Этальный морфизм - Étale morphism

В алгебраической геометрии , этальна морфизм ( французский:  [идр] ) морфизм схем , который формально этальна и локально конечной презентации. Это алгебраический аналог понятия локального изоморфизма в комплексной аналитической топологии. Они удовлетворяют условиям теоремы о неявной функции , но поскольку открытые множества в топологии Зарисского настолько велики, они не обязательно являются локальными изоморфизмами. Несмотря на это, этальные отображения сохраняют многие свойства локальных аналитических изоморфизмов и полезны при определении алгебраической фундаментальной группы и этальной топологии .

Слово étale - французское прилагательное , которое означает «слабый», как в «слабом приливе», или, образно говоря, спокойный, неподвижный, что-то, что нужно уладить.

Определение

Пусть - гомоморфизм колец . Это делает в алгебру. Выберите унитарный многочлен в и полином в таком , что производная от является единицей . Мы говорим, что это стандартная эталь, если и может быть выбрана так, чтобы она была изоморфна как -алгебра и была каноническим отображением. ${\ displaystyle \ phi: R \ to S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle R [х]}$${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle R [х]}$ ${\ displaystyle f '}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle (р [х] / fR [х]) _ {g}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle (р [х] / fR [х]) _ {g}}$${\ displaystyle \ phi}$

Позвольте быть морфизм схем . Мы говорим , что это этально тогда и только тогда , когда она имеет какую - либо из следующих эквивалентных свойств: ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle f}$

1. ${\ displaystyle f}$ является плоским и неразветвленным .
2. ${\ displaystyle f}$ является гладким морфизмом и неразветвлен.
3. ${\ displaystyle f}$ плоский, локально конечного представления , и для каждого in слой представляет собой несвязное объединение точек, каждая из которых является спектром конечного сепарабельного расширения поля вычетов . ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (у)}$${\ Displaystyle \ каппа (у)}$
4. ${\ displaystyle f}$ плоский, локально конечного представления, и для любого in и каждого алгебраического замыкания поля вычетов геометрический слой представляет собой несвязное объединение точек, каждая из которых изоморфна . ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle k '}$${\ Displaystyle \ каппа (у)}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (y) \ otimes _ {\ kappa (y)} k '}$${\ displaystyle {\ mbox {Spec}} к '}$
5. ${\ displaystyle f}$ является гладким морфизмом относительной размерности нуль.
6. ${\ displaystyle f}$ является гладким морфизмом и локально квазиконечным морфизмом .
7. ${\ displaystyle f}$ локально конечного представления и локально является стандартным этальным морфизмом, т. е.

   Для каждого в , пусть . Тогда существует открытая аффинная окрестность Spec R из и аффинной окрестности открытой Spec S из таких , что F (Spec S ) содержатся в Spec R и таким образом, что кольцевой гомоморфизм R → S , индуцированный является стандартным этально. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle у = е (х)}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f}$

8. ${\ displaystyle f}$ локально конечного представления и формально этальна .
9. ${\ displaystyle f}$ локально конечного представления и формально этальна для отображений из локальных колец, то есть:

   Пусть A - локальное кольцо и J - идеал кольца A такой, что J ² = 0 . Установите Z = Spec A и Z ₀ = Spec A / J , и пусть i  : Z ₀ → Z будет каноническим замкнутым погружением. Пусть z обозначает замкнутую точку Z ₀ . Пусть h  : Z → Y и g ₀  : Z ₀ → X - морфизмы такие, что f ( g ₀ ( z )) = h ( i ( z )) . Тогда существует единственный Y -морфизм g  : Z → X такой, что gi = g ₀ .

Предположим, что она локально нётерова, а f локально конечного типа. Для in , пусть и пусть будет индуцированное отображение на завершенных локальных кольцах. Тогда следующие эквиваленты: ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle у = е (х)}$${\ Displaystyle {\ шляпа {\ mathcal {O}}} _ {Y, y} \ to {\ hat {\ mathcal {O}}} _ {X, x}}$

1. ${\ displaystyle f}$ эталь.
2. Для каждого in индуцированное отображение на пополненных локальных кольцах формально является этальным для адической топологии. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$
3. Для каждого дюйма , является свободным модулем и волокно представляет собой поле , которое является конечным разъемным расширением поля вычетов поля . (Вот максимальный идеал .) ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {O}}} _ {X, x}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {O}}} _ {Y, y}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {O}}} _ {X, x} / m_ {y} {\ hat {\ mathcal {O}}} _ {X, x}}$${\ Displaystyle \ каппа (у)}$${\ displaystyle m_ {y}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {O}}} _ {Y, y}}$
4. f формально этальна для отображений локальных колец со следующими дополнительными свойствами. Локальное кольцо A можно считать артиновым. Если m - максимальный идеал A , то можно считать , что J удовлетворяет mJ = 0 . Наконец, морфизм на полях вычетов κ ( y ) → A / m можно считать изоморфизмом.

Если, кроме того, все отображения на полях вычетов являются изоморфизмами или если они сепарабельно замкнуты, то они этальны тогда и только тогда, когда для каждого in индуцированное отображение на завершенных локальных кольцах является изоморфизмом. ${\ Displaystyle \ каппа (у) \ к \ каппа (х)}$${\ Displaystyle \ каппа (у)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$

Примеры

Любое открытое погружение является этальным, потому что это локальный изоморфизм.

Накрывающие пространства образуют примеры этальных морфизмов. Например, если в кольце обратимое целое число, то ${\ displaystyle d \ geq 1}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle {\ text {Spec}} (R [t, t ^ {- 1}, y] / (y ^ {d} -t)) \ to {\ text {Spec}} (R [t, t ^ {- 1}])}$

является морфизмом этальной степени . ${\ displaystyle d}$

Любое разветвленное покрытие имеет неразветвленный локус ${\ displaystyle \ pi: от X \ до Y}$

${\ displaystyle \ pi: X_ {un} \ to Y_ {un}}$

который является эталоном.

Морфизмы

${\ displaystyle {\ text {Spec}} (L) \ to {\ text {Spec}} (K)}$

индуцированные конечными сепарабельными расширениями полей являются этальными - они образуют арифметические накрывающие пространства с группой преобразований колоды, задаваемой . ${\ displaystyle {\ text {Gal}} (L / K)}$

Любой кольцевой гомоморфизм вида , где все являются многочленами, а определитель Якоби является единицей в , является этальным. Например, морфизм этальный и соответствует степени покрытия пространства группой преобразований колоды. ${\ Displaystyle R \ к S = R [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] _ {g} / (f_ {1}, \ ldots, f_ {n})}$${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle \ det (\ partial f_ {i} / \ partial x_ {j})}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [t, t ^ {- 1}] \ to \ mathbb {C} [x, t, t ^ {- 1}] / (x ^ {n} -t)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m} \ in Sch / \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / п}$

Продолжая предыдущий пример, предположим, что у нас есть морфизм гладких комплексных алгебраических многообразий. Поскольку задается уравнениями, мы можем интерпретировать его как карту комплексных многообразий. Всякий раз, когда якобиан ненулевого, является локальным изоморфизмом комплексных многообразий по теореме о неявной функции . В предыдущем примере иметь ненулевой якобиан - это то же самое, что быть этальным. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Пусть - доминантный морфизм конечного типа с X , Y локально нётеровым, неприводимым и Y нормальным. Если е является неразветвленным , то этальна. ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$

Для поля K любая K -алгебра A обязательно плоская. Следовательно, A является этальной алгеброй тогда и только тогда, когда она неразветвлена, что также эквивалентно

${\ displaystyle A \ otimes _ {K} {\ bar {K}} \ cong {\ bar {K}} \ oplus ... \ oplus {\ bar {K}},}$

где - сепарабельное замыкание поля K, а правая часть - конечная прямая сумма, все слагаемые которой равны . Эта характеристика этальных K -алгебр является ступенькой в ​​переосмыслении классической теории Галуа (см . Теорию Галуа Гротендика ). ${\ displaystyle {\ bar {K}}}$${\ displaystyle {\ bar {K}}}$

Свойства

• Этальные морфизмы сохраняются при изменении состава и основы.
• Этальные морфизмы локальны на источнике и на основании. Другими словами, является этальным тогда и только тогда, когда для каждого покрытия открытыми подсхемами ограничение на каждую из открытых подсхем покрытия является этальным, а также тогда и только тогда, когда для каждого покрытия открытыми подсхемами индуцированный морфизм этален для каждой подсхемы покрытия. В частности, можно проверить свойство быть этальным на открытых аффинах . ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f _ {(U)}: X \ times _ {Y} U \ to U}$${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle V = \ OperatorName {Spec} (B) \ to U = \ operatorname {Spec} (A)}$
• Продукт конечного семейства этальных морфизмов этален.
• Для конечного семейства морфизмов дизъюнктное объединение является этальным тогда и только тогда, когда каждый из них этален. ${\ displaystyle \ {е _ {\ alpha}: от X _ {\ alpha} \ до Y \}}$${\ displaystyle \ coprod f _ {\ alpha}: \ coprod X _ {\ alpha} \ to Y}$${\ displaystyle f _ {\ alpha}}$
• Пусть и , и предположим, что это неразветвленный и этальный. Тогда это эталь. В частности, если и этальны , то любой -морфизм между и этален. ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle g: Y \ to Z}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle gf}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '}$
• Квазикомпактные этальные морфизмы квазиконечны .
• Морфизм является открытым погружением тогда и только тогда, когда он этален и радиален . ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$
• Если этально и сюръективно, то (конечно или иначе). ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ Displaystyle \ тусклый X = \ тусклый Y}$

Теорема об обратной функции

Этальные морфизмы

е : X  →  Y

являются алгебраическим аналогом локальных диффеоморфизмов . Более точно, морфизм между гладкими многообразиями является этальным в точке тогда и только тогда, когда дифференциал между соответствующими касательными пространствами является изоморфизмом. Это , в свою очередь , именно условие , необходимое для того , чтобы карта между многообразием является локальным диффеоморфизмом, т.е. для любой точки у ∈ Y , существует открытая окрестность U от х , таких , что сужение F на U является диффеоморфизмом. Этот вывод неверен в алгебраической геометрии, потому что топология слишком грубая. Например, рассмотрим проекцию п о параболы

у  =  х ²

к оси Y. Этот морфизм этален во всех точках, кроме начала координат (0, 0), потому что дифференциал задается как 2 x , которое не обращается в нуль в этих точках.

Однако не существует (по Зарисскому ) локальной обратной функции f просто потому, что квадратный корень не является алгебраическим отображением и не задается полиномами. Однако есть выход из этой ситуации, используя этальную топологию. Точное утверждение таково: если является этальным и конечным, то для любой точки y, лежащей в Y , существует этальный морфизм V → Y, содержащий y в своем образе ( V можно рассматривать как этальную открытую окрестность y ), таким образом, что , когда мы замена базы F до V , то (первый член будет на прообраз V по F , если V были Зарискому открытая окрестность) является конечным объединением непересекающихся открытых подмножеств изоморфно V . Другими словами, этально-локально в Y морфизм f является топологическим конечным покрытием. ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle X \ times _ {Y} от V \ до V}$

Для гладкого морфизма относительной размерности n , этально-локально в X и в Y , f является открытым погружением в аффинное пространство . Это эталонный аналог структурной теоремы о субмерсиях . ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {Y} ^ {n}}$

Смотрите также

• Чистота (алгебраическая геометрия)

Рекомендации

Библиография

• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN   978-0-387-90244-9 , MR   0463157
• Гротендик, Александр ; Жан Дьедонна (1964), "ЭЛЕМЕНТЫ геометрический подход algébrique (rédigés АВЭК л сотрудничество де Жан Дьедонна). IV Étude локаль дез SCHEMAS и др дезы morphismes де SCHEMAS, Première партии Специального " , Публикации Mathématiques де l'IHES , 20 : 5-259, DOI : 10.1007 / bf02684747 , S2CID   118147570
• Гротендик, Александр ; Dieudonné, Жан (1964), "ЭЛЕМЕНТЫ геометрического подхода algébrique (rédigés АВЭК л сотрудничество де Жан Дьедонна): IV Étude локаль дез SCHEMAS и др дезы morphismes де SCHEMAS, Première PARTIE." , Публикации Mathématiques де l'IHES , 20 : 5-259 , DOI : 10.1007 / bf02684747 , S2CID   118147570
• Гротендик, Александр; Dieudonné, Жан (1967), "ЭЛЕМЕНТЫ геометрического подхода algébrique (rédigés АВЭК л сотрудничество де Жан Дьедонна): IV Étude локаль дез SCHEMAS и др дезы morphismes де SCHEMAS, Quatrième PARTIE." , Публикации Mathématiques де l'IHES , 32 : 5-333 , DOI : 10.1007 / BF02732123 , S2CID   189794756
• Гротендик, Александр ; Рейно, Michèle (2003) [1971], семинария Geometrie Algébrique Дюбуа Мари - 1960-61 - Revêtements étales и др GROUPE fondamental - (SGA 1) (Документы Mathématiques 3 ) , Париж: Société Mathematique - де - Франс, XVIII + 327, Arxiv : math.AG/0206203 , ISBN   978-2-85629-141-2
• Дж. С. Милн (1980), Étale cohomology , Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN   0-691-08238-3
• Дж. С. Милн (2008). Лекции по этальным когомологиям