Оценка (алгебра) - Valuation (algebra)

В алгебре (в частности , в алгебраической геометрии или алгебраической теории чисел ), A оценка является функцией на поле , которое обеспечивает измерение размера или множество элементов поля. Она обобщает коммутативной алгебре понятие размера , присущего рассмотрения степенью полюса или кратности в виде нуля в комплексном анализе, степень делимости числа на простое число в теории чисел, и геометрическая концепция контакта между двумя алгебраические или аналитические многообразия в алгебраической геометрии. Поле с оценкой называется оценочным полем .

Определение

Начнем со следующих объектов:

Порядок и групповой закон на Γ распространяются на множество Γ ∪ {∞ } по правилам

  • ∞ ≥ α для всех αΓ ,
  • ∞ + α = α + ∞ = ∞ для всех αΓ .

Тогда оценка K - это любое отображение

v  : K → Γ ∪ {∞}

которое удовлетворяет следующим свойствам для всех a , b в K :

  • v ( a ) = ∞ тогда и только тогда, когда a = 0 ,
  • v ( ab ) = v ( a ) + v ( b ) ,
  • v ( a + b ) ≥ min ( v ( a ), v ( b )) , с равенством, если v ( a ) ≠ v ( b ).

Нормирование v является тривиальным , если v ( ) = 0 для всех а в K × , в противном случае это нетривиальное .

Второе свойство утверждает, что любая оценка является групповым гомоморфизмом . Третье свойство - это версия неравенства треугольника на метрических пространствах, адаптированная к произвольному Γ (см. Мультипликативные обозначения ниже). Для оценок, используемых в геометрических приложениях, первое свойство означает, что любой непустой росток аналитического многообразия вблизи точки содержит эту точку.

Оценку можно интерпретировать как порядок условия опережающего порядка . Третье свойство тогда соответствует порядку суммы, являющейся порядком большего члена, если два члена не имеют одинаковый порядок, и в этом случае они могут отменяться, и в этом случае сумма может иметь больший порядок.

Для многих приложений Γ является аддитивной подгруппой действительных чисел, и в этом случае ∞ можно интерпретировать как + ∞ в расширенных действительных числах ; обратите внимание, что для любого действительного числа a , и, следовательно, + ∞ является единицей минимальной двоичной операции. Действительные числа (расширенные на + ∞) с операциями минимума и сложения образуют полукольцо , называемое минимальным тропическим полукольцом , а оценка v является почти гомоморфизмом полукольца из K в тропическое полукольцо, за исключением того, что свойство гомоморфизма может не выполняться, когда два элемента с одинаковой оценкой складываются вместе.

Мультипликативная запись и абсолютные значения

Эту концепцию разработал Эмиль Артин в его книге « Геометрическая алгебра», записав группу в мультипликативной записи как (Γ, ·, ≥) :

Вместо ∞ мы присоединяем к Γ формальный символ O с расширением порядка и группового закона по правилам

  • Oα для всех α Γ ,
  • O · α = α · O = O для всех α Γ .

Тогда оценка из K называется любое отображение

| ⋅ | v  : K → Γ ∪ { O }

удовлетворяющие следующим свойствам для всех a , bK :

  • | а | v = O тогда и только тогда, когда a = 0 ,
  • | ab | v = | a | v · | b | v ,
  • | a + b | v ≤ max ( | a | v , | b | v ) , с равенством, если | a | v| b | v .

(Обратите внимание, что направления неравенств противоположны направлениям в аддитивной записи.)

Если Γ является подгруппой положительных действительных чисел при умножении, последним условием является ультраметрическое неравенство, более сильная форма неравенства треугольника | a + b | v| a | v + | b | v и | ⋅ | v - абсолютное значение . В этом случае мы можем перейти к аддитивной записи с группой значений , взяв v + ( a ) = −log | a | v .

Каждая оценка на K определяет соответствующий линейный предпорядок : ab| a | v| b | v . И наоборот, если " " удовлетворяет требуемым свойствам, мы можем определить оценку | a | v = { b : baab } с умножением и порядком, основанным на K и .

Терминология

В этой статье мы используем термины, определенные выше, в аддитивной нотации. Однако некоторые авторы используют альтернативные термины:

  • наша «оценка» (удовлетворяющая ультраметрическому неравенству) называется «экспоненциальной оценкой», или «неархимедовым абсолютным значением», или «ультраметрическим абсолютным значением»;
  • наша «абсолютная ценность» (удовлетворяющая неравенству треугольника) называется «оценкой» или «абсолютной величиной Архимеда».

Связанные объекты

Есть несколько объектов, определенных на основе данной оценки v  : K → Γ ∪ {∞} ;

  • группа значение или группа нормирования Γ v = v ( K × ), подгруппа Г (хотя v обычно сюръективны так , что Γ v = Γ );
  • кольцо нормирования R v представляет собой набор сK с V ( ) ≥ 0,
  • идеал м v является множество вK с V ( )> 0 (это на самом деле максимальный идеал из R V ),
  • остаток поля к v = R v / м v ,
  • место из K , связанный с V , класс V под эквивалентности определено ниже.

Основные свойства

Эквивалентность оценок

Два нормирования v 1 и v 2 поля K с оценочной группой Γ 1 и Γ 2 соответственно называются эквивалентными, если существует сохраняющий порядок групповой изоморфизм φ  : Γ 1 → Γ 2 такой, что v 2 ( a ) = φ ( v 1 ( a )) для всех a из K × . Это отношение эквивалентности .

Две оценки K эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же кольцо оценки.

Класс эквивалентности нормирований поля называется место . Теорема Островского дает полную классификацию мест поля рациональных чисел, это в точности классы эквивалентности нормирований для p -адических пополнений поля.

Расширение оценок

Пусть v нормирование в К и пусть L быть расширение поля из K . Расширение VL ) является оценкой ж из L такой , что ограничение на вес до K является v . Множество всех таких расширений изучается в теории ветвления нормирований .

Пусть L / K является конечным расширением и пусть ш быть продолжением V на L . Индекс группы Г V в Г ш , е ( ш / v ) = [Γ ш  : Г V ], называется пониженный индекс ветвления из ш над V . Он удовлетворяет e ( w / v ) ≤ [ L  :  K ] ( степень расширения L / K ). Относительная степень по ш над V определяется как F ( ш / v ) = [ R ж / м ж  :  R об / мин v ] (степень расширения полей вычетов). Кроме того , меньше или равна степени L / K . Когда L / K является разъемные , то индекс ветвления из ш над v определяется как е ( ш / об ) р я , где р я это неотделимо степень удлиняющей R ш / м ш над R об / м против .

Заполните поля значений

При упорядоченные абелева группа Γ является аддитивной группой из целых чисел , ассоциированные оценки эквивалентно абсолютного значения, и , следовательно , индуцирует метрику на поле K . Если K является полным относительно этой метрики, то она называется полное нормированное поле . Если K не является полным, можно использовать оценку для построения его завершения , как в примерах ниже, и разные оценки могут определять разные поля завершения.

В общем, нормирование индуцирует равномерную структуру на K , и K называется полным значным полем, если оно полно как равномерное пространство. Есть связанное с этим свойство, известное как сферическая полнота : если оно эквивалентно полноте, но в целом сильнее.

Примеры

p-адическая оценка

Самый простой пример - p -адическая оценка v p, связанная с простым целым числом p , на рациональных числах с кольцом оценки, где - локализация в простом идеале . Группа оценки - это аддитивные целые числа. Для целого числа оценка v p ( a ) измеряет делимость a на степени p :

а для дроби v p ( a / b ) = v p ( a ) - v p ( b ).

Запись этого мультипликативно дает p -адическое абсолютное значение , которое обычно имеет в качестве основы , so .

Завершение по отношению к об р является полем из р-адических чисел .

Порядок исчезновения

Пусть K = F (x), рациональные функции на аффинной прямой X = F 1 , и возьмем точку a ∈ X. Для многочлена с определим v a ( f ) = k, порядок обращения в нуль в x = a ; и v a ( f / g ) = v a ( f ) - v a ( g ). Тогда кольцо нормирования R состоит из рациональных функций без полюса в точке x = a , а пополнение - это кольцо формальных рядов Лорана F (( x - a )). Это можно обобщить на поле ряда Пюизо K {{ t }} (дробные степени), поле Леви-Чивиты (его пополнение Коши) и поле ряда Хана , при этом оценка во всех случаях возвращает наименьший показатель t. появляясь в сериале.

π -адическая оценка

Обобщая предыдущие примеры, пусть R является областью главных идеалов , K быть его поле частных , и п быть неприводимый элемент из R . Поскольку каждая область главных идеалов является уникальной областью факторизации , каждый ненулевой элемент a из R может быть записан (по существу) однозначно как

где e - неотрицательные целые числа, а p i - неприводимые элементы R , не ассоциированные с π . В частности, целое число e a однозначно определяется a .

Тогда π-адическое нормирование K определяется выражением

Если π '- другой неприводимый элемент R такой, что (π') = (π) (то есть они порождают один и тот же идеал в R ), то π-адическая оценка и π'-адическая оценка равны. Таким образом, π-адическое нормирование можно назвать P -адическим нормированием, где P  = (π).

P- адическая оценка в дедекиндовом домене

Предыдущий пример можно обобщить на дедекиндовские домены . Пусть R дедекиндово домен, K его поле частных, и пусть P быть ненулевой простой идеал R . Затем локализации из R в P , обозначается R Р , является областью главных идеалов поля, из фракций К . Конструкция предыдущего параграфа , приложенный к простому идеалу PR - P из R P дает P -адическому оценку K .

Геометрическое понятие контакта

Оценки могут быть определены для области функций в пространстве размерности больше единицы. Напомним, что оценка порядка исчезновения v a ( f ) on измеряет кратность точки x = a в нулевом множестве f ; можно рассматривать это как порядок контакта (или число локальных пересечений ) графа y = f ( x ) с осью x y = 0 вблизи точки ( a , 0). Если вместо оси x зафиксировать другую неприводимую плоскую кривую h ( x , y ) = 0 и точку ( a , b ), можно аналогичным образом определить оценку v h на так, чтобы v h ( f ) была порядок контакта (число пересечения) между фиксированной кривой и f ( x , y ) = 0 вблизи ( a , b ). Эта оценка естественным образом распространяется на рациональные функции.

Фактически, эта конструкция является частным случаем π-адического нормирования на PID, определенном выше. А именно, рассмотрим локальное кольцо , кольцо рациональных функций, которые определены на некотором открытом подмножестве кривой h = 0. Это PID; фактически кольцо дискретной оценки , единственными идеалами которого являются полномочия . Тогда оценка выше v ч является π-адическое нормирование , соответствующая неприводимому элемента я = чR .

Пример: Рассмотрим кривую, заданную , а именно график около начала координат . Эта кривая может быть параметризована следующим образом:

со специальной точкой (0,0), соответствующей t = 0. Теперь определим как порядок формального степенного ряда по t, полученного ограничением любого ненулевого многочлена на кривую V h :

Это распространяется и на поле рациональных функций с помощью , а также с .

Некоторые номера перекрестков:

Векторные пространства над полями оценки

Предположим, что Γ ∪ {0} - множество неотрицательных действительных чисел при умножении. Затем мы говорим, что оценка недискретна, если ее диапазон (группа оценки) бесконечен (и, следовательно, имеет точку накопления в 0).

Предположим , что Х представляет собой векторное пространство над К и что и B являются подмножествами X . Тогда мы говорим, что A поглощает B, если существует αK такое, что λK и | λ | ≥ | α | следует , что B ⊆ А А . Называется радиальной или поглощающей , если поглощает каждое конечное подмножество X . Радиальные подмножества X инвариантны относительно конечного пересечения. Также A называется обведенным, если λ в K и | λ | ≥ | α | влечет λ A ⊆ A . Множество обведенных кружком подмножеств L инвариантно относительно произвольных пересечений. Закругленная оболочка из А является пересечением всех кружек подмножеств X , содержащих А .

Предположим, что X и Y - векторные пространства над недискретным оценочным полем K , пусть A ⊆ X , B ⊆ Y , и пусть f: X → Y - линейное отображение. Если B обведен кружком или радиален, то так оно и есть . Если обведен то и F (A) , но если радиальная , то Р (А) будет радиальными при дополнительном условии , что е сюръективно.

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

  • Efrat, Идо (2006), оценка стоимости, упорядочивания и Милнором K -теория , Mathematical Surveys и монографиях, 124 , Providence, RI: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-4041-X, Zbl  1103,12002
  • Джейкобсон, Натан (1989) [1980], «Оценки: параграф 6 главы 9», Базовая алгебра II (2-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company , ISBN 0-7167-1933-9, Zbl  0694,16001. Шедевр по алгебре, написанный одним из ведущих авторов.
  • Глава VI Зарисского, Оскар ; Самуэль, Пьер (1976) [1960], Коммутативная алгебра, Том II , Тексты для выпускников по математике , 29 , Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90171-8, Zbl  0322.13001
  • Schaefer, Helmuth H .; Вольф, депутат (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 3 . Нью-Йорк: Springer-Verlag . С. 10–11. ISBN 9780387987262.

Внешние ссылки