Построение действительных чисел - Construction of the real numbers

В математике существует несколько способов определения действительной системы счисления как упорядоченного поля . Синтетический подход дает список аксиом для вещественных чисел в качестве полного упорядоченного поля . Согласно обычным аксиомам теории множеств , можно показать, что эти аксиомы категоричны в том смысле, что существует модель для аксиом, и любые две такие модели изоморфны . Любая из этих моделей должна быть явно построена, и большинство из этих моделей построено с использованием основных свойств системы рациональных чисел как упорядоченного поля.

Синтетический подход

Синтетический подход аксиоматически определяет систему действительных чисел как законченное упорядоченное поле. Именно это означает следующее. Модель для системы действительных чисел состоит из множества R , два различных элемента 0 и 1 из R , две бинарных операций + и × на R (называется сложение и умножение , соответственно), а также бинарное отношение ≤ на R , удовлетворяющее следующему характеристики.

Аксиомы

1. ( R , +, ×) образует поле . Другими словами,
   • Для всех x , y и z в R , x + ( y + z ) = ( x + y ) + z и x × ( y × z ) = ( x × y ) × z . ( ассоциативность сложения и умножения)
   • Для всех x и y в R , x + y = y + x и x × y = y × x . ( коммутативность сложения и умножения)
   • Для всех х , у и г в R , х х ( у + г ) = ( х × у ) + ( х × г ). ( дистрибутивность умножения над сложением)
   • Для всех х в R , х + 0 = х . (наличие аддитивной идентичности )
   • 0 не равен 1, и для всех х в R , х × 1 = х . (наличие мультипликативной идентичности)
   • Для каждого x в R существует элемент - x в R , такой что x + (- x ) = 0. (существование аддитивных обратных )
   • Для любого x ≠ 0 в R существует элемент x ⁻¹ в R такой, что x × x ⁻¹ = 1. (существование мультипликативных обратных)
2. ( R , ≤) образует полностью упорядоченное множество . Другими словами,
   • Для всех х в R , х ≤ х . ( рефлексивность )
   • Для всех x и y в R , если x ≤ y и y ≤ x , то x = y . ( антисимметрия )
   • Для всех x , y и z в R , если x ≤ y и y ≤ z , то x ≤ z . ( транзитивность )
   • Для всех х и у в R , х ≤ у или у ≤ х . ( совокупность )
3. Полевые операции + и × на R согласованы с порядком ≤. Другими словами,
   • Для всех x , y и z в R , если x ≤ y , то x + z ≤ y + z . (сохранение порядка при добавлении)
   • Для всех x и y в R , если 0 ≤ x и 0 ≤ y , то 0 ≤ x × y (сохранение порядка при умножении)
4. Порядок ≤ полон в следующем смысле: каждое ограниченное сверху непустое подмножество R имеет точную верхнюю границу . Другими словами,
   • Если A - непустое подмножество R , и если A имеет верхнюю границу , то A имеет наименьшую верхнюю границу u , такую, что для каждой верхней границы v из A , u ≤ v .

О свойстве наименьшей верхней границы

Аксиома 4, которая требует, чтобы порядок был завершен по Дедекинду , подразумевает свойство Архимеда .

Аксиома имеет решающее значение для характеристики действительного. Например, полностью упорядоченное поле рациональных чисел Q удовлетворяет первым трем аксиомам, но не четвертой. Другими словами, модели рациональных чисел также являются моделями первых трех аксиом.

Обратите внимание, что аксиома не подлежит первичному упорядочиванию , поскольку она выражает утверждение о наборах вещественных чисел, а не только об отдельных таких числах. Таким образом, реалы не даются логической теорией первого порядка .

На моделях

Ниже приведены несколько моделей аксиом 1–4 . Любые две модели для аксиом 1–4 изоморфны, и поэтому с точностью до изоморфизма существует только одно полное упорядоченное архимедово поле.

Когда мы говорим, что любые две модели вышеуказанных аксиом изоморфны, мы имеем в виду, что для любых двух моделей ( R , 0 _R , 1 _R , + _R , × _R , ≤ _R ) и ( S , 0 _S , 1 _S , + _S , × _S , ≤ _S ) существует биекция f  : R → S, сохраняющая как полевые операции, так и порядок. Ясно,

• f является одновременно инъективным и сюръективным .
• е (0 _R ) = 0 _S и F (1 _R ) = 1 _S .
• Для всех x и y в R , f ( x + _R y ) = f ( x ) + _S f ( y ) и f ( x × _R y ) = f ( x ) × _S f ( y ).
• Для всех х и у в R , х ≤ _R у тогда и только тогда , когда F ( х ) ≤ _S F ( у ).

Аксиоматизация действительных чисел Тарским

Альтернативная синтетическая аксиоматизация действительных чисел и их арифметики была дана Альфредом Тарски , состоящая только из 8 аксиом, показанных ниже, и всего лишь четырех примитивных понятий : множество, называемое действительными числами , обозначенное R , бинарное отношение над R, называемое порядком , обозначается infix <, бинарная операция над R называется сложением , обозначается infix +, и константа 1.

Аксиомы порядка (примитивы: R , <):

Аксиома 1 . Если x < y , то не y < x . То есть «<» асимметричное отношение .

Аксиома 2 . Если x  <  z , существует y такое, что x  <  y и y  <  z . Другими словами, «<» является плотным в R .

Аксиома 3 . «<» Дедекиндово-полный . Более формально, для всех X ,  Y  ⊆  R , если для всех x  ∈  X и y  ∈  Y , x  <  y , то существует z такое, что для всех x  ∈  X и y  ∈  Y , если z  ≠  x и z  ≠  y , тогда x  <  z и z  <  y .

Для уточнения выше заявление несколько, пусть X  ⊆  R и Y  ⊆  R . Теперь мы определим два распространенных английских глагола особым образом, который соответствует нашей цели:

X предшествует Y тогда и только тогда, когда для любого x  ∈  X и любого y  ∈  Y , x  <  y .

Вещественное число z разделяет X и Y тогда и только тогда, когда для любого x  ∈  X с x  ≠  z и любого y  ∈  Y с y  ≠  z , x  <  z и z  <  y .

Аксиому 3 можно сформулировать так:

«Если набор действительных чисел предшествует другому набору действительных чисел, то существует по крайней мере одно действительное число, разделяющее два набора».

Аксиомы сложения (примитивы: R , <, +):

Аксиома 4 . х  + ( у  +  г ) = ( х  +  г ) +  у .

Аксиома 5 . Для всех x , y существует z такое, что x  +  z  =  y .

Аксиома 6 . Если x  +  y  <  z  +  w , то x  <  z или y  <  w .

Аксиомы для одного (примитивы: R , <, +, 1):

Аксиома 7 . 1 ∈  R .

Аксиома 8 . 1 <1 + 1.

Из этих аксиом следует, что R - линейно упорядоченная абелева группа относительно сложения с выделенным элементом 1. R также является дедекиндово-полной и делимой группой .

Явные построения моделей

Мы не будем доказывать, что какие-либо модели аксиом изоморфны. Такое доказательство можно найти в любом количестве современных учебников по анализу или теории множеств. Мы сделаем набросок основных определений и свойств ряда конструкций, поскольку каждое из них важно как по математическим, так и по историческим причинам. Первые три, благодаря Георгу Кантору / Шарлю Мере , Ричарду Дедекинду / Йозефу Бертрану и Карлу Вейерштрассу, произошли с разницей в несколько лет. У каждого есть свои преимущества и недостатки. Основной мотивацией во всех трех случаях было обучение студентов-математиков.

Построение из последовательностей Коши

Стандартная процедура, заставляющая все последовательности Коши в метрическом пространстве сходиться, - это добавление новых точек в метрическое пространство в процессе, называемом завершением .

R определяется как пополнение Q по метрике | x - y |, как будет подробно описано ниже (дополнения Q относительно других метрик см. в p -адических числах .)

Пусть R - множество последовательностей Коши рациональных чисел. То есть последовательности

х ₁ , х ₂ , х ₃ , ...

рациональных чисел такие, что для любого рационального ε > 0 существует целое число N такое, что для всех натуральных чисел m , n > N , | х _м - х _п | < ε . Здесь вертикальные полосы обозначают абсолютное значение.

Последовательности Коши ( x _n ) и ( y _n ) можно складывать и умножать следующим образом:

( x _n ) + ( y _n ) = ( x _n + y _n )

( x _n ) × ( y _n ) = ( x _n × y _n ).

Две последовательности Коши называются эквивалентными тогда и только тогда, когда разница между ними стремится к нулю. Это определяет отношение эквивалентности , которое совместимо с операциями, определенными выше, и можно показать , что множество R всех классов эквивалентности удовлетворяет всем аксиомам действительных чисел . Мы можем вложить Q в R , отождествив рациональное число r с классом эквивалентности последовательности ( r , r , r ,…) .

Сравнение действительных чисел достигается путем определения следующего сравнения последовательностей Коши: ( x _n ) ≥ ( y _n ) тогда и только тогда, когда x эквивалентно y или существует целое число N такое, что x _n ≥ y _n для всех n > N .

По построению каждое действительное число x представлено последовательностью рациональных чисел Коши. Это представление далеко не уникально; каждая рациональная последовательность, сходящаяся к x, является представлением x . Это отражает наблюдение, что часто можно использовать разные последовательности для приближения одного и того же действительного числа.

Единственная аксиома действительного числа, которая нелегко вытекает из определений, - это полнота ≤, то есть свойство наименьшей верхней границы . Это можно доказать следующим образом : Пусть S будет непустое подмножество R и U будет верхняя граница для S . Подставляя при необходимости большее значение, мы можем предположить, что U рационально. Так как S не пусто, то можно выбрать рациональное число L такое , что L < S для некоторых й в S . Теперь определим последовательности рациональных чисел ( u _n ) и ( l _n ) следующим образом:

Установите ¯u ₀ = U и L ₀ = L .

Для каждого n посчитайте число:

m _n = ( u _n + l _n ) / 2

Если m _n является верхней границей для множества S :

u _{n +1} = m _n и l _{n +1} = l _n

В противном случае установите:

l _{n +1} = m _n и u _{n +1} = u _n

Это определяет две последовательности рациональных чисел Коши, и поэтому у нас есть действительные числа l = ( l _n ) и u = ( u _n ) . Индукцией по n легко доказать, что:

u _n - верхняя граница S для всех n

а также:

l _n никогда не является верхней границей S для любого n

Таким образом , у есть верхняя граница для S . Чтобы увидеть, что это наименьшая верхняя граница, обратите внимание, что предел ( u _n  -  l _n ) равен 0, и поэтому l  =  u . Теперь предположим , что б < у = л является меньшим верхняя граница для S . Поскольку ( l _n ) монотонно возрастает, легко видеть, что b < l _n для некоторого n . Но l _n не является верхней границей для S, как и b . Следовательно, u является точной верхней оценкой для S и ≤ полно.

Обычные десятичные обозначения можно естественным образом преобразовать в последовательности Коши. Например, обозначение π = 3.1415 ... означает, что π - класс эквивалентности последовательности Коши (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...). Уравнение 0,999 ... = 1 утверждает, что последовательности (0, 0,9, 0,99, 0,999, ...) и (1, 1, 1, 1, ...) эквивалентны, то есть их разность сходится к 0.

Преимущество построения R как завершения Q состоит в том, что эта конструкция не является специфической для одного примера; он также используется для других метрических пространств.

Строительство Дедекинда сокращает

Дедекиндово сечение в упорядоченном поле является разбиение его, ( , Б ), таким образом, что не пусто и закрытые вниз, В не пусто и замкнуто вверх, а не содержит наибольший элемент . Действительные числа могут быть построены как дедекиндовы сокращения рациональных чисел.

Для удобства мы можем принять нижнюю совокупность как представителя любой данной дедекиндовской огранки , поскольку она полностью определяет . Поступая таким образом, мы можем интуитивно думать о действительном числе как о множестве всех меньших рациональных чисел. Более подробно, действительное число - это любое подмножество множества рациональных чисел, которое удовлетворяет следующим условиям: ${\ Displaystyle A \,}$${\ Displaystyle (А, В) \,}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle {\ textbf {Q}}}$

1. ${\ displaystyle r}$ не пусто
2. ${\ displaystyle r \ neq {\ textbf {Q}}}$
3. ${\ displaystyle r}$закрывается вниз. Другими словами, для всех таких, что если то${\ displaystyle x, y \ in {\ textbf {Q}}}$${\ Displaystyle х <у}$${\ displaystyle y \ in r}$${\ displaystyle x \ in r}$
4. ${\ displaystyle r}$не содержит наибольшего элемента. Другими словами, нет такого, что для всех ,${\ displaystyle x \ in r}$${\ displaystyle y \ in r}$${\ displaystyle y \ leq x}$

• Мы образуем множество действительных чисел как множество всех дедекиндов сокращений из , и определить полный порядок на действительных числах следующим образом :${\ displaystyle {\ textbf {R}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ textbf {Q}}}$${\ displaystyle x \ leq y \ Leftrightarrow x \ substeq y}$
• Мы встраивать рациональные числа в реалы путем определения рационального числа с множеством всех меньших рациональных чисел . Поскольку рациональные числа являются плотными , такое множество не может иметь наибольшего элемента и, таким образом, удовлетворяет условиям действительного числа, изложенным выше.${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ {x \ in {\ textbf {Q}}: x <q \}}$
• Дополнение .${\ Displaystyle A + B: = \ {a + b: a \ in A \ land b \ in B \}}$
• Вычитание . где обозначает относительное дополнение к in ,${\ displaystyle AB: = \ {ab: a \ in A \ land b \ in ({\ textbf {Q}} \ setminus B) \}}$${\ displaystyle {\ textbf {Q}} \ setminus B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ textbf {Q}}}$${\ displaystyle \ {x: x \ in {\ textbf {Q}} \ land x \ notin B \}}$
• Отрицание - это особый случай вычитания:${\ displaystyle -B: = \ {ab: a <0 \ land b \ in ({\ textbf {Q}} \ setminus B) \}}$
• Определение умножения менее прямолинейно.
  • если тогда${\ displaystyle A, B \ geq 0}$${\ displaystyle A \ times B: = \ {a \ times b: a \ geq 0 \ land a \ in A \ land b \ geq 0 \ land b \ in B \} \ cup \ {x \ in \ mathrm { Q}: x <0 \}}$
  • если либо или является отрицательным, мы используем тождества для преобразования и / или в положительные числа, а затем применяем определение выше.${\ Displaystyle A \,}$${\ Displaystyle B \,}$${\ Displaystyle А \ раз В = - (А \ раз -В) = - (- А \ раз В) = (- А \ раз -В) \,}$${\ Displaystyle A \,}$${\ Displaystyle B \,}$
• Аналогичным образом мы определяем разделение :
  • если тогда${\ displaystyle A \ geq 0 {\ mbox {и}} B> 0}$${\ displaystyle A / B: = \ {a / b: a \ in A \ land b \ in ({\ textbf {Q}} \ setminus B) \}}$
  • если либо или отрицательно, мы используем тождества для преобразования в неотрицательное число и / или в положительное число, а затем применяем определение выше.${\ Displaystyle A \,}$${\ Displaystyle B \,}$${\ Displaystyle A / B = - (A / {- B}) = - (- A / B) = - A / {- B} \,}$${\ Displaystyle A \,}$${\ Displaystyle B \,}$
• Супремум . Если непустой набор действительных чисел имеет верхнюю границу в , то он имеет наименьшую верхнюю границу , равную .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ textbf {R}}}$${\ displaystyle {\ textbf {R}}}$${\ displaystyle \ bigcup S}$

В качестве примера разрезания Дедекинда, представляющего иррациональное число , мы можем взять положительный квадратный корень из 2 . Это можно определить по набору . Из приведенных выше определений видно, что это действительное число, и что . Однако ни одно из требований не является немедленным. Чтобы показать, что это реально, необходимо показать, что у него нет величайшего элемента, т.е. что для любого положительного рационального с есть рациональное с, и выбор работает. Тогда, но для того, чтобы показать равенство, необходимо показать, что если любое рациональное число с , то положительное в с . ${\ displaystyle A = \ {x \ in {\ textbf {Q}}: x <0 \ lor x \ times x <2 \}}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle А \ раз А = 2 \,}$${\ Displaystyle A \,}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle х \,}$${\ Displaystyle х \ раз х <2 \,}$${\ Displaystyle у \,}$${\ Displaystyle х <у \,}$${\ Displaystyle у \ раз у <2 \ ,.}$${\ Displaystyle у = {\ гидроразрыва {2x + 2} {x + 2}} \,}$${\ Displaystyle А \ раз А \ leq 2}$${\ Displaystyle г \,}$${\ Displaystyle г \ раз г <2 \,}$${\ Displaystyle х \,}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle г <х \ раз х \,}$

Преимущество этой конструкции в том, что каждому действительному числу соответствует уникальный разрез. Кроме того, ослабив первые два требования определения разреза, можно получить расширенную систему действительных чисел путем связывания с пустым множеством и со всеми . ${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle {\ textbf {Q}}}$

Построение с использованием гиперреальных чисел

Как и в случае с гиперреальными числами , гиперрациональные числа ^* Q строятся из рациональных чисел с помощью ультрафильтра . Здесь гиперрациональное - это по определению отношение двух гиперинтегральных чисел . Рассмотрим кольцо B всех ограниченных (т.е. конечных элементов) в ^* Q . Тогда B имеет единственный максимальный идеал I - бесконечно малые числа. Фактор-кольцо B / I дает поле R действительных чисел. Обратите внимание , что B не является внутренним множеством в ^* Q . Обратите внимание, что эта конструкция использует неглавный ультрафильтр над множеством натуральных чисел, существование которого гарантируется выбранной аксиомой .

Оказывается, что максимальный идеал отношения порядка на ^* Q . Следовательно, результирующее поле является упорядоченным. Полнота доказывается аналогично построению из последовательностей Коши.

Строительство из сюрреалистических чисел

Каждое упорядоченное поле может быть встроено в сюрреалистические числа . Действительные числа образуют максимальное подполе, которое является архимедовым (что означает, что никакое действительное число не может быть бесконечно большим). Это вложение не уникально, хотя может быть выбрано каноническим способом.

Построение из целых чисел (евдокс вещественные числа)

Относительно менее известная конструкция позволяет определять действительные числа, используя только аддитивную группу целых чисел с разными версиями. Строительство было официально подтверждено проектом IsarMathLib. Шеницер и Артан называют эту конструкцию реалами Евдокса , названными в честь древнегреческого астронома и математика Евдокса Книдского . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Пусть почти гомоморфизм - это отображение такое, что множество конечно. (Заметим, что это почти гомоморфизм для любого .) Почти гомоморфизмы образуют абелеву группу при поточечном сложении. Мы говорим , что два почти гомоморфизмы являются почти равны , если множество конечно. Это определяет отношение эквивалентности на множестве почти гомоморфизмов. Действительные числа определяются как классы эквивалентности этого отношения. В качестве альтернативы, почти гомоморфизмы, принимающие только конечное число значений, образуют подгруппу, а основная аддитивная группа действительного числа является фактор-группой. Чтобы добавить действительные числа, определенные таким образом, мы добавляем почти гомоморфизмы, которые их представляют. Умножение действительных чисел соответствует функциональной композиции почти гомоморфизмов. Если обозначает действительное число, представленное почти гомоморфизмом, мы говорим, что если ограничено или принимает бесконечное число положительных значений на . Это определяет отношение линейного порядка на множестве действительных чисел, построенных таким образом. ${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ {е (п + м) -f (т) -f (п): п, м \ в \ mathbb {Z} \}}$${\ Displaystyle е (п) = \ lfloor \ альфа n \ rfloor}$${\ Displaystyle \ альфа \ в \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f, g}$${\ Displaystyle \ {е (п) -g (п): п \ в \ mathbb {Z} \}}$${\ displaystyle [f]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle 0 \ leq [f]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {+}}$

Прочие конструкции

Faltin et al. записывать:

Немногие математические структуры подверглись такому количеству пересмотров или были представлены в таком количестве обличий, как действительные числа. Каждое поколение пересматривает реальность в свете своих ценностей и математических целей.

Ряд других конструкций был дан:

• NG de Bruijn.
• GJ Rieger.
• Арнольд Кнопфмахер и Джон Кнопфмахер.

Как заметил один из обозревателей: «Все детали включены, но, как обычно, они утомительны и не слишком поучительны».

Смотрите также

• Конструктивизм (математика) # Пример из реального анализа

использованная литература