Теорема Монского - Monsky's theorem
В геометрии , теорема Monsky в утверждает , что это не возможно , чтобы рассекать квадрат в нечетное число треугольников равной площади. Другими словами, квадрат не имеет нечетного равномерного разреза .
Проблема была поставлена Фредом Ричманом в American Mathematical Monthly в 1965 году и была доказана Полом Монски в 1970 году.
Доказательство
Доказательство Монски сочетает в себе комбинаторные и алгебраические методы и в общих чертах выглядит следующим образом:
- Возьмем квадрат за единичный квадрат с вершинами в точках (0,0), (0,1), (1,0) и (1,1). Если есть разрез на n треугольников равной площади, то площадь каждого треугольника равна 1 / n .
- Раскрасьте каждую точку квадрата одним из трех цветов в зависимости от 2-адической оценки ее координат.
- Покажите, что прямая линия может содержать точки только двух цветов.
- Используйте лемму Спернера, чтобы показать, что каждая триангуляция квадрата на треугольники, пересекающиеся от края до края, должна содержать хотя бы один треугольник, вершины которого имеют три разных цвета.
- Сделайте вывод из свойства прямой линии, что трехцветный треугольник также должен существовать в каждом разрезе квадрата на треугольники, не обязательно пересекаясь от края до края.
- Используйте декартову геометрию, чтобы показать, что 2-адическая оценка площади треугольника, вершины которого имеют три разных цвета, больше 1. Таким образом, каждое разрезание квадрата на треугольники должно содержать по крайней мере один треугольник, площадь которого имеет 2-адическое значение. больше 1.
- Если n нечетно, то 2-адическая оценка 1 / n равна 1, поэтому невозможно разрезать квадрат на треугольники, все из которых имеют площадь 1 / n .
Оптимальные разрезы
По теореме Монского необходимо иметь треугольники с разными площадями, чтобы разрезать квадрат на нечетное количество треугольников. Были изучены нижние границы для разностей площадей, которые должны произойти, чтобы разрезать квадрат на нечетное количество треугольников и оптимальные разрезы.
Обобщения
Теорема может быть обобщена на более высокие измерения: n -мерный гиперкуб можно разделить на симплексы равного объема, только если количество симплексов кратно n !.