\ longrightarrow}} K ((X)) \; {\ overset {\ operatorname {Res}} {\ longrightarrow}} \ ; K \ до 0.}$

Некоторые правила исчисления . Как вполне прямое следствие приведенного выше определения и правил формального вывода, для любого${\ Displaystyle е, г \ в К ((Х))}$

1. ${\ displaystyle \ operatorname {Res} (f ') = 0;}$
2. ${\ displaystyle \ operatorname {Res} (fg ') = - \ operatorname {Res} (f'g);}$
3. ${\ displaystyle \ operatorname {Res} (f '/ f) = \ operatorname {ord} (f), \ qquad \ forall f \ neq 0;}$
4. ${\ displaystyle \ operatorname {Res} \ left ((g \ circ f) f '\ right) = \ operatorname {ord} (f) \ operatorname {Res} (g),}$ если ${\ displaystyle \ operatorname {ord} (f)> 0;}$
5. ${\ displaystyle [X ^ {n}] f (X) = \ operatorname {Res} \ left (X ^ {- n-1} f (X) \ right).}$

Свойство (i) является частью точной последовательности, указанной выше. Свойство (ii) следует из (i) применительно к . Свойство (iii): любое может быть записано в форме с помощью и :, то подразумевает обратимость, откуда. Свойство (iv): Поскольку мы можем писать с помощью . Следовательно, и (iv) следует из (i) и (iii). Свойство (v) ясно из определения. ${\ displaystyle (fg) '= f'g + fg'}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f = X ^ {m} g}$${\ displaystyle m = \ operatorname {ord} (f)}$${\ displaystyle \ operatorname {ord} (g) = 0}$${\ displaystyle f '/ f = mX ^ {- 1} + g' / g.}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ord} (g) = 0}$${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle К [[X]] \ подмножество \ OperatorName {im} (D) = \ ker (\ operatorname {Res}),}$${\ displaystyle \ operatorname {Res} (f '/ f) = m.}$${\ Displaystyle \ OperatorName {IM} (D) = \ ker (\ OperatorName {Res}),}$${\ displaystyle f = f _ {- 1} X ^ {- 1} + F ',}$${\ Displaystyle F \ в К ((Х))}$${\ Displaystyle (е \ circ g) g '= f _ {- 1} g ^ {- 1} g' + (F '\ circ g) g' = f _ {- 1} g '/ g + (F \ circ g ) '}$

Формула обращения Лагранжа

Как упоминалось выше, любой формальный ряд с f ₀ = 0 и f ₁ ≠ 0 имеет обратную композицию. Имеет место следующее соотношение между коэффициентами g ⁿ и f ^{- k} ("${\ Displaystyle е \ в К [[X]]}$${\ Displaystyle г \ в К [[X]].}$Формула обращения Лагранжа »):

${\ displaystyle k [X ^ {k}] g ^ {n} = n [X ^ {- n}] f ^ {- k}.}$

В частности, для n  = 1 и всех k  ≥ 1

${\ displaystyle [X ^ {k}] g = {\ frac {1} {k}} \ operatorname {Res} \ left (f ^ {- k} \ right).}$

Поскольку доказательство формулы обращения Лагранжа представляет собой очень короткое вычисление, стоит сообщить об этом здесь. Отмечая , что мы можем применить приведенные выше правила исчисления, решительно заменив Правило (iv) , чтобы получить: ${\ displaystyle \ operatorname {ord} (f) = 1}$${\ Displaystyle X \ rightsquigarrow f (X)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} k [X ^ {k}] g ^ {n} & \ {\ stackrel {\ mathrm {(v)}} {=}} \ k \ operatorname {Res} \ left ( g ^ {n} X ^ {- k-1} \ right) \ {\ stackrel {\ mathrm {(iv)}} {=}} \ k \ operatorname {Res} \ left (X ^ {n} f ^ {-k-1} f '\ right) \ {\ stackrel {\ mathrm {chain}} {=}} \ - \ operatorname {Res} \ left (X ^ {n} (f ^ {- k})' \ right) \\ & \ {\ stackrel {\ mathrm {(ii)}} {=}} \ \ operatorname {Res} \ left (\ left (X ^ {n} \ right) 'f ^ {- k} \ right) \ {\ stackrel {\ mathrm {chain}} {=}} \ n \ operatorname {Res} \ left (X ^ {n-1} f ^ {- k} \ right) \ {\ stackrel {\ mathrm {(v)}} {=}} \ n [X ^ {- n}] f ^ {- k}. \ end {align}}}$

Обобщения. Можно заметить, что вышеприведенное вычисление может быть просто повторено в более общих условиях, чем K (( X )): обобщение формулы инверсии Лагранжа уже доступно, работающее в -модулях, где α - комплексный показатель степени. Как следствие, если f и g такие же, как указано выше, мы можем связать комплексные степени f / X и g / X : точно, если α и β ненулевые комплексные числа с отрицательной целочисленной суммой, то ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ((X))}$${\ displaystyle X ^ {\ alpha} \ mathbb {C} ((X)),}$${\ displaystyle f_ {1} = g_ {1} = 1}$${\ Displaystyle м = - \ альфа - \ бета \ в \ mathbb {N},}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ alpha}} [X ^ {m}] \ left ({\ frac {f} {X}} \ right) ^ {\ alpha} = - {\ frac {1} {\ beta}} [X ^ {m}] \ left ({\ frac {g} {X}} \ right) ^ {\ beta}.}$

Например, таким образом можно найти степенной ряд для комплексных степеней функции Ламберта .

Ряд степеней в нескольких переменных

Формальный степенной ряд от любого числа неопределенных (даже бесконечного) может быть определен. Если I - индексное множество, а X _I - множество неопределенных X _i для i ∈ I , то моном X ^α - это любое конечное произведение элементов X _I (повторения разрешены); формальный степенной ряд в X _I с коэффициентами в кольце R определяется любым отображением множества одночленов X ^α в соответствующий коэффициент c _α и обозначается . Множество всех таких формальных степенных рядов обозначается, и ему задается кольцевая структура путем определения ${\ textstyle \ сумма _ {\ альфа} с _ {\ альфа} X ^ {\ альфа}}$${\ displaystyle R [[X_ {I}]],}$

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {\ alpha} c _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ right) + \ left (\ sum _ {\ alpha} d _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ справа) = \ sum _ {\ alpha} (c _ {\ alpha} + d _ {\ alpha}) X ^ {\ alpha}}$

а также

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {\ alpha} c _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ right) \ times \ left (\ sum _ {\ beta} d _ {\ beta} X ^ {\ beta} \ right) = \ sum _ {\ alpha, \ beta} c _ {\ alpha} d _ {\ beta} X ^ {\ alpha + \ beta}}$

Топология

Топология на такова, что последовательность ее элементов сходится, только если для каждого монома X ^α стабилизируется соответствующий коэффициент. Если я конечна, то этот J -адическая топологии, где J представляет собой идеал , порожденные все в неизвестных X _I . Это неверно, если I бесконечно. Например, если тогда последовательность с не сходится относительно какой-либо J -адической топологии на R , но, очевидно, для каждого монома соответствующий коэффициент стабилизируется. ${\ Displaystyle R [[X_ {I}]]}$${\ Displaystyle R [[X_ {I}]]}$${\ Displaystyle I = \ mathbb {N},}$${\ Displaystyle (е_ {п}) _ {п \ в \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle f_ {n} = X_ {n} + X_ {n + 1} + X_ {n + 2} + \ cdots}$

Как отмечалось выше, топология на повторяющемся кольце формальных степенных рядов, подобном кольцу, обычно выбирается таким образом, что оно становится изоморфным как топологическое кольцо для${\ Displaystyle Р [[X]] [[Y]]}$${\ displaystyle R [[X, Y]].}$

Операции

Все операции, определенные для серий с одной переменной, могут быть распространены на случай нескольких переменных.

• Ряд обратим тогда и только тогда , когда его свободный член обратим в R .
• Композиция f ( g ( X )) двух серий f и g определена, если f является рядом с одним неопределенным, а постоянный член g равен нулю. Для ряда f из нескольких неопределенных значений аналогичным образом может быть определена форма «композиции», с таким количеством отдельных рядов вместо g, как и неопределенных.

В случае формальной производной теперь есть отдельные операторы частной производной , которые дифференцируются по каждому из неопределенных значений. Все они ездят друг с другом на работу.

Универсальная собственность

В случае нескольких переменных универсальная характеристика свойства сводится к следующему. Если S - коммутативная ассоциативная алгебра над R , если I - идеал S такой, что I -адическая топология на S полна, и если x ₁ , ..., x _r - элементы I , то существует единственное отображение с следующие свойства: ${\ Displaystyle R [[X_ {1}, \ ldots, X_ {r}]]}$${\ Displaystyle \ Phi: R [[X_ {1}, \ ldots, X_ {r}]] \ к S}$

• Φ - гомоморфизм R -алгебр
• Φ непрерывна
• Φ ( X _i ) = x _i для i = 1,…, r .

Некоммутирующие переменные

Случай нескольких переменных может быть дополнительно обобщен, если взять некоммутирующие переменные X _i для i ∈ I , где I - индексное множество, а затем моном X ^α - любое слово в X _I ; формальный степенной ряд в X _I с коэффициентами в кольце R определяется любым отображением множества одночленов X ^α в соответствующий коэффициент c _α и обозначается . Множество всех таких формальных степенных рядов обозначается R « X _I », и ему задается кольцевая структура путем определения поточечного сложения. ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {\ alpha} c _ {\ alpha} X ^ {\ alpha}}$

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {\ alpha} c _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ right) + \ left (\ sum _ {\ alpha} d _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ справа) = \ sum _ {\ alpha} (c _ {\ alpha} + d _ {\ alpha}) X ^ {\ alpha}}$

и умножение на

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {\ alpha} c _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ right) \ times \ left (\ sum _ {\ alpha} d _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ right) = \ sum _ {\ alpha, \ beta} c _ {\ alpha} d _ {\ beta} X ^ {\ alpha} \ cdot X ^ {\ beta}}$

где · обозначает объединение слов. Эти формальных степенных рядов над R образуют Магнуса кольцо над R .

На полукольце

Дан алфавит и полукольцо . Формальный степенной ряд, поддерживаемый языком , обозначается . Он состоит из всех отображений , где - свободный моноид, порожденный непустым множеством . ${\ displaystyle \ Sigma}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle \ Sigma ^ {*}}$${\ Displaystyle S \ langle \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle \ rangle}$${\ displaystyle r: \ Sigma ^ {*} \ to S}$${\ Displaystyle \ Sigma ^ {*}}$${\ displaystyle \ Sigma}$

Элементы можно записать в виде формальных сумм ${\ Displaystyle S \ langle \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle \ rangle}$

${\ displaystyle r = \ sum _ {w \ in \ Sigma ^ {*}} (r, w) w.}$

где обозначает значение в слове . Элементы называются коэффициентами . ${\ Displaystyle (г, ш)}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle ш \ в \ Sigma ^ {*}}$${\ Displaystyle (г, ш) \ в S}$${\ displaystyle r}$

Для поддержки есть набор ${\ Displaystyle г \ в S \ langle \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle \ rangle}$${\ displaystyle r}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {Supp} (г) = \ {ш \ in \ Sigma ^ {*} | \ (г, ш) \ neq 0 \}}$

Ряд, в котором каждый коэффициент является либо, либо , называется характеристическим рядом его опоры. ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$

Подмножество, состоящее из всех серий с конечным носителем, обозначается и называется многочленами. ${\ Displaystyle S \ langle \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle \ rangle}$${\ Displaystyle S \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle}$

Для и сумма определяется как ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2} \ in S \ langle \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle \ rangle}$${\ displaystyle s \ in S}$${\ displaystyle r_ {1} + r_ {2}}$

${\ displaystyle (r_ {1} + r_ {2}, w) = (r_ {1}, w) + (r_ {2}, w)}$

Произведение (Коши) определяется формулой ${\ displaystyle r_ {1} \ cdot r_ {2}}$

${\ displaystyle (r_ {1} \ cdot r_ {2}, w) = \ sum _ {w_ {1} w_ {2} = w} (r_ {1}, w_ {1}) (r_ {2}, w_ {2})}$

Произведение Адамара определяется формулой ${\ displaystyle r_ {1} \ odot r_ {2}}$

${\ displaystyle (r_ {1} \ odot r_ {2}, w) = (r_ {1}, w) (r_ {2}, w)}$

И произведения на скаляр и на ${\ displaystyle sr_ {1}}$${\ displaystyle r_ {1} s}$

${\ Displaystyle (SR_ {1}, ш) = s (г_ {1}, ш)}$и , соответственно.${\ displaystyle (r_ {1} s, w) = (r_ {1}, w) s}$

Этими операциями и являются полукольца, где - пустое слово в . ${\ displaystyle (S \ langle \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle \ rangle, +, \ cdot, 0, \ varepsilon)}$${\ Displaystyle (S \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle, +, \ cdot, 0, \ varepsilon)}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ Displaystyle \ Sigma ^ {*}}$

Эти формальные степенные ряды используются для моделирования поведения взвешенных автоматов в теоретической информатике , когда коэффициенты ряда принимаются равными весу пути с меткой в автоматах. ${\ Displaystyle (г, ш)}$${\ displaystyle w}$

Замена индекса, установленного упорядоченной абелевой группой

Предположим, что это упорядоченная абелева группа, то есть абелева группа с полным порядком, учитывающим добавление группы, так что тогда и только тогда, когда для всех . Пусть I будет хорошо упорядоченным подмножеством , что означает, что I не содержит бесконечной убывающей цепочки. Рассмотрим множество, состоящее из ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle <}$${\ displaystyle a <b}$${\ Displaystyle а + с <Ь + с}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ sum _ {я \ in I} a_ {i} X ^ {i}}$

для всех таких I , с в коммутативной кольца , где мы предполагаем , что для любого множества индексов, если выполнены все равны нулю , то сумма равна нулю. Тогда кольцо формальных степенных рядов включено ; из-за того, что набор индексации должен быть хорошо упорядочен, продукт четко определен, и мы, конечно, предполагаем, что два элемента, которые отличаются на ноль, являются одинаковыми. Иногда для обозначения используются обозначения . ${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ Displaystyle R ((G))}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle [[R ^ {G}]]}$${\ Displaystyle R ((G))}$

Различные свойства перевода в . Если есть поле, значит, так оно и есть . Если это упорядоченное поле, мы можем упорядочить , установив для любого элемента тот же знак, что и его ведущий коэффициент, определенный как наименьший элемент индексного набора I, связанный с ненулевым коэффициентом. Наконец , если это делимая группа и является реальным замкнутое поле , то есть реальное замкнутое поле, и если будет алгебраически замкнуто , то так . ${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R ((G))}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R ((G))}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R ((G))}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R ((G))}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R ((G))}$

Эта теория принадлежит Гансу Хану , который также показал, что можно получить подполя, когда количество (ненулевых) членов ограничено некоторой фиксированной бесконечной мощностью.

Примеры и связанные темы

• Ряды Белла используются для изучения свойств мультипликативных арифметических функций.
• Формальные группы используются для определения абстрактного группового закона с использованием формальных степенных рядов.
• Ряды Пюизе являются расширением формальных рядов Лорана, позволяя использовать дробные показатели
• Рациональная серия

Смотрите также

• Кольцо ограниченного степенного ряда

Примечания

использованная литература

• Берстель, Жан ; Ройтенауэр, Кристоф (2011). Некоммутативные рациональные ряды с приложениями . Энциклопедия математики и ее приложений. 137 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl  1250,68007 .
• Николя Бурбаки : Алгебра , IV, §4. Springer-Verlag 1988.

дальнейшее чтение

• В. Куич. Полукольца и формальные степенные ряды: их отношение к формальным языкам и теории автоматов. В Дж. Розенберге и А. Саломаа, редакторах, Справочник формальных языков, том 1, глава 9, страницы 609–677. Спрингер, Берлин, 1997 г., ISBN  3-540-60420-0
• Дросте, М., и Куич, В. (2009). Полукольца и формальные степенные ряды. Справочник по взвешенным автоматам , 3–28. DOI : 10.1007 / 978-3-642-01492-5_1
• Арто Саломаа (1990). «Формальные языки и степенные серии». В Яне ван Леувене (ред.). Формальные модели и семантика . Справочник по теоретической информатике. B . Эльзевир. С. 103–132. ISBN 0-444-88074-7.