Реальная проекционная линия - Real projective line

Реальная проективная линия может быть смоделирована проективно продолженной реальной линией , которая состоит из реальной линии и бесконечно удаленной точки ; т.е. одна точка компактификацией из R .

В геометрии , вещественная проективная линия является проективной прямой над вещественными числами . Это расширение обычной концепции линии , которая исторически была введена для решения проблемы, поставленной визуальной перспективой : две параллельные линии не пересекаются, а, кажется, пересекаются «на бесконечности». Для решения этой проблемы были введены бесконечно удаленные точки таким образом, что в реальной проективной плоскости две различные проективные прямые пересекаются ровно в одной точке. Множество этих бесконечно удаленных точек, «горизонт» зрительной перспективы на плоскости, представляет собой реальную проективную линию. Это набор направлений, исходящих от наблюдателя, находящегося в любой точке, с обозначенными противоположными направлениями.

Примером реальной проективной линии является проективно расширен реальной линией , которую часто называют проективной линией.

Формально реальная проективная прямая P ( R ) определяется как множество всех одномерных линейных подпространств двумерного векторного пространства над вещественными числами. В автоморфизмами вещественной проективной прямой, называются проективные преобразования , homographies или дробно - линейные преобразования . Они образуют проективную линейную группу PGL (2, R ). Каждый элемент PGL (2, R ) может быть определен неособой вещественной матрицей 2 × 2, а две матрицы определяют один и тот же элемент PGL (2, R ), если одна из них является произведением другого и ненулевого действительного числа.

Топологически вещественные проективные линии гомеоморфны в круги . Комплексный аналог реальной проективной прямой - комплексная проективная линия ; то есть сфера Римана .

Определение

Точки вещественной проективной линии обычно определяются как классы эквивалентности в качестве отношения эквивалентности . Отправная точка является вещественным векторным пространством размерности 2, $V$ . Определим на $V ∖ 0$ бинарное отношение $об ~ ш$ для удержания , когда существует ненулевой вещественное число $т$ такое , что $v = т ш$ . Из определения векторного пространства почти сразу следует, что это отношение эквивалентности. Классы эквивалентности - это векторные линии, из которых был удален нулевой вектор. Вещественная проективная прямая $P (V)$ - это множество всех классов эквивалентности. Каждый класс эквивалентности рассматривается как одна точка, или, другими словами, точка определяется как класс эквивалентности.

Если кто-то выбирает основу для $V$ , это количество (путем идентификации вектора с его вектором координат ) для идентификации $V$ с прямым произведением $R \times R = R 2$ , и отношение эквивалентности становится $(x, y) ~ (w, z)$ если существует ненулевое действительное число $t$ такое, что $(x, y) = (tw, tz)$ . В этом случае проективная линия $P (R 2)$ предпочтительно обозначается $P 1 (R)$ или . Класс эквивалентности пары $($ $x$ $,$ $y$ $)$ традиционно обозначается $[$ $x$ $:$ $y$ $]$ , двоеточие в обозначениях напоминает, что, если $y$ $\neq 0$ , отношение $x$ $:$ $y$ одинаково для всех элементов класса эквивалентности. Если точка $Р$ является класс эквивалентности $[$ $х$ $:$ $у$ $]$ говорят , что $($ $х$ $,$ $у$ $)$ представляет собой пару проекционных координат в $Р$ . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ mathbb {P} ^ {1}}$

Поскольку $P (V)$ определяется через отношение эквивалентности, каноническая проекция из $V$ в $P (V)$ определяет топологию ( фактор-топологию ) и дифференциальную структуру на проективной прямой. Однако тот факт, что классы эквивалентности не конечны, вызывает некоторые трудности при определении дифференциальной структуры. Они решаются путем рассмотрения $V$ как евклидова векторного пространства . Круг из единичных векторов есть, в случае $R 2$ , множество векторов, координаты которых удовлетворяют $х 2 + у 2 = 1$ . Этот круг пересекает каждый класс эквивалентности ровно в двух противоположных точках. Следовательно, проективная прямая может рассматриваться как фактор-пространство круга по отношению эквивалентности, так что $v ~ w$ тогда и только тогда, когда либо $v = w,$ либо $v = - w$ .

Диаграммы

Проективная прямая - это многообразие . Это можно увидеть с помощью приведенной выше конструкции через отношение эквивалентности, но легче понять, предоставив атлас, состоящий из двух диаграмм.

График №1: ${\ displaystyle y \ neq 0, \ quad [x: y] \ mapsto {\ frac {x} {y}}}$
График №2: ${\ displaystyle x \ neq 0, \ quad [x: y] \ mapsto {\ frac {y} {x}}}$

Отношение эквивалентности предусматривает, что все представители класса эквивалентности отправляются на одно и то же действительное число с помощью карты.

Любой из $x$ или $y$ может быть равен нулю, но не оба, поэтому обе диаграммы необходимы для покрытия проективной линии. Карта перехода между этими двумя диаграммами - обратная мультипликативная . Поскольку это дифференцируемая функция и даже аналитическая функция (вне нуля), действительная проективная прямая является одновременно дифференцируемым многообразием и аналитическим многообразием .

Обратная функция из диаграммы № 1 является карта

{\ displaystyle x \ mapsto [x: 1].}

Он определяет вложение в реальной линии в проективную линию, чье дополнение изображения точки $[1: 0]$ . Пара, состоящая из этого вложения и проективной прямой, называется проективно расширенной действительной прямой . Отождествляя реальную линию с ее изображением посредством этого вложения, можно увидеть, что проективную линию можно рассматривать как объединение действительной прямой и единственной точки $[1: 0]$ , называемой бесконечно удаленной точкой проективно расширенной действительной прямой, и обозначается как $\infty$ . Это вложение позволяет нам идентифицировать точку $[x : y]$ либо с действительным числом $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} Икс/у$ если $y \neq 0$ , или с $\infty$ в другом случае.

Такое же построение можно проделать и с другой схемой. В этом случае бесконечно удаленная точка равна $[0: 1]$ . Это показывает, что понятие бесконечно удаленной точки не присуще реальной проективной прямой, а связано с выбором вложения реальной прямой в проективную прямую.

Состав

Реальная проективная линия - это полный проективный диапазон, который находится в реальной проективной плоскости и в комплексной проективной прямой. Таким образом, его структура унаследована от этих надстроек. Первичной среди этих структур является отношение проективных гармонических сопряженных между точками проективного диапазона.

Реальная проективная линия имеет циклический порядок, который расширяет обычный порядок действительных чисел.

Автоморфизмы

Проективная линейная группа и ее действие

Умножение матрицы на вектор определяет левое действие $GL 2 (R)$ на пространстве $R 2$ векторов-столбцов: явно,

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} ax + by \\ cx + dy \ end {pmatrix}}.}

Поскольку каждая матрица в $GL 2 (R)$ фиксирует нулевой вектор и отображает пропорциональные векторы в пропорциональные векторы, существует индуцированное действие $GL 2 (R)$ на $P 1 (R)$ : явно,

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} [x: y] = [ax + by: cx + dy].}

(Здесь и ниже обозначение однородных координат обозначает класс эквивалентности матрицы-столбца, его не следует путать с матрицей-строкой ) ${\ displaystyle [x: y]}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}};}$ ${\ Displaystyle [х \; у].}$

Элементы $GL 2 (R),$ которые тривиально действуют на $P 1 (R),$ являются ненулевыми скалярными кратными единичной матрицы; они образуют подгруппу, обозначенную $R \times$ . Проективная линейная группа определена , чтобы быть фактор - группа $PGL 2 (R) = GL 2 (R) / R \times$ . По сказанному выше существует индуцированное точное действие $PGL 2 (R)$ на $P 1 (R)$ . По этой причине, группа $PGL 2 (R)$ может быть также называется группа линейных автоморфизмов из $P 1 (R)$ .

Дробно-линейные преобразования

Используя отождествление $R \cup \infty \to P 1 (R),$ переводящее $x$ в $[x : 1]$ и $\infty$ в $[1: 0]$ , можно получить соответствующее действие $PGL 2 (R)$ на $R \cup \infty$ , которое является дробно-линейным преобразования : явно, поскольку

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} [x: 1] = [ax + b: cx + d] \ quad \ mathrm {and} \ quad {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} [1: 0] = [a: c],}

класс в $PGL$ $2$ $($ $R$ $)$ действует как и , при том понимании, что каждая дробь со знаминателем 0 должна интерпретироваться как $\infty$ . ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {ax + b} {cx + d}}}$ ${\ displaystyle \ infty \ mapsto {\ frac {a} {c}}}$

Характеристики

Для двух упорядоченных троек различных точек в $P 1 (R)$ существует единственный элемент $PGL 2 (R),$ отображающий первую тройку во вторую; то есть действие строго 3-транзитивно . Например, дробно-линейное преобразование отображение $(0, 1, \infty)$ в $(-1, 0, 1)$ является преобразованием Кэли . ${\ Displaystyle х \ mapsto {\ гидроразрыва {х-1} {х + 1}}}$
Стабилизатора в $PGL 2 (R)$ точки $\infty$ является аффинная группа вещественной прямой, состоящей из преобразований для всех $в$ $\in$ $R$ $\times$ и $б$ $\in$ $R$ . ${\ displaystyle x \ mapsto ax + b}$

Languages

In other projects