Вырождение (математика) - Degeneracy (mathematics)

В математике , вырожденный случай является предельным случаем класса объектов , которые , как представляется, качественно отличаются от (и , как правило , проще , чем) остальной части класса, а термин вырождение является условием является вырожденным случаем.

Определения многих классов составных или структурированных объектов часто неявно включают неравенства. Например, углы и длины сторон треугольника должны быть положительными. Предельные случаи, когда одно или несколько из этих неравенств становятся равенствами, являются вырождениями. В случае треугольников получается вырожденный треугольник, если хотя бы одна сторона или угол равны нулю (эквивалентно, он становится «отрезком линии»).

Часто вырожденные случаи являются исключительными случаями, когда происходят изменения обычной размерности или мощности объекта (или какой-либо его части). Например, треугольник - это объект размерности два, а вырожденный треугольник содержится в линии , что делает его размерность равной единице. Это похоже на случай круга, размер которого уменьшается с двух до нуля, когда он превращается в точку. В качестве другого примера, набор решений из системы уравнений , которая зависит от параметров , как правило , имеет фиксированную мощность и размер, но количество элементов и / или размер могут быть различными для некоторых исключительных значений, называется вырожденные случаи. В таком вырожденном случае множество решений называется вырожденным.

Для некоторых классов составных объектов вырожденные случаи зависят от конкретно исследуемых свойств. В частности, класс объектов часто может быть определен или охарактеризован системами уравнений. В большинстве сценариев данный класс объектов может определяться несколькими различными системами уравнений, и эти разные системы уравнений могут приводить к различным вырожденным случаям, характеризуя одни и те же невырожденные случаи. Это может быть причиной отсутствия общего определения вырождения, несмотря на то, что это понятие широко используется и определяется (при необходимости) в каждой конкретной ситуации.

Таким образом, у вырожденного случая есть особые особенности, которые делают его нетипичным . Однако не все необщие случаи вырождены. Например, прямоугольные , равнобедренные и равносторонние треугольники не являются общими и невырожденными. Фактически, вырожденные случаи часто соответствуют особенностям объекта или некоторого конфигурационного пространства . Например, коническое сечение является вырожденным тогда и только тогда, когда оно имеет особые точки (например, точка, прямая, пересекающиеся прямые).

В геометрии

Коническое сечение

Вырожденная коника - это коническое сечение ( плоская кривая второй степени , определяемая полиномиальным уравнением второй степени), которое не может быть неприводимой кривой .

Точка является вырожденной окружности , а именно один с радиусом 0.
Линия представляет собой вырожденный случай параболы , если парабола находится на касательной плоскости . В инверсивной геометрии линия представляет собой вырожденный случай окружности с бесконечным радиусом.
Две параллельные прямые также образуют вырожденную параболу.
Отрезок линии можно рассматривать как вырожденный случай эллипса, в котором малая полуось стремится к нулю, фокусы идут к конечным точкам, а эксцентриситет переходит к единице.
Круг можно рассматривать как вырожденный эллипс, поскольку эксцентриситет приближается к 0.
Эллипс также может вырождаться в одну точку.
Гипербола может вылиться в две строк , пересекающихся в точке, через семейство гипербол , имеющие эти линии , как общие асимптоты .

Треугольник

Три типа вырожденных треугольников, каждый из которых имеет нулевую площадь.

Вырожденный треугольник имеет коллинеарные вершины и нулевую площадь и, таким образом, совпадает с отрезком, покрытым дважды (если все три вершины не равны; в противном случае треугольник вырождается в одну точку). Если три вершины попарно различны, у него есть два угла 0 ° и один угол 180 °. Если две вершины равны, у него один угол 0 ° и два неопределенных угла.

Прямоугольник

Отрезок - это вырожденный случай прямоугольника, длина стороны которого равна 0.
Для любого непустого подмножества существует ограниченный выровненный по оси вырожденный прямоугольник ${\ Displaystyle S \ substeq \ {1,2, \ ldots, п \}}$
${\ Displaystyle R \ треугольникq \ влево \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}: x_ {i} = c_ {i} \ ({\ text {for}} i \ in S) {\ text {и}} a_ {i} \ leq x_ {i} \ leq b_ {i} \ ({\ text {for}} i \ notin S) \ right \}}$
где и $a$ $i$ , $b$ $i$ , $c$ $i$ постоянны (с $a$ $i$ $\leq$ $b$ $i$ для всех $i$ ). Число вырожденных сторон $R$ представляет собой число элементов подмножества $S$ . Таким образом, может быть всего одна вырожденная «сторона» или целых $n$ (в этом случае $R$ сводится к одноэлементной точке). ${\ Displaystyle \ mathbf {х} \ треугольник \ влево [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} \ right]}$

Выпуклый многоугольник

Выпуклый многоугольник является вырожденной , если по крайней мере , две последовательные стороны совпадают , по меньшей мере , частично или , по крайней мере , одна сторона имеет нулевую длину, или , по меньшей мере , один угол равен 180 °. Таким образом, вырожденный выпуклый многоугольник с n сторонами выглядит как многоугольник с меньшим числом сторон. В случае треугольников это определение совпадает с тем, что было дано выше.

Выпуклый многогранник

Выпуклый многогранник является вырожденной , если либо две смежные грани находятся в одной плоскости , или два ребра выровнены. В случае тетраэдра это эквивалентно тому, что все его вершины лежат в одной плоскости , что придает ему нулевой объем .

Стандартный тор

В контекстах, где разрешено самопересечение, сфера представляет собой вырожденный стандартный тор, в котором ось вращения проходит через центр образующей окружности, а не за ее пределами.
Тор вырождается в круг, когда его малый радиус становится равным 0.

Сфера

Когда радиус сферы стремится к нулю, полученная вырожденная сфера нулевого объема становится точкой .

Другой

Смотрите общее положение для других примеров.

В другом месте

Множество, содержащее единственную точку, представляет собой вырожденный континуум .
Такие объекты, как Digon и monogon можно рассматривать как вырожденные случаи многоугольников : действительные в общем абстрактном математическом смысле, но не часть первоначальной евклидовой концепции многоугольников.
Случайная величина , которая может принимать только одно значение имеет вырожденное распределение ; если это значение является действительным числом 0, то его плотность вероятности является дельта-функцией Дирака .
Корни из многочлена называются вырожденными , если они совпадают, так как родовую п корней п - й степени полинома различны. Это использование переносится на собственные задачи: вырожденное собственное значение (то есть многократное совпадение корня характеристического многочлена ) - это такое, которое имеет более одного линейно независимого собственного вектора .
В квантовой механике любая такая множественность собственных значений оператора Гамильтона порождает вырожденные уровни энергии . Обычно такое вырождение указывает на некоторую симметрию, лежащую в основе системы.

Смотрите также

использованная литература

^ ^a ^b «Окончательный словарь высшего математического жаргона - вырожденный случай» . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 29 ноября 2019 .
^ ^a ^b ^c ^d ^e Вайсштейн, Эрик У. «Выродившийся» . mathworld.wolfram.com . Проверено 29 ноября 2019 .
^ «Определение ВЫРОЖДЕНИЯ» . www.merriam-webster.com . Проверено 29 ноября 2019 .
^ ^a ^b ^c «Математические слова: вырожденный» . www.mathwords.com . Проверено 29 ноября 2019 .
^ «Математические слова: вырожденные конические сечения» . www.mathwords.com . Проверено 29 ноября 2019 .

[:0-1] «Окончательный словарь высшего математического жаргона - вырожденный случай» . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 29 ноября 2019 .

[:1-2] Вайсштейн, Эрик У. «Выродившийся» . mathworld.wolfram.com . Проверено 29 ноября 2019 .

[3] «Определение ВЫРОЖДЕНИЯ» . www.merriam-webster.com . Проверено 29 ноября 2019 .

[:2-4] «Математические слова: вырожденный» . www.mathwords.com . Проверено 29 ноября 2019 .

[5] «Математические слова: вырожденные конические сечения» . www.mathwords.com . Проверено 29 ноября 2019 .

Languages

In other projects