Теорема Монского - Monsky's theorem

В геометрии , теорема Monsky в утверждает , что это не возможно , чтобы рассекать квадрат в нечетное число треугольников равной площади. Другими словами, квадрат не имеет нечетного равномерного разреза .

Проблема была поставлена ​​Фредом Ричманом в American Mathematical Monthly в 1965 году и была доказана Полом Монски в 1970 году.

Доказательство

Доказательство Монски сочетает в себе комбинаторные и алгебраические методы и в общих чертах выглядит следующим образом:

Квадрат можно разделить на четное количество треугольников одинаковой площади (слева), но только на нечетное количество треугольников примерно одинаковой площади (справа).
  1. Возьмем квадрат за единичный квадрат с вершинами в точках (0,0), (0,1), (1,0) и (1,1). Если есть разрез на n треугольников равной площади, то площадь каждого треугольника равна 1 / n .
  2. Раскрасьте каждую точку квадрата одним из трех цветов в зависимости от 2-адической оценки ее координат.
  3. Покажите, что прямая линия может содержать точки только двух цветов.
  4. Используйте лемму Спернера, чтобы показать, что каждая триангуляция квадрата на треугольники, пересекающиеся от края до края, должна содержать хотя бы один треугольник, вершины которого имеют три разных цвета.
  5. Сделайте вывод из свойства прямой линии, что трехцветный треугольник также должен существовать в каждом разрезе квадрата на треугольники, не обязательно пересекаясь от края до края.
  6. Используйте декартову геометрию, чтобы показать, что 2-адическая оценка площади треугольника, вершины которого имеют три разных цвета, больше 1. Таким образом, каждое разрезание квадрата на треугольники должно содержать по крайней мере один треугольник, площадь которого имеет 2-адическое значение. больше 1.
  7. Если n нечетно, то 2-адическая оценка 1 / n равна 1, поэтому невозможно разрезать квадрат на треугольники, все из которых имеют площадь 1 / n .

Оптимальные разрезы

По теореме Монского необходимо иметь треугольники с разными площадями, чтобы разрезать квадрат на нечетное количество треугольников. Были изучены нижние границы для разностей площадей, которые должны произойти, чтобы разрезать квадрат на нечетное количество треугольников и оптимальные разрезы.

Обобщения

Теорема может быть обобщена на более высокие измерения: n -мерный гиперкуб можно разделить на симплексы равного объема, только если количество симплексов кратно n !.

Рекомендации