Проективная линия - Projective line

В математике , А проективная линия , грубо говоря, расширение обычной линии точки называется точка на бесконечности . Формулировка и доказательство многих теорем геометрии упрощаются за счет исключения частных случаев; например, две различные проективные прямые на проективной плоскости пересекаются ровно в одной точке («параллельного» случая нет).

Есть много эквивалентных способов формального определения проективной линии; одним из наиболее распространенных является определение проективной прямой над полем K , обычно обозначаемой P ¹ ( K ), как набор одномерных подпространств двумерного K - векторного пространства . Это определение является частным случаем общего определения проективного пространства .

Проективная прямая над вещественными числами - это многообразие ; подробности см. в реальной проекционной линии .

Однородные координаты

Произвольная точка проективной прямой P ¹ ( К ) может быть представлена классом эквивалентности из однородных координат , которые принимают форму пары

{\ displaystyle [x_ {1}: x_ {2}]}

элементов K , которые не равны нулю. Две такие пары эквивалентны, если они отличаются общим ненулевым множителем λ :

{\ displaystyle [x_ {1}: x_ {2}] \ sim [\ lambda x_ {1}: \ lambda x_ {2}].}

Линия продолжается бесконечно удаленной точкой

Проективная прямая может быть отождествлена с прямой K, продолженной бесконечно удаленной точкой . Более точно, прямая K может быть отождествлена с подмножеством P ¹ ( K ), заданным формулой

{\ displaystyle \ left \ {[x: 1] \ in \ mathbf {P} ^ {1} (K) \ mid x \ in K \ right \}.}

Это подмножество покрывает все точки в P ¹ ( K ), кроме одной, которая называется бесконечно удаленной точкой :

{\ displaystyle \ infty = [1: 0].}

Это позволяет распространить арифметику на K на P ¹ ( K ) формулами

{\ displaystyle {\ frac {1} {0}} = \ infty, \ qquad {\ frac {1} {\ infty}} = 0,}

{\ displaystyle x \ cdot \ infty = \ infty \ quad {\ text {if}} \ quad x \ not = 0}

{\ displaystyle x + \ infty = \ infty \ quad {\ text {if}} \ quad x \ not = \ infty}

Перевод этой арифметики в однородные координаты дает, когда [0: 0] не встречается:

{\ displaystyle [x_ {1}: x_ {2}] + [y_ {1}: y_ {2}] = [(x_ {1} y_ {2} + y_ {1} x_ {2}): x_ { 2} г_ {2}],}

{\ displaystyle [x_ {1}: x_ {2}] \ cdot [y_ {1}: y_ {2}] = [x_ {1} y_ {1}: x_ {2} y_ {2}],}

{\ displaystyle [x_ {1}: x_ {2}] ^ {- 1} = [x_ {2}: x_ {1}].}

Примеры

Реальная проекционная линия

Проективная прямая над действительными числами называется действительной проективной прямой . Ее также можно представить себе как прямую K вместе с идеализированной точкой на бесконечности ∞; точка соединяется с обоими концами K, образуя замкнутый контур или топологический круг.

Пример получается путем проецирования точек в R ² на единичный круг и последующего определения диаметрально противоположных точек. В терминах теории групп мы можем взять фактор по подгруппе {1, −1}.

Сравните расширенную линию действительных чисел , которая различает ∞ и −∞.

Комплексная проективная линия: сфера Римана

Добавление бесконечно удаленной точки к комплексной плоскости приводит к тому, что пространство топологически является сферой . Следовательно, комплексная проективная линия также известна как сфера Римана (или иногда сфера Гаусса ). Он постоянно используется в комплексном анализе , алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий как простейший пример компактной римановой поверхности .

Для конечного поля

Проективная прямая над конечным полем F _q из q элементов имеет q + 1 точку. Во всем остальном он не отличается от проективных линий, определенных над другими типами полей. В терминах однородных координат [ х : у ] , д из этих точек имеют вид:

[a : 1]

для каждого

a

в

F q

,

а оставшаяся бесконечно удаленная точка может быть представлена как [1: 0].

Группа симметрии

В общем случае группа гомографий с коэффициентами из K действует на проективной прямой P ¹ ( K ). Эта группа действие является транзитивным , так что Р ¹ ( К ) является однородным пространством для группы, часто написанного PGL ₂ ( К ) , чтобы подчеркнуть проективный характер этих преобразований. Транзитивность говорит , что существует гомографию , который преобразует любую точку Q в любую другую точку R . Таким образом, бесконечно удаленная точка на P ¹ ( K ) является артефактом выбора координат: однородные координаты

{\ displaystyle [X: Y] \ sim [\ lambda X: \ lambda Y]}

выразить одномерное подпространство одной лежащей в нем ненулевой точкой ( X , Y ) , но симметрии проективной прямой могут переместить точку ∞ = [1: 0] в любую другую, и это никоим образом не выдающийся.

Верно гораздо больше, поскольку некоторое преобразование может переводить любые заданные различные точки Q _i для i = 1, 2, 3 в любой другой набор из трех различных точек R _i ( тройная транзитивность ). Этот объем спецификации «использует» три измерения PGL ₂ ( K ); другими словами, действие группы строго 3-транзитивно . Вычислительным аспектом этого является кросс-отношение . Действительно, верно обобщенное обратное: действие строго 3-транзитивной группы всегда (изоморфно) обобщенной форме действия PGL ₂ ( K ) на проективной прямой, заменяя «поле» на «KT-поле» (обобщая обратная к более слабой инволюции), и «PGL» соответствующим обобщением проективных линейных отображений.

Как алгебраическая кривая

Проективная прямая - фундаментальный пример алгебраической кривой . С точки зрения алгебраической геометрии, Р ¹ ( К ) является неособым кривым родом 0. Если К является алгебраически замкнутым , это единственным таким кривым над K , вплоть до рациональной эквивалентности . В общем случае (невырожденная) кривая рода 0 рационально эквивалентны над К с коническим C , который сам по себе бирационально проективной прямой тогда и только тогда , когда С имеет точку , определенную над К ; геометрически такая точка P может использоваться как начало координат, чтобы явно обозначить бирациональную эквивалентность.

Поле функций проективной линии является полем К ( Т ) от рациональных функций над K , в одном неопределенном T . В поле автоморфизмы из K ( T ) над K являются именно группы PGL ₂ ( K ) говорилось выше.

Любое функциональное поле K ( V ) алгебраического многообразия V над K , кроме одной точки, имеет подполе, изоморфное K ( T ). С точки зрения бирациональной геометрии это означает, что будет рациональное отображение из V в P ¹ ( K ), которое не является постоянным. Изображение будет опускать только конечное число точек P ¹ ( K ), а прообраз типичной точки P будет иметь размер dim V - 1 . Это начало методов алгебраической геометрии, индуктивных по размерности. Рациональные карты играют роль , аналогичную мероморфных функций из комплексного анализа , и на самом деле в случае компактных римановых поверхностей в два понятия совпадают.

Если теперь принять V размерностью 1, мы получим изображение типичной алгебраической кривой C, представленной «над» P ¹ ( K ). Предполагая, что C неособо (что не умаляет общности, начиная с K ( C )), можно показать, что такое рациональное отображение из C в P ¹ ( K ) будет фактически всюду определено. (Это не тот случай, если есть особенности, поскольку, например, двойная точка, где кривая пересекает сама себя, может дать неопределенный результат после рациональной карты.) Это дает картину, в которой основной геометрической особенностью является разветвление .

Многие кривые, например гиперэллиптические кривые , могут быть представлены абстрактно как разветвленные покрытия проективной прямой. Согласно формуле Римана – Гурвица , тогда род зависит только от типа ветвления.

Рациональной кривой представляет собой кривую , которая является бирационально к проективной прямой (см рациональное разнообразие ); ее род равен 0. Рациональная нормальная кривая в проективном пространстве P ⁿ - это рациональная кривая, не лежащая ни в каком собственном линейном подпространстве; известно, что существует только один пример (с точностью до проективной эквивалентности), заданный параметрически в однородных координатах как

[1: t : t ² : ...: t ⁿ ].

См. Скрученную кубику для первого интересного случая.

Languages

In other projects