Гомография - Homography

В проективной геометрии , A гомография является изоморфизмом из проективных пространств , индуцированный изоморфизмом векторных пространств , из которого вытекают проективные пространства. Это биекция, которая отображает линии в линии и, следовательно, коллинеацию . В общем, некоторые коллинеации не являются гомографиями, но основная теорема проективной геометрии утверждает, что это не так в случае реальных проективных пространств размерности не менее двух. Синонимы включают проективность , проективное преобразование и проективную коллинеацию .

Исторически гомографии (и проективные пространства) были введены для изучения перспективы и проекций в евклидовой геометрии , а термин « гомография» , который этимологически примерно означает «подобный рисунок», восходит к этому времени. В конце 19 века были введены формальные определения проективных пространств, которые отличались от расширения евклидовых или аффинных пространств добавлением бесконечно удаленных точек . Термин «проективное преобразование» возник в этих абстрактных конструкциях. Эти конструкции делятся на два класса, которые оказались эквивалентными. Проективное пространство может быть построено как набор линий векторного пространства над данным полем (приведенное выше определение основано на этой версии); эта конструкция облегчает определение проективных координат и позволяет использовать инструменты линейной алгебры для изучения гомографий. Альтернативный подход состоит в определении проективного пространства с помощью набора аксиом, которые не включают явно какое-либо поле ( геометрия инцидентности , см. Также синтетическую геометрию ); в этом контексте коллинеации легче определить, чем омографии, а омографии определяются как специфические коллинеации, так называемые «проективные коллинеации».

Для простоты, если не указано иное, проективные пространства, рассматриваемые в этой статье, должны быть определены над (коммутативным) полем . Эквивалентная Теорема Папп и Дезарг теорема должна быть правдой. Большая часть результатов остается верной или может быть обобщена на проективные геометрии, для которых эти теоремы не верны.

Геометрическая мотивация

Точки A, B, C, D и A ′, B ′, C ′, D ′ связаны перспективностью, которая является проективным преобразованием.

Исторически концепция гомографии была введена для понимания, объяснения и изучения визуальной перспективы и, в частности, различия во внешнем виде двух плоских объектов, рассматриваемых с разных точек зрения.

В трехмерном евклидовом пространстве центральная проекция из точки O (центр) на плоскость P , не содержащую O, - это отображение, которое отправляет точку A на пересечение (если оно существует) прямой OA и плоскости P . Проекция не определена , если точка принадлежит к плоскости , проходящей через O и параллельно P . Понятие проективного пространства было первоначально введено путем расширения евклидова пространства, то есть, путем добавления точки на бесконечности к ней, с тем чтобы определить проекцию для каждой точки , кроме O .

Для другой плоскости Q , которая не содержит O , ограничение на Q указанной выше проекции называется перспективностью .

С этими определениями перспективность является лишь частичной функцией , но она становится биекцией, если распространяется на проективные пространства. Поэтому это понятие обычно определяется для проективных пространств. Это понятие также легко обобщается на проективные пространства любой размерности над любым полем следующим образом:

Учитывая две проективные пространства P и Q размерности п , А перспективности биекция от Р до Q , которые могут быть получены путем встраивания P и Q в проективное пространство R размерности п + 1 и ограничение на P центральную проекцию на Q .

Если f - перспективность от P до Q , а g - перспективность от Q до P с другим центром, то g f является гомографией от P к себе, которая называется центральной коллинеацией , когда размерность P равна минимум два. (см. § Центральные коллинеации ниже и Перспективность § Коллинеации перспективы ).

Первоначально омография определялась как композиция конечного числа перспектив. Это часть фундаментальной теоремы проективной геометрии (см. Ниже), что это определение совпадает с более алгебраическим определением, набросанным во введении и подробно описанным ниже.

Определение и выражение в однородных координатах

Проективное пространство Р ( V ) размерности п над полем К может быть определена как набор линий через начало координат в К -векторных пространстве V размерности п + 1 . Если основа V была исправлена, точка V может быть представлена точкой из K п +1 . Таким образом, точка P ( V ), являющаяся линией в V , может быть представлена ​​координатами любой ненулевой точки этой прямой, которые, таким образом, называются однородными координатами проективной точки.

Для двух проективных пространств P ( V ) и P ( W ) одинаковой размерности гомография - это отображение из P ( V ) в P ( W ), которое индуцируется изоморфизмом векторных пространств . Такой изоморфизм индуцирует биекцию из P ( V ) в P ( W ) из-за линейности f . Два таких изоморфизма, f и g , определяют одну и ту же гомографию тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент a из K такой, что g = af .

Это можно записать в терминах однородных координат следующим образом: гомография φ может быть определена невырожденной матрицей n +1 × n +1 [ a i , j ], называемой матрицей гомографии . Эта матрица определяется до умножения на ненулевой элемент из K . Однородные координаты точки и координаты ее изображения через φ связаны соотношением

Когда проективные пространства определяются путем добавления бесконечно удаленных точек к аффинным пространствам (проективное пополнение), предыдущие формулы в аффинных координатах становятся

который обобщает выражение гомографической функции следующего раздела. Это определяет только частичную функцию между аффинными пространствами, которая определена только вне гиперплоскости, где знаменатель равен нулю.

Омографии проективной прямой

Омографии комплексной плоскости сохраняют ортогональные окружности

Проективная прямая над полем K может быть отождествлена ​​с объединением K и точки, называемой «бесконечно удаленной точкой» и обозначаемой ∞ (см. Проективную прямую ). При таком представлении проективной прямой омографии - это отображения

которые называются гомографическими функциями или дробно-линейными преобразованиями .

В случае комплексной проективной прямой , которую можно отождествить со сферой Римана , омографии называются преобразованиями Мёбиуса . Они точно соответствуют тем биекциям сферы Римана, которые сохраняют ориентацию и являются конформными.

При изучении коллинеаций случай проективных прямых является особенным из-за малой размерности. Когда линия рассматривается как изолированное проективное пространство, любая перестановка точек проективной прямой является коллинеарностью, поскольку каждый набор точек коллинеарен. Однако, если проективная линия вложена в проективное пространство более высокой размерности, геометрическая структура этого пространства может быть использована для наложения геометрической структуры на линию. Таким образом, в синтетической геометрии рассматриваемые омографии и коллинеации проективной прямой получаются ограничениями на линию коллинеаций и омографий пространств более высокой размерности. Это означает, что основная теорема проективной геометрии (см. Ниже) остается верной и в одномерном случае. Гомографию проективной прямой можно также правильно определить, настаивая на том, что отображение сохраняет перекрестные отношения .

Проективная рамка и координаты

Проективный кадр или проективное базис проективного пространства размерности п представляет собой упорядоченный набор из п + 2 точек таким образом, что не гиперплоскость не содержит п +- из них. Проективный фрейм иногда называют симплексом , хотя симплекс в пространстве размерности n имеет не более n + 1 вершин.

В этом разделе рассматриваются проективные пространства над коммутативным полем K , хотя большинство результатов можно обобщить на проективные пространства над телом .

Пусть P ( V ) - проективное пространство размерности n , где V - это K- векторное пространство размерности n + 1 , и пусть будет каноническая проекция, которая отображает ненулевой вектор на векторную линию, которая его содержит.

Для каждого кадра P ( V ) , существует базис из V таким образом, что рама и эта основа единственно с точностью до умножения всех ее элементов , тем же самым ненулевым элементом K . Наоборот, если является базисом V , то является каркасом P ( V )

Отсюда следует, что для данных двух фреймов существует ровно одна гомография, отображающая первую во вторую. В частности, единственная гомография, фиксирующая точки кадра, - это тождественная карта . Этот результат намного сложнее в синтетической геометрии (где проективные пространства определяются через аксиомы). Иногда ее называют первой фундаментальной теоремой проективной геометрии .

Каждый кадр позволяет определить проективные координаты , также известные как однородные координаты : каждая точка может быть записана как p ( v ) ; проективные координаты p ( v ) на этой системе координат являются координатами v на основе. Нетрудно проверить, что изменение и v без изменения системы отсчета или p ( v ) приводит к умножению проективных координат на те же ненулевой элемент из K .

Проективное пространство P n ( K ) = P ( K n +1 ) имеет канонический фрейм, состоящий из образа p канонического базиса K n +1 (состоящего из элементов, имеющих только один ненулевой элемент, равный 1) и (1, 1, ..., 1) . Исходя из этого, однородные координаты p ( v ) являются просто элементами (коэффициентами) кортежа v . Для другого проективного пространства P ( V ) той же размерности и его шкалы F существует одна и только одна гомография h, отображающая F на канонический репер P n ( K ) . Проективные координаты точки a на репере F являются однородными координатами h ( a ) на каноническом репере P n ( K ) .

Центральные коллинеации

Точки A, B, C, D и A ′, B ′, C ′, D ′ связаны несколькими центральными коллинеациями, которые полностью задаются выбором линии неподвижных точек L, проходящей через пересечение прямых ABCD и A ′ B′C′D ′. Пусть O - пересечение прямых AA ′, BB ′, CC ′, DD ′. Изображение E ′ точки E на этой коллинеации является пересечением прямых A′I и OE, где I - пересечение прямых L и AE.

В приведенных выше разделах омографии были определены с помощью линейной алгебры. В синтетической геометрии они традиционно определяются как композиция одной или нескольких специальных омографий, называемых центральными коллинеациями . То, что эти два определения эквивалентны, является частью основной теоремы проективной геометрии.

В проективном пространстве, Р , размерности п ≥ 2 , А коллинеация из Р является биекцией из P на P , который отображает линии на линию. Центральная коллинеация (традиционно они были названы perspectivities , но этот термин может ввести в заблуждении, имеющие другое значение, см перспективности ) биекция α от Р до Р , таким образом, что существует гиперплоскость H (называемая осью из & alpha ; ), которая является фиксированный точечно с помощью & alpha ; (то есть α ( Х ) = Х для всех точек X в Н ) и в точке O ( так называемый центр из & alpha ; ), который закреплен построчно с помощью & alpha ; (любая линия , проходящая через O отображается в себя с помощью & alpha ; , но не обязательно поточечно). Есть два типа центральных коллинеаций. Элации - это центральные коллинеации, в которых центр инцидентен оси, а гомологии - это те, в которых центр не инцидентен оси. Центральная коллинеация однозначно определяется своим центром, своей осью и изображением α ( P ) любой заданной точки P, которая отличается от центра O и не принадлежит оси. (Образ α ( Q ) любой другой точки Q - это пересечение прямой, определяемой O и Q, и прямой, проходящей через α ( P ), и пересечения с осью прямой, определенной P и Q. )

Центральная коллинеация - это гомография, определяемая матрицей ( n +1) × ( n +1) , имеющей собственное подпространство размерности n . Это гомология, если матрица имеет другое собственное значение и, следовательно, диагонализуема . Приятно, если все собственные значения равны и матрица не диагонализируется.

Геометрический вид центральной коллинеации легче всего увидеть на проективной плоскости. Учитывая центральную коллинеацию а, рассмотрим линию , которая не проходит через центр О , и его образ под альфа , . Установка , ось & alpha ; некоторая линия М через R . Изображение любой точки А в соответствии с & alpha ; есть пересечение ОА с . Образ B ′ точки B , которая не принадлежит, может быть построен следующим образом: пусть , то .

Композиция двух центральных коллинеаций, хотя и остается гомографией в целом, не является центральной коллинеацией. Фактически, каждая гомография - это композиция конечного числа центральных коллинеаций. В синтетической геометрии это свойство, являющееся частью фундаментальной теории проективной геометрии, принимается за определение омографий.

Основная теорема проективной геометрии

Помимо омографий существуют коллинеации. В частности, любой полевой автоморфизм σ поля F индуцирует коллинеацию любого проективного пространства над F , применяя σ ко всем однородным координатам (над проективной шкалой) точки. Эти коллинеации называются автоморфными коллинеациями .

Основная теорема проективной геометрии состоит из трех следующих теорем.

  1. Для двух проективных шкал проективного пространства P существует ровно одна гомография P, которая отображает первую шкалу на вторую.
  2. Если размерность проективного пространства P не меньше двух, каждая коллинеация P является композицией автоморфной коллинеации и гомографии. В частности, над вещественными числами каждая коллинеация проективного пространства размерности не менее двух является гомографией.
  3. Каждая гомография - это композиция конечного числа перспектив . В частности, если размерность подразумеваемого проективного пространства не меньше двух, каждая гомография является композицией конечного числа центральных коллинеаций.

Если проективные пространства определяются с помощью аксиом ( синтетическая геометрия ), третья часть является просто определением. С другой стороны, если проективные пространства определяются с помощью линейной алгебры , первая часть является простым следствием определений. Следовательно, доказательство первой части в синтетической геометрии и доказательство третьей части в терминах линейной алгебры являются фундаментальными шагами доказательства эквивалентности двух способов определения проективных пространств.

Гомографические группы

Поскольку каждая гомография имеет обратное отображение, а композиция двух гомографий является другой, гомографии данного проективного пространства образуют группу . Например, группа Мёбиуса является группой гомографии любой комплексной проективной прямой.

Поскольку все проективные пространства одной размерности над одним и тем же полем изоморфны, то же самое верно и для их групп гомографии. Поэтому они рассматриваются как единая группа, действующая в нескольких пространствах, и в обозначении появляются только размерность и поле, а не конкретное проективное пространство.

Омографии группы также называемые проективные линейные группы обозначены PGL ( п + 1, Р ) , когда действующая на проективное пространство размерности п над полем F . Над определением homographies показывает , что PGL ( п + 1, Р ) могут быть идентифицированы в фактор - группы GL ( п + 1, F ) / F × I , где GL ( п + 1, Р ) является общей линейной группой из обратимые матрицы , а F × I - это группа произведений на ненулевой элемент из F единичной матрицы размера ( n + 1) × ( n + 1) .

Когда F - поле Галуа GF ( q ), группа гомографии обозначается PGL ( n , q ) . Например, PGL (2, 7) действует в восьми точках проективной прямой над конечным полем GF (7), а PGL (2, 4) , которая изоморфна знакопеременной группе A 5 , является группой гомографии проективная линия с пятью точками.

Группа гомографии PGL ( n + 1, F ) является подгруппой группы коллинеаций PΓL ( n + 1, F ) коллинеаций проективного пространства размерности n . Когда точки и линии проективного пространства рассматриваются как блочная конструкция , блоки которой представляют собой наборы точек, содержащихся в линии, группу коллинеаций принято называть группой автоморфизмов конструкции .

Перекрестное соотношение

Использование перекрестных отношений в проективной геометрии для измерения реальных размеров объектов, изображенных в перспективной проекции . A, B, C, D и V - точки на изображении, их расстояние указано в пикселях; A ', B', C 'и D' находятся в реальном мире, их разделение в метрах.
  • В (1) ширина переулка W вычисляется из известной ширины соседних магазинов.
  • В (2) ширина только одного магазина необходима, потому что видна точка схода V.

Отношение четырех коллинеарных точек является инвариантом относительно гомографии, которая является фундаментальной для изучения гомографии прямых.

Три различные точки a , b и c на проективной прямой над полем F образуют проективный каркас этой прямой. Следовательно, существует единственная гомография h этой прямой на F ∪ ∞, которая отображает a в , b в 0 и c в 1. Для четвертой точки на той же прямой перекрестное отношение четырех точек a , b , c и d , обозначаемые [ a , b ; c , d ] , является элементом h ( d ) в F . Другими словами, если d имеет однородные координаты [ k  : 1] над проективной системой отсчета ( a , b , c ) , то [ a , b ; c , d ] = k .

Над кольцом

Предположим, что A - кольцо, а U - его группа единиц . Гомографии действуют на проективной прямой над A , обозначенной P ( A ), состоящей из точек U [ a, b ] с проективными координатами . Гомографии на P ( A ) описываются матричными отображениями

Когда A - коммутативное кольцо , гомографию можно записать

но в остальном дробно-линейное преобразование рассматривается как эквивалент:

Группа гомографии кольца целых Z является модулярной группой PSL (2, Z ) . Кольцевые гомографии использовались в анализе кватернионов и с двойными кватернионами для облегчения теории винта . Конформная группа пространства - времени может быть представлена с homographies , где представляет собой композицию алгебра из бикватернионов .

Периодические омографии

Гомография является периодической, когда кольцо имеет вид Z / n Z ( целые числа по модулю n ), поскольку с тех пор Артур Кэли интересовался периодичностью, когда он вычислял итерации в 1879 году. В своем обзоре подхода грубой силы к периодичности гомографий HSM Coxeter дал это анализ:

Реальная гомография инволютивна (периода 2) тогда и только тогда, когда a + d = 0 . Если он периодичен с периодом n > 2 , то он эллиптический, и нет потери общности, если предположить, что ad - bc = 1 . Поскольку характеристические корни равны exp (± hπi / m ), где ( h , m ) = 1 , след равен a + d = 2 cos ( / m ) .

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

  • Артин, Э. (1957), Геометрическая алгебра , Interscience Publishers
  • Баер, Рейнхольд (2005) [Впервые опубликовано в 1952 году], Линейная алгебра и проективная геометрия , Довер, ISBN   9780486445656
  • Бергер, Марсель (2009), Геометрия I , Springer-Verlag, ISBN   978-3-540-11658-5 , переведено с французского оригинала 1977 г. М. Коулом и С. Леви, четвертое издание английского перевода 1987 г.
  • Бойтельшпахер, Альбрехт; Розенбаум, Юте (1998), Проективная геометрия: от основ до приложений , Cambridge University Press, ISBN   0-521-48364-6
  • Хартсхорн, Робин (1967), Основы проективной геометрии , Нью-Йорк: WA Benjamin, Inc.
  • Хиршфельд, JWP (1979), Проективные геометрии над конечными полями , Oxford University Press , ISBN   978-0-19-850295-1
  • Месерв, Брюс Э. (1983), Основные понятия геометрии , Dover, ISBN   0-486-63415-9
  • Йель, Пол Б. (1968), Геометрия и симметрия , Холден-Дэй

дальнейшее чтение