Дополнение (теория множеств) - Complement (set theory)
В теории множеств , то дополнение из множества А , часто обозначается A с (или А ' ), являются элементы , не входящие в A .
Когда все рассматриваемые множества считаются подмножества данного множества U , то абсолютное дополнение в A есть множество элементов U , которые не являются в A .
Относительное дополнение от А по отношению к множеству B , также называют разницу множество из B и A , написанное является множество элементов в B , которые не являются в A .
Абсолютное дополнение
Определение
Если A - это набор, то абсолютное дополнение к A (или просто дополнение к A ) - это набор элементов, не входящих в A (внутри большего набора, который неявно определен). Другими словами, пусть U - множество, содержащее все исследуемые элементы; если нет необходимости упоминать U , либо потому, что он был ранее указан, либо потому, что он очевиден и уникален, то абсолютное дополнение к A является относительным дополнением к A в U :
Или формально:
Абсолютное дополнение к A обычно обозначается A c . Другие обозначения включают
Примеры
- Предположим, что вселенная - это набор целых чисел . Если A - это набор нечетных чисел, то дополнение к A - это набор четных чисел. Если B - это набор, кратный 3, то дополнение к B - это набор чисел, конгруэнтных 1 или 2 по модулю 3 (или, проще говоря, целые числа, не кратные 3).
- Предположим, что Вселенная представляет собой стандартную колоду из 52 карт . Если набор A - масть пик, то дополнение к A - это объединение мастей треф, бубен и червей. Если набор B представляет собой объединение мастей треф и бубен, то дополнение B является объединением мастей червей и пиков.
Характеристики
Пусть и B два множества во вселенной U . Следующие идентичности отражают важные свойства абсолютных дополнений:
Законы дополнения:
-
- (это следует из эквивалентности условного выражения и его контрпозитива ).
Закон инволюции или двойного дополнения:
Отношения между относительными и абсолютными дополнениями:
Связь с установленной разницей:
Первые два закона дополняют приведенные выше , показывают , что если не является пустым, собственное подмножество из U , то { , с } представляет собой разбиение на U .
Относительное дополнение
Определение
Если и B являются множествами, то относительное дополнение из А в В , также называется разница множество из B и A , есть множество элементов в B , но не в A .
Относительное дополнение A в B обозначается в соответствии со стандартом ISO 31-11 . Это иногда пишется , но это обозначение является неоднозначным, как и в некоторых контекстах (например, Минковский установить операции в функциональном анализе ) можно интерпретировать как совокупность всех элементов , где Ь берутся из B и из A .
Формально:
Примеры
- Если - множество действительных чисел и - множество рациональных чисел , то - множество иррациональных чисел .
Характеристики
Пусть A , B и C - три множества. Следующие идентичности отражают примечательные свойства относительных дополнений:
-
- с важным частным случаем, демонстрирующим, что пересечение может быть выражено только с помощью операции относительного дополнения.
Дополнительное отношение
Бинарное отношение определяются как подмножество произведения множеств комплементарного соотношением является множество дополнения в дополнении связи можно записать
Вместе с составом отношений и обратных связей , взаимодополняющих отношений и алгеброй множеств являются элементарными операциями по исчислению отношений .
Обозначение LaTeX
В языке набора LaTeX команда \setminus
обычно используется для визуализации установленного символа различия, который похож на символ обратной косой черты . При рендеринге \setminus
команда выглядит идентично \backslash
, за исключением того, что перед ней и за косой чертой немного больше места, как в последовательности LaTeX \mathbin{\backslash}
. Вариант \smallsetminus
доступен в пакете amssymb.
В языках программирования
Некоторые языки программирования имеют наборы встроенных структур данных . Такая структура данных ведет себя как конечный набор , то есть она состоит из конечного числа данных, которые не упорядочены специально, и поэтому могут рассматриваться как элементы набора. В некоторых случаях элементы не обязательно должны быть отдельными, и структура данных кодирует мультимножества, а не наборы. В этих языках программирования есть операторы или функции для вычисления дополнительных и установленных различий.
Эти операторы могут обычно применяться также к структурам данных, которые на самом деле не являются математическими наборами, такими как упорядоченные списки или массивы . Отсюда следует, что некоторые языки программирования могут иметь вызываемую функцию set_difference
, даже если у них нет никакой структуры данных для наборов.
Смотрите также
- Алгебра множеств - Тождества и отношения, включающие множества
- Пересечение (теория множеств) - понятие в математике, относящееся к области теории множеств.
- Список идентичностей и отношений множества - Равенства и отношения, которые включают множества и функции
- Наивная теория множеств - Неформальные теории множеств
- Симметричное различие - подмножество элементов, которые принадлежат ровно одному из двух наборов.
- Объединение (теория множеств) - математическая операция, при которой множества объединяются или связаны
Примечания
использованная литература
- Бурбаки, Н. (1970). Теория ансамблей (на французском языке). Пэрис: Германн. ISBN 978-3-540-34034-8.
- Девлин, Кейт Дж. (1979). Основы современной теории множеств . Universitext. Springer . ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003 .
- Халмос, Пол Р. (1960). Теория наивных множеств . Университетская серия по математике. Компания ван Ностранд. Zbl 0087.04403 .