Односвязное пространство - Simply connected space

В топологии , А топологическое пространство называется просто подключено (или 1-подключенный , или 1-односвязно ) , если оно линейно связным и каждый путь между двумя точками можно непрерывно трансформируется (интуитивно для встроенных пространств, оставаясь в пределах пространства) в любой другой такой путь с сохранением двух рассматриваемых конечных точек. Фундаментальная группа топологического пространства является показателем провала для пространства , чтобы быть просто подключено: путь-связной топологическое пространство односвязно тогда и только тогда , когда его фундаментальная группа тривиальна.

Определение и эквивалентные формулировки

Эта форма представляет собой набор, который не является просто связанным, потому что любая петля, охватывающая одно или несколько отверстий, не может быть сжата до точки без выхода из области.

Топологическое пространство называется просто соединены , если это связно и любая петля в определяется может быть заключен в точку: существует непрерывное отображение такое , что ограничивается S ¹ является здесь, и обозначает единичный круг и замкнутый единичный круг в евклидовой плоскости соответственно. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f: S ^ {1} \ to X}$${\ displaystyle F: D ^ {2} \ to X}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle f.}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ displaystyle D ^ {2}}$

Эквивалентная формулировка такова: односвязен тогда и только тогда, когда он связан с путями, и когда и являются двумя путями (то есть непрерывными картами) с одинаковыми начальной и конечной точкой ( ), то их можно непрерывно деформировать , сохраняя при этом оба пути. конечные точки исправлены. Явно существует такая гомотопия , что и${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p: [0,1] \ к X}$${\ displaystyle q: [0,1] \ к X}$${\ Displaystyle p (0) = q (0) {\ text {и}} p (1) = q (1)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$ ${\ Displaystyle F: [0,1] \ раз [0,1] \ rightarrow X}$${\ Displaystyle F (х, 0) = р (х)}$${\ Displaystyle F (х, 1) = q (х).}$

Топологическое пространство односвязен тогда и только тогда , когда линейно-подключен и фундаментальная группа из в каждой точке тривиальна, т.е. состоит только из единичного элемента . Аналогичным образом , просто связным тогда и только тогда , когда для всех точек множества морфизмов в фундаментальной группоиде из имеет только один элемент. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x, y \ in X,}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ Pi (X)} (x, y)}$${\ displaystyle X}$

В комплексном анализе : открытое подмножество односвязно тогда и только тогда, когда оба и его дополнение в сфере Римана связаны. Набор комплексных чисел, мнимая часть которых строго больше нуля и меньше единицы, представляет собой прекрасный пример неограниченного связного открытого подмножества плоскости, дополнение которого не связно. Тем не менее, это просто связано. Также стоит отметить, что ослабление требования быть связным ведет к интересному исследованию открытых подмножеств плоскости со связным расширенным дополнением. Например, (не обязательно связное) открытое множество имеет связное расширенное дополнение именно тогда, когда все его связные компоненты односвязны. ${\ Displaystyle X \ substeq \ mathbb {C}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Неформальное обсуждение

Неформально, объект в нашем пространстве просто связан, если он состоит из одной части и не имеет никаких «дырок», проходящих через него. Например, просто не соединяется ни пончик, ни кофейная чашка (с ручкой), а просто соединяется полый резиновый шарик. В двух измерениях круг не просто соединен, но диск и линия связаны. Пространства, которые связаны, но не односвязны, называются неодносвязными или многосвязными .

Сфера односвязна , потому что каждый цикл может быть заключен (на поверхности) до точки.

Определение исключает только отверстия в форме ручки . Сфера (или, что то же самое, резиновый шар с полым центром) просто связана, потому что любая петля на поверхности сферы может сжиматься до точки, даже если у нее есть «дыра» в центре полости. Более сильное условие, когда объект не имеет отверстий любого размера, называется сжимаемостью .

Примеры

Тор - это не односвязная поверхность. Ни одну из двух цветных петель, показанных здесь, нельзя сжать до точки, не покидая поверхности. Тор также не просто связан , так как фиолетовый контур не может сжаться до точки , не выходя из тела.

• Евклидовой плоскости просто связаны, но минус происхождение не является. Если тогда оба и минус происхождение просто связаны.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle (0,0)}$${\ displaystyle n> 2,}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$
• Аналогично: n -мерная сфера односвязна тогда и только тогда, когда${\ Displaystyle S ^ {п}}$${\ displaystyle n \ geq 2.}$
• Каждое выпуклое подмножество из односвязен.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$
• Тор , то (эллиптический) цилиндр , то Мёбиус , то проективная плоскость и бутылка Клейн не просто соединены.
• Каждое топологическое векторное пространство односвязно; это включает банаховы пространства и гильбертовы пространства .
• Для специальной ортогональной группы не является односвязными и специальной унитарной группа односвязна.${\ Displaystyle п \ geq 2,}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {SO} (п, \ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {SU} (п)}$
• Одноточечная компактификация не односвязна (хотя и односвязна).${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Длинная линия односвязен, но его компактификацией, расширенная длинная линия не является (так как он даже не связно).${\ displaystyle L}$${\ Displaystyle L ^ {*}}$

Характеристики

Поверхность (двумерное топологическое многообразие ) односвязна тогда и только тогда, когда она связна и ее род (количество ручек поверхности) равен 0.

Универсальное покрытие любого (подходящего) пространства - это односвязное пространство, которое отображается через карту покрытия . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Если и являются гомотопически эквивалентными и односвязна, то и${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y.}$

Образ односвязного множества при непрерывной функции не обязательно должен быть односвязным. Возьмем, к примеру, комплексную плоскость под экспоненциальной картой: изображение не является односвязным. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \},}$

Понятие простой связности важно в комплексном анализе по следующим причинам:

• В интегральной теоремы Коши утверждает , что если есть односвязный открытое подмножество комплексной плоскости и является голоморфной функцией , то имеет первообразную на и значение каждой строки интеграла в с подынтегральная зависит только от конечных точек и пути, и можно вычислить как Интеграл, таким образом, не зависит от конкретного пути, соединяющего и${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C},}$${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle U,}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ Displaystyle F (v) -F (u).}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v,}$
• В Римана теорема картирование гласит , что любое непустое открытое односвязное подмножество (кроме самого себя) является конформно эквивалент в единичном круге .${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Понятие простой связности также является ключевым условием гипотезы Пуанкаре .

Смотрите также

• Фундаментальная группа  - Математическая группа гомотопических классов петель в топологическом пространстве.
• Отвод деформации
• n-связное пространство
• Связанный по пути
• Единичное пространство

использованная литература

• Спаниер, Эдвин (декабрь 1994). Алгебраическая топология . Springer. ISBN 0-387-94426-5.
• Конвей, Джон (1986). Функции комплексного переменного I . Springer. ISBN 0-387-90328-3.
• Бурбаки, Николас (2005). Группы Ли и алгебры Ли . Springer. ISBN 3-540-43405-4.
• Гамелен, Теодор (январь 2001 г.). Комплексный анализ . Springer. ISBN 0-387-95069-9.
• Джоши, Капли (август 1983 г.). Введение в общую топологию . Издатели Нью Эйдж. ISBN 0-85226-444-5.