Равномерное расслоение - Equidissection

В геометрии , equidissection является разбиение из многоугольника на треугольники одинаковой площади . Изучение равномерного рассечения началось в конце 1960-х годов с теоремы Монского , которая гласит, что квадрат нельзя равноразрезать на нечетное количество треугольников. Фактически, большинство полигонов вообще не могут быть равноразмерены.

Большая часть литературы направлена ​​на обобщение теоремы Монского на более широкие классы многоугольников. Общий вопрос: какие многоугольники можно равномерно разделить на сколько частей? Особое внимание было уделено трапециям , воздушным змеям , правильным многоугольникам , центрально-симметричным многоугольникам , полиомино и гиперкубам .

Непосредственное применение у эквидиссекций не так много. Они считаются интересными, потому что результаты поначалу противоречат здравому смыслу, а для геометрической задачи с таким простым определением теория требует некоторых удивительно сложных алгебраических инструментов. Многие результаты основаны на распространении p -адических оценок на действительные числа и распространении леммы Спернера на более общие цветные графы .

Обзор

Определения

Рассечение многоугольника Р является конечным множеством треугольников , которые не перекрывают друг друга , и объединение которых все Р . Рассечение на n треугольников называется n -разрезом и классифицируется как четное рассечение или нечетное рассечение в зависимости от того, является ли n четным или нечетным .

Equidissection является рассечение , в котором каждый треугольник имеет ту же площадь. Для многоугольника Р , множество всех п , для которых п -equidissection из Р существует, называется спектром из Р и обозначается S ( P ). Общая теоретическая цель - вычислить спектр заданного многоугольника.

Рассечение называется симплициальным, если треугольники пересекаются только по общим ребрам. Некоторые авторы ограничивают свое внимание симплициальными вскрытиями, особенно во вторичной литературе, поскольку с ними легче работать. Например, обычное утверждение леммы Шпернера применимо только к симплициальным разрезам. Часто симплициальные разрезы называют триангуляциями , хотя вершины треугольников не ограничиваются вершинами или ребрами многоугольника. Поэтому симплициальные эквидиссекции также называют триангуляциями равной площади .

Эти термины могут быть расширены до многогранников более высокой размерности : эквидиссечение - это набор симплексов, имеющих одинаковый n -объем.

Предварительные мероприятия

Легко найти n -эквидиссечение треугольника для всех n . В результате, если многоугольник имеет m -эквидиссечение, то он также имеет mn -эквидиссекцию для всех n . Фактически, часто спектр многоугольника состоит в точности из кратных некоторому числу m ; в этом случае и спектр, и многоугольник называются главным, а спектр обозначается . Например, спектр треугольника равен . Простым примером неглавного многоугольника является четырехугольник с вершинами (0, 0), (1, 0), (0, 1), (3/2, 3/2); его спектр включает 2 и 3, но не 1. ${\ Displaystyle \ langle м \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle 1 \ rangle}$

Аффинные преобразования плоскости полезны для изучения equidissections, включая переводы , униформу и неравномерное масштабирование , отражений , повороты , ножницы и другие сходства и линейные отображения . Поскольку аффинное преобразование сохраняет прямые линии и отношения площадей, оно переводит эквидиссекции в эквидиссекции. Это означает, что к многоугольнику можно применить любое аффинное преобразование, которое может придать ему более управляемую форму. Например, обычно координаты выбираются так, чтобы три вершины многоугольника были (0, 1), (0, 0) и (1, 0).

Тот факт, что аффинные преобразования сохраняют эквидиссекции, также означает, что некоторые результаты могут быть легко обобщены. Все результаты, сформулированные для правильного многоугольника, верны и для аффинно-правильных многоугольников ; в частности, результаты, касающиеся единичного квадрата, также применимы к другим параллелограммам, включая прямоугольники и ромбы . Все результаты, указанные для многоугольников с целочисленными координатами, также применимы к многоугольникам с рациональными координатами или многоугольникам, вершины которых попадают в любую другую решетку .

Лучшие результаты

Теорема Монски утверждает, что квадрат не имеет нечетных равномерных разрезов, поэтому его спектр есть . В более общем смысле известно, что центрально-симметричные многоугольники и полиомино не имеют нечетных равномерных секций. Гипотеза от Sherman К. Штейна предполагает , что нет специального полигона не имеет нечетное equidissection, где специальный полигон, чьи эквивалентности классы из параллельных краев каждой суммы к нулевому вектору . Квадраты, центрально - симметричные многоугольники , полимино и polyhexes все специальные полигоны. ${\ Displaystyle \ langle 2 \ rangle}$

При n > 4 спектр правильного n -угольника равен . При n > 1 спектр n- мерного куба равен , где n ! является факториала из п . а спектр n- мерного кросс-многогранника равен . Последнее следует mutatis mutandis из доказательства октаэдра в ${\ Displaystyle \ langle п \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle п! \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle 2 ^ {п-1} \ rangle}$

Пусть T ( a ) - трапеция, где a - отношение длин параллельных сторон. Если a - рациональное число , то T ( a ) - главное. Фактически, если r / s - это дробь в самом низком смысле, то . В более общем смысле все выпуклые многоугольники с рациональными координатами могут быть равноразмерены, хотя не все из них являются главными; см. приведенный выше пример воздушного змея с вершиной в (3/2, 3/2). ${\ Displaystyle S (T (р / s)) = \ langle r + s \ rangle}$

С другой стороны, если a - трансцендентное число , то T ( a ) не имеет эквидиссекции. В более общем смысле, ни один многоугольник, координаты вершин которого алгебраически независимы, не имеет равномерного разреза. Это означает, что почти все многоугольники с более чем тремя сторонами не могут быть равноудалены. Хотя большинство полигонов нельзя разрезать на треугольники равной площади, все полигоны можно разрезать на четырехугольники равной площади.

Если a - алгебраическое иррациональное число , то T ( a ) - более сложный случай. Если a является алгебраическим со степенью 2 или 3 ( квадратичной или кубической) и все сопряженные с ним имеют положительные вещественные части , то S ( T ( a )) содержит все достаточно большие n такие, что n / (1 + a ) является целым алгебраическим числом . Предполагается, что аналогичное условие с участием стабильных многочленов может определить, является ли спектр пустым для алгебраических чисел a всех степеней.

История

Идея равномерного разреза кажется элементарной геометрической концепцией, которая должна быть довольно старой. Айгнер и Зиглер (2010) замечают теорему Монски: «Можно было догадаться, что ответ наверняка должен был быть известен давно (если не грекам)». Но изучение эквидиссекций началось только в 1965 году, когда Фред Ричман готовился к экзамену на степень магистра в Государственном университете Нью-Мексико .

Теорема Монского

Ричман хотел включить в экзамен вопрос по геометрии, и он заметил, что трудно найти (то, что сейчас называется) странное равнодиссечение квадрата. Ричман доказал себе, что для 3 или 5 невозможно, что существование n -эквидиссекции подразумевает существование ( n + 2) -разбиения, и что некоторые четырехугольники, сколь угодно близкие к квадрату, имеют нечетные равнодиссекции. Однако он не решил общую проблему нечетных равномерных квадратов и оставил ее за пределами экзамена. Друг Ричмана Джон Томас заинтересовался этой проблемой; в его воспоминаниях,

«Каждый, кому была поставлена ​​проблема (включая меня), сказал что-то вроде« это не моя область, но вопрос, безусловно, должен был быть рассмотрен, и ответ, вероятно, хорошо известен ». Некоторые думали , что они видели это, но не могли вспомнить , где. Мне было интересно , потому что это напомнило мне о леммах Шпернера в топологии , которая имеет умное нечетное даже доказательство.»

Томас доказал, что нечетное эквидиссечение невозможно, если координаты вершин - рациональные числа с нечетными знаменателями. Он отправил это доказательство в журнал Mathematics Magazine , но его рассмотрение было приостановлено:

«Реакция рефери была предсказуемой. Он думал, что проблема может быть довольно простой (хотя он не мог ее решить) и, возможно, был хорошо известен (хотя он не мог найти на нее ссылки)».

Вместо этого вопрос был задан как сложная задача в American Mathematical Monthly ( Richman & Thomas 1967 ). Когда больше никто не представил решение, доказательство было опубликовано в Mathematics Magazine ( Thomas, 1968 ) через три года после его написания. Затем Монски (1970) основывался на аргументе Томаса, чтобы доказать, что не существует нечетных равномерных разрезов квадрата без каких-либо предположений о рациональности.

Доказательство Монски опирается на два столпа: комбинаторный результат, обобщающий лемму Спернера, и алгебраический результат - существование 2-адического нормирования действительных чисел. Тогда умная раскраска плоскости подразумевает, что во всех разрезах квадрата, по крайней мере, один треугольник имеет площадь, равную четному знаменателю, и, следовательно, все равноудаленные разрезы должны быть четными. Суть аргумента обнаруживается уже у Томаса (1968) , но Монски (1970) был первым, кто использовал 2-адическую оценку для покрытия разрезов с произвольными координатами.

Обобщения

Первым обобщением теоремы Монского был Мид (1979) , который доказал, что спектр n- мерного куба равен . К доказательству вернулись Беккер и Нецветаев (1998) . ${\ Displaystyle \ langle п! \ rangle}$

Обобщение на правильные многоугольники появилось в 1985 году во время геометрического семинара, проведенного Г. Д. Чакерианом в Калифорнийском университете в Дэвисе . Элейн Касиматис , аспирантка, «искала какую-нибудь алгебраическую тему, которую она могла бы проинформировать» на семинаре. Шерман Штайн предложил разрезать квадрат и куб: «Тема, которую Чакериан неохотно признал, была геометрической». После выступления Штейн спросила о правильных пятиугольниках. Касиматис ответил Касиматисом (1989) , доказав, что для n > 5 спектр правильного n -угольника равен . Ее доказательство основано на доказательстве Монски, расширяя p -адическое нормирование до комплексных чисел для каждого простого делителя n и применяя некоторые элементарные результаты теории круговых полей . Это также первое доказательство явного использования аффинного преобразования для создания удобной системы координат. Касиматис и Стейн (1990) затем сформулировали задачу нахождения спектра общего многоугольника, введя термины спектр и главный . Они доказали, что почти все полигоны не имеют равномерного разреза и не все полигоны являются главными. ${\ Displaystyle \ langle п \ rangle}$

Касиматис и Стейн (1990) начали изучение спектров двух частных обобщений квадратов: трапеций и воздушных змеев. Трапеции были дополнительно изучены Джепсеном (1996) , Монски (1996) и Джепсеном и Монски (2008) . Воздушные змеи были дополнительно изучены Джепсеном, Седберри и Хойером (2009) . Общие четырехугольники изучались в Su & ​​Ding (2003) . Несколько статей были написаны в Хэбэйском педагогическом университете , главным образом профессором Дин Реном и его учениками Ду Ятао и Су Чжанджун.

Пытаясь обобщить результаты для правильных n -угольников для четных n , Стейн (1989) высказал предположение, что ни один центрально-симметричный многоугольник не имеет нечетного эквидиссекции, и доказал случаи n = 6 и n = 8. Полная гипотеза была доказана Монским (1990) . Десять лет спустя Штейн совершил то, что он описывает как «удивительный прорыв», предположив, что ни у одного полимино нет странной эквидиссекции. Он доказал результат полимино с нечетным числом квадратов в Stein (1999) . Полная гипотеза была доказана, когда Praton (2002) рассмотрел четный случай.

Тема эквидиссекций недавно была популяризирована благодаря трактовкам в The Mathematical Intelligencer ( Stein 2004 ), тома Математических монографий Carus ( Stein & Szabó 2008 ) и четвертого издания Proofs from THE BOOK ( Aigner & Ziegler 2010 ).

Связанные проблемы

Сакаи, Нара и Уррутия (2005) рассматривают вариант проблемы: если задан выпуклый многоугольник K , какая часть его площади может быть покрыта n неперекрывающимися треугольниками одинаковой площади внутри K ? Отношение площади наилучшего возможного покрытия к площади K обозначается t _n ( K ). Если K имеет n -эквидиссекцию, то t _n ( K ) = 1; в противном случае она меньше 1. Авторы показывают , что для четырехугольника К , т _п ( K ) ≥ 4 н / (4 п + 1), с т ₂ ( K ) = 8/9 , если и только если К аффинно конгруэнтны к трапеции Т (2/3). Для пятиугольника t ₂ ( K ) ≥ 2/3, t ₃ ( K ) ≥ 3/4 и t _n ( K ) ≥ 2 n / (2 n + 1) для n ≥ 5.

Гюнтер М. Циглер задал обратную задачу в 2003 году: учитывая разбиение всего многоугольника на n треугольников, насколько близко могут быть равные площади треугольников? В частности, какова наименьшая возможная разница между площадями самого маленького и самого большого треугольника? Пусть наименьшая разница будет M ( n ) для квадрата и M ( a , n ) для трапеции T ( a ). Тогда M ( n ) равно 0 для четных n и больше 0 для нечетных n . Mansow (2003) дал асимптотическую верхнюю границу M ( n ) = O (1 / n ² ) (см. Обозначение Big O ). Шульце (2011) улучшает оценку M ( n ) = O (1 / n ³ ) с лучшим рассечением и доказывает, что существуют значения a, для которых M ( a , n ) убывает произвольно быстро. Лаббе, Роте и Зиглер (2018) получают суперполиномиальную верхнюю границу, полученную из явной конструкции, использующей последовательность Туэ – Морса .

Рекомендации

Библиография

Вторичные источники

Основные источники

Внешние ссылки

• Лемма Спернера, теорема Брауэра о неподвижной точке и разбиение квадратов на треугольники - Заметки Ахила Мэтью
• Über die Zerlegung eines Quadrats in Dreiecke gleicher Fläche - Записки Морица В. Шмитта (немецкий язык)
• Мозаика из многоугольников треугольниками одинаковой площади - Заметки AlexGhitza
• Разбиение трапеций на треугольники одинаковой площади - MathOverflow