Ветвление (математика) - Ramification (mathematics)

Схематическое изображение ветвления: волокна почти всех точек в Y ниже состоят из трех точек, за исключением двух точек в Y, отмеченных точками, где волокна состоят из одной и двух точек (отмечены черным), соответственно. Карта F называется разветвленными в этих точках Y .

В геометрии , ветвление является «ветвление», в том , что корень квадратный функция, для комплексных чисел , можно видеть две ветви , различающиеся знаком. Этот термин также используется с противоположной точки зрения (ветви сходятся вместе), когда покрывающая карта вырождается в точке пространства с некоторым схлопыванием слоев отображения.

В комплексном анализе

Используя риманову поверхность квадратного корня

В комплексном анализе базовая модель может быть взята как отображение z  →  z ⁿ в комплексной плоскости вблизи  z  = 0. Это стандартная локальная картина разветвления порядка n в теории  римановых поверхностей . Это происходит, например, в формуле Римана – Гурвица для влияния отображений на род . См. Также точку ветвления .

В алгебраической топологии

В покрывающем отображении характеристика Эйлера – Пуанкаре должна умножаться на количество листов; разветвление, следовательно, можно обнаружить по некоторому отбрасыванию от него. Г →  г ^п отображения показывает это как локальный характер: если исключить 0, глядя на 0 <| z | <1, например, мы имеем (с точки зрения гомотопии ) окружность, отображаемую в себя n -м степенным отображением (характеристика Эйлера – Пуанкаре 0), но для всего круга характеристика Эйлера – Пуанкаре равна 1, n  - 1 являются «потерянными» точками, когда n листов собираются вместе при  z  = 0.

С геометрической точки зрения ветвление - это то, что происходит во второй коразмерности (например, теория узлов и монодромия ); поскольку вещественная коразмерность два является комплексной коразмерностью 1, локальный комплексный пример устанавливает образец для многомерных комплексных многообразий . В комплексном анализе листы не могут просто складываться вдоль линии (одна переменная) или подпространства коразмерности один в общем случае. Множество ветвлений (место ветвления на основании, двойная точка, установленная выше) будет на два реальных измерения ниже, чем окружающее многообразие , и поэтому не будет разделять его на две `` стороны '', локально будут пути, идущие вокруг локуса ветвления , как в примере. В алгебраической геометрии над любым полем , по аналогии, это происходит и в алгебраической коразмерности один.

В алгебраической теории чисел

В алгебраических расширениях ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Ветвление в алгебраической теории чисел означает факторизацию простого идеала в расширении, чтобы получить несколько повторяющихся факторов простого идеала. А именно, пусть будет кольцо целых чисел в качестве поля алгебраических чисел и простой идеал из . Для расширения поля можно рассматривать кольцо целых чисел (которое является целым замыканием в ин ), а идеал в . Этот идеал может быть простым, а может и не быть, но для конечного , он имеет факторизацию в простые идеалы: ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$${\ displaystyle L / K}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$${\ displaystyle L}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ displaystyle [L: K]}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ cdot {\ mathcal {O}} _ {L} = {\ mathfrak {p}} _ {1} ^ {e_ {1}} \ cdots {\ mathfrak {p} } _ {k} ^ {e_ {k}}}$

где различные простые идеалы . Тогда говорят, разветвляются в случае для некоторых ; в противном случае это${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle e_ {i}> 1}$${\ displaystyle i}$ неразветвленный . Другими словами,разветвляется,если у некоторыхиндекс ветвлениябольше единицы. Эквивалентным условием являетсяналичие ненулевогонильпотентногоэлемента: он не является продуктомконечных полей. На аналогию со случаем римановой поверхности уже указалиРичард ДедекиндиГенрих М. Веберв девятнадцатом веке. ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L} / {\ mathfrak {p}} {\ mathcal {O}} _ {L}}$

Ветвления кодируются в по относительному дискриминанту и по относительному различному . Первый из них является идеалом и делятся на тогда и только тогда , когда некоторый идеал из разделяющего ветвятся. Последнее является идеалом и делится на простой идеал в точности тогда , когда ветвится. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$

Ветвления являются ручным , когда индексы ветвления все взаимно просты к остатку характерным р от , в противном случае дикие . Это условие важно в теории модулей Галуа . Конечное общем этальна расширение из дедекиндовыми доменов является ручным тогда и только тогда , когда след сюръективна. ${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle B / A}$${\ displaystyle \ operatorname {Tr}: от B \ до A}$

В местных полях

Более подробный анализ ветвления в числовых полях может быть проведен с использованием расширений p-адических чисел , потому что это локальный вопрос. В этом случае количественная мера разветвления определяется для расширений Галуа , в основном задавая вопрос, как далеко группа Галуа перемещает элементы поля относительно метрики. Определяется последовательность групп ветвления , реифицирующая (среди прочего) дикое ( неприрученное ) ветвление. Это выходит за рамки геометрического аналога.

В алгебре

В теории оценки , то теория ветвления оценок изучает набор расширений одного оценок в виде поле K на поле расширения в K . Это обобщает понятия алгебраической теории чисел, локальных полей и дедекиндовских областей.

В алгебраической геометрии

Соответствующее понятие неразветвленного морфизма существует и в алгебраической геометрии. Он служит для определения этальных морфизмов .

Позвольте быть морфизм схем. Поддержка квазикогерентного пучка называется ветвление локуса в и образ ветвления локуса , называется ветвление в . Если мы говорим, что это формально неразветвленное, а если также имеет локально конечное представление, мы говорим, что это неразветвленное (см. Vakil 2017 ). ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle \ Omega _ {X / Y}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f \ left (\ operatorname {Supp} \ Omega _ {X / Y} \ right)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ Omega _ {X / Y} = 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Смотрите также

• Полином Эйзенштейна
• Многоугольник Ньютона
• Расширение Puiseux
• Разветвленное покрытие

использованная литература

• Нойкирх, Юрген (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту  1697859 . Zbl  0956.11021 .
• Вакил, Рави (18 ноября 2017 г.). Восходящее море: основы алгебраической геометрии (PDF) . Дата обращения 5 июня 2019 .

внешние ссылки

• «Разветвление в числовых полях» . PlanetMath .