Эйлерова характеристика - Euler characteristic

В математике , а точнее в алгебраической топологии и полиэдральной комбинаторике , характеристика Эйлера (или число Эйлера , или характеристика Эйлера – Пуанкаре ) является топологическим инвариантом , числом, которое описывает форму или структуру топологического пространства независимо от того, каким оно является. согнутый. Обычно его обозначают ( греческая строчная буква хи ). ${\ displaystyle \ chi}$

Первоначально характеристика Эйлера была определена для многогранников и использовалась для доказательства различных теорем о них, включая классификацию платоновых тел . Это было сказано для Платоновых тел в 1537 году в неопубликованной рукописи Франческо Мауролико . Леонард Эйлер , в честь которого названо это понятие, ввел его для выпуклых многогранников в более общем смысле, но не смог строго доказать, что это инвариант. В современной математике характеристика Эйлера возникает из гомологии и, более абстрактно, из гомологической алгебры .

Многогранники

Вершина, ребро и грань куба

Эйлерова характеристика была классический определена для поверхностей многогранников, в соответствии с формулой ${\ displaystyle \ chi}$

{\ displaystyle \ chi = V-E + F}

где V , E и F - количество вершин (углов), ребер и граней в данном многограннике соответственно. Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику

{\ displaystyle V-E + F = 2.}

Это уравнение, сформулированное Леонардом Эйлером в 1758 году, известно как формула многогранника Эйлера . Он соответствует эйлеровой характеристике сферы (т. Е. Χ = 2) и одинаково применяется к сферическим многогранникам . Иллюстрация формулы на всех платоновых многогранниках приведена ниже.

Имя	Вершины V	Края E	Лица F	Эйлерова характеристика: V - E + F
Тетраэдр	4	6	4	2
Шестигранник или куб	8	12	6	2
Октаэдр	6	12	8	2
Додекаэдр	20	30	12	2
Икосаэдр	12	30	20	2

Поверхности невыпуклых многогранников могут иметь различные эйлеровы характеристики:

Имя	Вершины V	Края E	Лица F	Эйлерова характеристика: V - E + F
Тетрагемигексаэдр	6	12	7	1
Октагемиоктаэдр	12	24	12	0
Кубогемиоктаэдр	12	24	10	−2
Малый звездчатый додекаэдр	12	30	12	−6
Большой звездчатый додекаэдр	20	30	12	2

Для правильных многогранников Артур Кэли вывел модифицированную форму формулы Эйлера, используя плотность D , плотность вершин d _v и плотность граней : ${\ displaystyle d_ {f}}$

{\ displaystyle d_ {v} V-E + d_ {f} F = 2D.}

Эта версия верна как для выпуклых многогранников (где все плотности равны единице), так и для невыпуклых многогранников Кеплера – Пуансо .

Все проективные многогранники имеют эйлерову характеристику 1, как реальная проективная плоскость , в то время как поверхности тороидальных многогранников имеют эйлерову характеристику 0, как и тор .

Плоские графики

Эйлерова характеристика может быть определена для связных плоских графов по той же формуле, что и для многогранных поверхностей, где F - количество граней в графе, включая внешнюю грань. ${\ Displaystyle V-E + F}$

Эйлерова характеристика любого плоского связного графа G равна 2. Это легко доказать индукцией по количеству граней, определяемых G, начиная с дерева в качестве базового случая. Для деревьев и . Если G имеет компоненты C (несвязные графы), то же рассуждение индукцией по F показывает , что . Одна из немногих работ Коши по теории графов также доказывает этот результат. ${\ Displaystyle E = V-1}$ ${\ Displaystyle F = 1}$ ${\ Displaystyle V-E + FC = 1}$

С помощью стереографической проекции плоскость отображается в 2-сферу, так что связный граф отображается в многоугольное разложение сферы, имеющее эйлерову характеристику 2. Эта точка зрения подразумевается в приведенном ниже доказательстве формулы Эйлера Коши.

Доказательство формулы Эйлера

Первые шаги доказательства в случае куба

Есть много доказательств формулы Эйлера. Один был дан Коши в 1811 году следующим образом. Это применимо к любому выпуклому многограннику и, в более общем смысле, к любому многограннику, граница которого топологически эквивалентна сфере, а грани топологически эквивалентны кругам.

Удалите одну грань многогранной поверхности. Оттягивая края отсутствующей грани друг от друга, деформируйте все остальные в плоский граф точек и кривых таким образом, чтобы периметр отсутствующей грани располагался снаружи, окружая полученный граф, как показано на рисунке. первый из трех графиков для частного случая куба. (Предположение, что полиэдральная поверхность гомеоморфна сфере вначале, делает это возможным.) После этой деформации правильные грани обычно перестают быть правильными. Количество вершин и ребер осталось прежним, но количество граней уменьшилось на 1. Следовательно, доказательство формулы Эйлера для многогранника сводится к доказательству V - E + F = 1 для этого деформированного плоского объекта.

Если есть грань с более чем тремя сторонами, нарисуйте диагональ, то есть кривую через грань, соединяющую две вершины, которые еще не соединены. Это добавляет один край и одно лицо и не изменяет число вершин, поэтому он не изменяет величину V - E + F . (Предположение, что все грани представляют собой диски, необходимо здесь, чтобы показать с помощью теоремы Жордана о кривой, что эта операция увеличивает количество граней на единицу.) Продолжайте добавлять ребра таким образом, пока все грани не станут треугольными.

Примените несколько раз любое из следующих двух преобразований, сохраняя неизменным тот факт, что внешняя граница всегда является простым циклом :

Удалите треугольник, у которого только одно ребро примыкает к внешней стороне, как показано на втором графике. Это уменьшает число ребер и граней по одному и не изменяет число вершин, поэтому он сохраняет V - E + F .
Удалите треугольник с двумя ребрами, общими для внешней части сети, как показано на третьем графике. При каждом удалении треугольника удаляется вершина, два ребра и одна грань, поэтому V - E + F сохраняется .

Эти преобразования в конечном итоге сводят плоский граф к одному треугольнику. (Без инварианта простого цикла удаление треугольника могло бы разъединить оставшиеся треугольники, сделав недействительным остальную часть аргумента. Допустимый порядок удаления - элементарный пример обстрела .)

На данный момент у одиночного треугольника V = 3, E = 3 и F = 1, так что V - E + F = 1. Поскольку каждый из двух вышеуказанных шагов преобразования сохранил эту величину, мы показали V - E + F = 1 для деформированного плоского объекта, таким образом демонстрируя V - E + F = 2 для многогранника. Это доказывает теорему.

Для дополнительных доказательств см Двадцать Доказательств формулы Эйлера по Дэвиду Eppstein . Несколько доказательств, в том числе их недостатки и ограничения, которые используются в качестве примеров в Доказательств и опровержений по Лакатос .

Топологическое определение

Обсуждаемые выше полиэдральные поверхности, говоря современным языком, являются двумерными конечными CW-комплексами . (Когда используются только треугольные грани, они являются двумерными конечными симплициальными комплексами .) В общем, для любого конечного CW-комплекса эйлерова характеристика может быть определена как альтернированная сумма

{\ displaystyle \ chi = k_ {0} -k_ {1} + k_ {2} -k_ {3} + \ cdots,}

где k _n обозначает количество ячеек размерности n в комплексе.

Аналогичным образом , для симплициального комплекса , то эйлерова характеристика равна сумме переменного

{\ displaystyle \ chi = k_ {0} -k_ {1} + k_ {2} -k_ {3} + \ cdots,}

где k _n обозначает количество n -симплексов в комплексе.

Альтернатива числа Бетти

В более общем плане все же, для любого топологического пространства , мы можем определить п - -й число Бетти Ь _п в качестве ранга из ˝n˝ -х особой гомологии группы. Тогда эйлерову характеристику можно определить как знакопеременную сумму

{\ displaystyle \ chi = b_ {0} -b_ {1} + b_ {2} -b_ {3} + \ cdots.}

Эта величина хорошо определена, если все числа Бетти конечны и если они равны нулю после определенного индекса n ₀ . Для симплициальных комплексов это не то же определение, что и в предыдущем абзаце, но вычисление гомологии показывает, что два определения дадут одинаковое значение для . ${\ displaystyle \ chi}$

Характеристики

Эйлерова характеристика хорошо ведет себя по отношению ко многим основным операциям на топологических пространствах следующим образом.

Гомотопическая инвариантность

Гомологии - это топологический инвариант, и, более того, гомотопический инвариант : два гомотопически эквивалентных топологических пространства имеют изоморфные группы гомологий. Отсюда следует, что эйлерова характеристика также является гомотопическим инвариантом.

Например, любое стягиваемое пространство (то есть одно гомотопически эквивалентное точке) имеет тривиальные гомологии, что означает, что 0-е число Бетти равно 1, а остальные 0. Следовательно, его эйлерова характеристика равна 1. Этот случай включает евклидово пространство любой размерности. , а также единичный твердый шар в любом евклидовом пространстве - одномерный интервал, двумерный диск, трехмерный шар и т. д. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Другой пример: любой выпуклый многогранник гомеоморфен трехмерному шару , поэтому его поверхность гомеоморфна (следовательно, гомотопически эквивалентна) двумерной сфере , которая имеет эйлерову характеристику 2. Это объясняет, почему выпуклые многогранники имеют эйлерову характеристику 2.

Принцип включения-исключения

Если M и N - любые два топологических пространства, то эйлерова характеристика их дизъюнктного объединения равна сумме их эйлеровых характеристик, поскольку гомологии аддитивны относительно дизъюнктного объединения:

{\ Displaystyle \ чи (М \ sqcup N) = \ чи (М) + \ чи (N).}

В более общем смысле, если M и N являются подпространствами большего пространства X , то их объединение и пересечение тоже. В некоторых случаях эйлерова характеристика подчиняется одному из вариантов принципа включения-исключения :

{\ Displaystyle \ чи (M \ чашка N) = \ чи (M) + \ чи (N) - \ чи (M \ cap N).}

Это верно в следующих случаях:

если M и N - эксцизивная пара . В частности, если внутренности из M и N внутри союза по- прежнему покрывают союз.
если X - локально компактное пространство и используются характеристики Эйлера с компактными носителями , никаких предположений относительно M или N не требуется.
если X - стратифицированное пространство, все страты которого четномерны, принцип включения-исключения выполняется, если M и N являются объединениями стратов. В частности, это применимо, если M и N - подмногообразия комплексного алгебраического многообразия .

В общем, принцип включения – исключения неверен. Контрпример дается с X , чтобы быть в реальной линии , М подмножество , состоящее из одной точки , а Н дополнением из М .

Связанная сумма

Для двух связанных замкнутых n-мерных многообразий можно получить новое связное многообразие с помощью операции связной суммы . Эйлерова характеристика связана формулой ${\ displaystyle M, N}$ ${\ displaystyle M \ #N}$

{\ displaystyle \ chi (M \ #N) = \ chi (M) + \ chi (N) - \ chi (S ^ {n}).}

Свойство продукта

Кроме того, эйлерова характеристика любого пространства-произведения M × N равна

{\ Displaystyle \ чи (М \ раз N) = \ чи (М) \ CDOT \ чи (N).}

Эти сложения и умножения свойства также пользуются мощности из множеств . Таким образом, характеристика Эйлера может рассматриваться как обобщение мощности; см. [1] .

Покрытие пространств

Аналогично, для к -листному накрытие один имеет ${\ displaystyle {\ tilde {M}} \ to M,}$

{\ Displaystyle \ чи ({\ тильда {M}}) = к \ cdot \ чи (M).}

В более общем смысле, для разветвленного накрывающего пространства эйлерова характеристика покрытия может быть вычислена из вышеизложенного с поправочным коэффициентом для точек ветвления, что дает формулу Римана – Гурвица .

Свойство фибрации

Свойство произведения имеет место в более общем смысле для расслоений с определенными условиями.

Если - расслоение со слоем F, с линейно связной базой B и ориентируемым над полем K, то эйлерова характеристика с коэффициентами в поле K удовлетворяет свойству произведения: ${\ displaystyle p \ двоеточие E \ to B}$

{\ Displaystyle \ чи (Е) = \ чи (F) \ cdot \ чи (B).}

Сюда входят пространства произведений и накрывающие пространства как частные случаи, и это может быть доказано спектральной последовательностью Серра на гомологиях расслоения.

Для пучков волокон это также можно понять в терминах карты переноса ( обратите внимание, что это подъем и идет «не в ту сторону»), композиция которой с отображением проекции является умножением на класс Эйлера слоя: ${\ Displaystyle \ тау \ двоеточие H _ {*} (B) \ to H _ {*} (E)}$ ${\ displaystyle p _ {*} \ двоеточие H _ {*} (E) \ to H _ {*} (B)}$

{\ Displaystyle п _ {*} \ circ \ tau = \ chi (F) \ cdot 1.}

Примеры

Поверхности

Эйлерову характеристику можно легко вычислить для общих поверхностей, найдя полигонизацию поверхности (то есть описание как CW-комплекс ) и используя приведенные выше определения.

Имя	Изображение	χ
Интервал		01
Круг		00
Диск		01
Сфера		02
Тор (произведение двух кругов)		00
Двойной тор		−2
Тройной тор		−4
Реальная проективная плоскость		01
Лента Мебиуса		00
Бутылка Клейна		00
Две сферы (не связанные) (Непересекающееся объединение двух сфер)		2 + 2 = 4
Три сферы (не связанные) (Непересекающееся объединение трех сфер)		2 + 2 + 2 = 6
${\ displaystyle n}$ сфер (не подключен) (несвязное объединение из п сфер)	. . .	2 + ... + 2 = 2n

Футбольный мяч

Обычно футбольные мячи конструируют путем сшивания пятиугольных и шестиугольных частей, при этом по три части встречаются в каждой вершине (см., Например, Adidas Telstar ). Если используются P пятиугольников и H шестиугольников, то имеется F = P + H граней, V = (5 P + 6 H ) / 3 вершины и E = (5 P + 6 H ) / 2 ребра. Таким образом, эйлерова характеристика

{\ displaystyle V-E + F = {\ frac {5P + 6H} {3}} - {\ frac {5P + 6H} {2}} + P + H = {\ frac {P} {6}}. }

Поскольку сфера имеет эйлерову характеристику 2, то P = 12. То есть футбольный мяч, построенный таким образом, всегда имеет 12 пятиугольников. В принципе, количество шестиугольников неограниченно. Этот результат применим к фуллеренам и многогранникам Гольдберга .

Произвольные размеры

Сравнение эйлеровых характеристик гиперкубов и симплексов размерностей от 1 до 4

На n -мерной сфере имеются особые группы гомологий, равные

{\ displaystyle H_ {k} (S ^ {n}) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & k = 0, n \\\ {0 \} & {\ text {в противном случае}} \ end { случаи}}}

следовательно, имеет число Бетти 1 в размерностях 0 и n , а все остальные числа Бетти равны 0. Тогда его эйлерова характеристика равна 1 + (−1) ⁿ - то есть либо 0, либо 2.

П - мерное вещественное проективное пространство является частное от деления п -сферы по антипод карте . Отсюда следует, что его эйлерова характеристика ровно вдвое меньше, чем у соответствующей сферы - либо 0, либо 1.

П - мерный тор является произведением пространства п кругов. Его эйлерова характеристика равна 0 по свойству произведения. В более общем смысле, любое компактное параллелизуемое многообразие , включая любую компактную группу Ли , имеет эйлерову характеристику 0.

Эйлерова характеристика любого замкнутого нечетномерного многообразия также равна 0. Случай ориентируемых примеров является следствием двойственности Пуанкаре . Это свойство применяется в более общем плане к любому компактному стратифицированному пространству, все страты которого имеют нечетную размерность. Это также применимо к замкнутым нечетномерным неориентируемым многообразиям с помощью ориентируемого двойного покрытия .

Связь с другими инвариантами

Эйлерова характеристика замкнутой ориентируемой поверхности может быть вычислена по ее роду g (число торов в разложении поверхности на связную сумму ; интуитивно количество "ручек") как

{\ displaystyle \ chi = 2-2g.}

Эйлерова характеристика замкнутой неориентируемой поверхности может быть вычислена по ее неориентируемому роду k (число вещественных проективных плоскостей в разложении поверхности на связную сумму) как

{\ Displaystyle \ чи = 2-к.}

Для замкнутых гладких многообразий эйлерова характеристика совпадает с числом Эйлера , т. Е. Классом Эйлера его касательного расслоения, вычисленным на фундаментальном классе многообразия. Класс Эйлера, в свою очередь, связан со всеми другими характерными классами из векторных расслоений .

Для замкнутых римановых многообразий эйлерова характеристика также может быть найдена интегрированием кривизны; см. теорему Гаусса – Бонне для двумерного случая и обобщенную теорему Гаусса – Бонне для общего случая.

Дискретным аналогом теоремы Гаусса – Бонне является теорема Декарта о том, что «полный дефект» многогранника , измеренный в полных окружностях, является эйлеровой характеристикой многогранника; см. дефект (геометрия) .

Теорема Хадвигер характеризует характеристику Эйлера как уникальные ( до скалярного умножения ) трансляционно-инвариантного, конечно аддитивного, не-обязательно-неотрицательная функция множества , определенная на конечных объединения из компактных выпуклых множеств в R ^п , что является «однородна степенью 0».

Обобщения

Для каждого комбинаторно- клеточного комплекса определяется эйлерова характеристика как количество 0-ячеек минус количество 1-ячеек, плюс количество 2-ячеек и т. Д., Если эта чередующаяся сумма конечна. В частности, эйлерова характеристика конечного множества - это просто его мощность, а эйлерова характеристика графа - это количество вершин минус количество ребер.

В более общем смысле, можно определить эйлерову характеристику любого цепного комплекса как альтернированную сумму рангов групп гомологии цепного комплекса, предполагая, что все эти ранги конечны.

Версия эйлеровой характеристики, используемая в алгебраической геометрии, выглядит следующим образом. Для любого когерентного пучка на собственной схеме X его эйлерова характеристика определяется как ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

{\ displaystyle \ chi ({\ mathcal {F}}) = \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} h ^ {i} (X, {\ mathcal {F}}),}

где - размерность i -й группы когомологий пучка . В этом случае все размерности конечны по теореме Гротендика о конечности . Это пример эйлеровой характеристики цепного комплекса, где цепной комплекс является конечным разрешением ациклическими пучками. ${\ Displaystyle ч ^ {я} (Х, {\ mathcal {F}})}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Другое обобщение понятия эйлеровой характеристики на многообразиях происходит от орбифолдов (см. Эйлерову характеристику орбифолда ). В то время как каждое многообразие имеет целочисленную эйлерову характеристику, орбифолд может иметь дробную эйлерову характеристику. Например, каплевидное орбифолд имеет эйлерову характеристику 1 + 1 / p , где p - простое число, соответствующее углу конуса 2 $π$ / p .

Понятие эйлеровой характеристики редуцированных гомологий ограниченного конечного ч.у.м. - еще одно обобщение, важное в комбинаторике . Посет считается «ограниченным», если он имеет наименьшие и наибольшие элементы; назовем их 0 и 1. Эйлерова характеристика такого ЧУМ определяется как целое число μ (0,1), где μ - функция Мёбиуса в алгебре инцидентности этого ЧУМа .

Это может быть дополнительно обобщено путем определения Q- значной эйлеровой характеристики для определенных конечных категорий , понятия, совместимого с эйлеровыми характеристиками графов, орбифолдов и множеств, упомянутых выше. В этом случае эйлерова характеристика конечной группы или моноида G равна 1 / | G |, а эйлерова характеристика конечного группоида есть сумма 1 / | G _i |, где мы выбрали по одной репрезентативной группе G _i для каждой компоненты связности группоида.

Смотрите также

использованная литература

Примечания

Библиография

Ричсон, Дэвид С .; Драгоценный камень Эйлера: формула многогранника и рождение топологии . Издательство Принстонского университета 2008.

дальнейшее чтение

Флегг, Х. Грэм; От геометрии к топологии , Довер 2001, стр. 40.

Правильный 4-многогранник	V ( к ₀ )	E ( k ₁ )	F ( к ₂ )	С ( к ₃ )
5-элементный	5	10	10	5
8-элементный	16	32	24	8
16 ячеек	8	24	32	16
24-элементный	24	96	96	24
120 ячеек	600	1200	720	120
600 ячеек	120	720	1200	600

Languages

In other projects