0,999 ... - 0.999...

Повторяющаяся десятичная дробь продолжается бесконечно.

В математике , 0,999 ... (также записывается как 0. 9 , в повторяющихся десятичную нотацию ) обозначает повторяющееся десятичной , состоящий из последовательности из бесконечной 9s после десятичной точки . Это повторяющееся десятичное число представляет собой наименьшее число, не меньшее, чем каждое десятичное число в последовательности (0,9, 0,99, 0,999, ...). Это число равно 1. Другими словами, «0,999 ...» и «1» представляют собой одно и то же число. Есть много способов показать это равенство, от интуитивных аргументов до математически строгих доказательств.. Используемый метод зависит от целевой аудитории, исходных предположений, исторического контекста и предпочтительного развития реальных чисел , системы, в которой обычно определяется 0,999 ... (В других системах 0,999 ... может иметь то же значение, другое определение или быть неопределенным.)

В более общем смысле, каждое ненулевое завершающее десятичное число имеет два равных представления (например, 8.32 и 8.31999 ...), что является свойством всех представлений позиционной системы счисления независимо от основания . Утилитарное предпочтение завершающего десятичного представления способствует неправильному представлению о том, что это единственное представление. По этой и другим причинам - например, строгим доказательствам, основанным на неэлементарных методах, свойствах или дисциплинах - некоторые люди могут найти равенство достаточно противоречивым, чтобы подвергнуть его сомнению или отвергнуть. Это было предметом нескольких исследований в области математического образования .

Элементарное доказательство

Архимедовости : любая точка х до финиша лежит между двумя точками (включительно).

{\ displaystyle P_ {n}}

Существует элементарное доказательство уравнения $0,999 ... = 1$ , в котором используются только математические инструменты сравнения и сложения (конечных) десятичных чисел , без каких-либо ссылок на более сложные темы, такие как ряды , пределы , формальное построение действительных чисел. и т. д. Доказательство, упражнение, данное Стиллвеллом (1994 , стр. 42), является прямой формализацией интуитивного факта, что если нарисовать 0,9, 0,99, 0,999 и т. д. на числовой прямой, не останется места для размещение числа между ними и 1. Значение обозначения 0,999 ... - это наименьшая точка на числовой прямой, лежащая справа от всех чисел 0,9, 0,99, 0,999 и т. д. Поскольку в конечном итоге между 1 нет места и этих чисел точка 1 должна быть этой наименьшей точкой, и поэтому $0,999 ... = 1$ .

Интуитивное объяснение

Если поставить 0,9, 0,99, 0,999 и т. Д. На числовую прямую , сразу видно, что все эти точки находятся слева от 1 и все ближе и ближе к 1.

Точнее, расстояние от 0,9 до 1 составляет $0,1 = 1/10$ , расстояние от 0,99 до 1 составляет $0,01 = 1/10 2$ и так далее. Расстояние до 1 от $n-$ й точки (то есть с $n$ 9s после десятичной точки) составляет $1/10 n$ .

Следовательно, если бы 1 не было наименьшим числом, большим, чем 0,9, 0,99, 0,999 и т. Д., То на числовой прямой была бы точка, которая находится между 1 и всеми этими точками. Эта точка будет на положительном расстоянии от 1, которое меньше $1/10 n$ для каждого целого $n$ . В стандартных системах счисления ( рациональные числа и действительные числа ) нет положительного числа, которое меньше $1/10 n$ для всех n . Это (одна из версий) архимедова свойства , которое можно доказать в системе рациональных чисел. Таким образом, 1 является наименьшим числом, которое больше всего 0,9, 0,99, 0,999 и т.д., и так $1 = 0,999 ...$ .

Обсуждение полноты

Частично этот аргумент показывает, что существует наименьшая верхняя граница последовательности 0,9, 0,99, 0,999 и т. Д.: Наименьшее число, которое больше всех членов последовательности. Одна из аксиом в системе действительных чисел является полнота аксиома , которая гласит , что каждая ограниченная последовательность имеет точную верхнюю грань. Эта наименьшая верхняя граница - один из способов определения бесконечных десятичных разложений: действительное число, представленное бесконечным десятичным числом, является наименьшей верхней границей его конечных усечений. Аргумент здесь не должен предполагать, что полнота действительна, потому что он показывает, что эта конкретная последовательность рациональных чисел на самом деле имеет наименьшую верхнюю границу и что эта наименьшая верхняя граница равна единице.

Строгое доказательство

Предыдущее объяснение не является доказательством, так как нельзя правильно определить отношения между числом и его представлением в виде точки на числовой прямой. Для точности доказательства число $0,999 ... 9$ с $n$ девятками после десятичной точки обозначается $0. (9) n$ . Таким образом, $0. (9) 1 = 0,9$ , $0. (9) 2 = 0,99$ , $0. (9) 3 = 0,999$ и т. Д. Поскольку $1/10 n = 0,0 ... 01$ , с $n$ цифрами после десятичной точки, правило сложения десятичных чисел подразумевает

{\ displaystyle 0. (9) _ {n} + 1/10 ^ {n} = 1,}

а также

{\ displaystyle 0. (9) _ {n} <1,}

для каждого натурального числа $n$ .

Нужно показать, что 1 - это наименьшее число, которое не меньше всех $0. (9) n$ . Для этого достаточно доказать, что если число $x$ не больше 1 и не меньше всех $0. (9) n$ , то $x = 1$ . Итак, пусть $x$ такой, что

{\ Displaystyle 0. (9) _ {п} \ Leq х \ Leq 1,}

для каждого натурального числа $n$ . Следовательно,

{\ displaystyle 1-1 \ leq 1-x \ leq 1-0. (9) _ {n}.}

который, используя основную арифметику и первое равенство, установленное выше, упрощается до

{\ displaystyle 0 \ leq 1-x \ leq 1/10 ^ {n}.}

Это означает, что разница между $1$ и $x$ меньше значения, обратного любому положительному целому числу. Таким образом, эта разница должна быть равна нулю, и, следовательно, $x = 1$ ; то есть

{\ displaystyle 0.999 \ ldots = 1.}

Это доказательство основывается на том факте, что ноль - единственное неотрицательное число , которое меньше всех обратных целых чисел, или, что то же самое, нет числа, которое больше любого целого числа. Это свойство Архимеда , которое проверяется для рациональных и действительных чисел . Действительные числа могут быть расширены до систем счисления , таких как гиперреальные числа , с бесконечно малыми числами ( бесконечно малыми ) и бесконечно большими числами ( бесконечными числами ). При использовании таких систем обозначение 0,999 ... обычно не используется, поскольку не существует наименьшего числа, которое было бы не меньше всех $0. (9) n$ . (Это подразумевается тем фактом, что $0. (9) n \leq x <1$ влечет $0. (9) n -1 \leq 2 x - 1 < x <1$ ).

Алгебраические аргументы

Вопрос чрезмерно упрощенных иллюстраций равенства является предметом педагогической дискуссии и критики. Байерс (2007 , стр. 39) обсуждает аргумент о том, что в начальной школе человека учат, что $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1 ⁄ 3 = 0,333 ...$ , поэтому, игнорируя все существенные тонкости, «умножение» этого тождества на $3$ дает $1 = 0,999 .. .$ . Далее он говорит, что этот аргумент неубедителен из-за нерешенной двусмысленности относительно значения знака равенства ; студент может подумать: «Это, конечно, не означает, что число 1 идентично тому, что подразумевается под обозначением $0,999 ...$ ». Большинство студентов математических специальностей, с которыми сталкивался Байерс, считают, что, хотя $0,999 ...$ «очень близко» к 1 в силу этого аргумента, а некоторые даже говорят, что это «бесконечно близко», они не готовы сказать, что оно равно к 1. Ричман (1999) обсуждает, как «этот аргумент черпает силу из того факта, что большинство людей внушают, что они принимают первое уравнение, не задумываясь», но также предполагает, что этот аргумент может заставить скептиков усомниться в этом предположении.

Байерс также приводит следующий аргумент. Позволять

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = 0,999 \ ldots \\ 10x & = 9,999 \ ldots && {\ text {путем «умножения» на}} 10 \\ 10x & = 9 + 0,999 \ ldots && {\ text {на « разделение »на целую часть}} \\ 10x & = 9 + x && {\ text {по определению}} x \\ 9x & = 9 && {\ text {путем вычитания}} x \\ x & = 1 && {\ text {путем деления на }} 9 \ конец {выровнено}}}

Студенты, которые не приняли первый аргумент, иногда принимают второй аргумент, но, по мнению Байерса, все еще не разрешили двусмысленность и, следовательно, не понимают представления для бесконечных десятичных знаков. Peressini & Peressini (2007) , представляя тот же аргумент, также заявляют, что он не объясняет равенства, указывая на то, что такое объяснение, вероятно, будет включать концепции бесконечности и полноты . Болдуин и Нортон (2012) , цитируя Каца и Каца (2010a) , также приходят к выводу, что трактовка идентичности, основанная на таких аргументах, без формальной концепции ограничения, является преждевременной.

Тот же аргумент приводится Ричманом (1999) , который отмечает, что скептики могут сомневаться в том, может ли $x$ быть сокращаемым, то есть имеет ли смысл вычитать $x$ из обеих сторон.

Аналитические доказательства

Поскольку вопрос о 0,999 ... не влияет на формальное развитие математики, его можно отложить до тех пор, пока не будут доказаны стандартные теоремы реального анализа . Одно из требований состоит в том, чтобы охарактеризовать действительные числа, которые могут быть записаны в десятичной системе счисления, состоящей из необязательного знака, конечной последовательности из одной или нескольких цифр, образующих целую часть, десятичного разделителя и последовательности цифр, образующих дробную часть. В целях обсуждения 0,999 ... целую часть можно суммировать как b _0, а отрицательными можно пренебречь, поэтому десятичное разложение имеет вид

{\ displaystyle b_ {0} .b_ {1} b_ {2} b_ {3} b_ {4} b_ {5} \ dots.}

Дробная часть, в отличие от целой, не ограничивается конечным числом цифр. Это позиционное обозначение , например, цифра 5 из 500 дает в десять раз больше, чем 5 из 50, а 5 из 0,05 дает одну десятую часть от 5 из 0,5.

Бесконечные серии и последовательности

Распространенным развитием десятичных разложений является определение их как сумм бесконечных рядов . В основном:

{\ displaystyle b_ {0} .b_ {1} b_ {2} b_ {3} b_ {4} \ ldots = b_ {0} + b_ {1} \ left ({\ tfrac {1} {10}} \ right) + b_ {2} \ left ({\ tfrac {1} {10}} \ right) ^ {2} + b_ {3} \ left ({\ tfrac {1} {10}} \ right) ^ { 3} + b_ {4} \ left ({\ tfrac {1} {10}} \ right) ^ {4} + \ cdots.}

Для 0.999 ... можно применить теорему сходимости относительно геометрических рядов :

Если тогда

{\ Displaystyle | г | <1}

{\ displaystyle ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} + \ cdots = {\ frac {ar} {1-r}}.}

Поскольку 0,999 ... представляет собой такую сумму с a = 9 и знаменателем r = 1 ⁄ 10 , теорема решает этот вопрос вкратце:

{\ displaystyle 0.999 \ ldots = 9 \ left ({\ tfrac {1} {10}} \ right) +9 \ left ({\ tfrac {1} {10}} \ right) ^ {2} +9 \ left ({\ tfrac {1} {10}} \ right) ^ {3} + \ cdots = {\ frac {9 \ left ({\ tfrac {1} {10}} \ right)} {1 - {\ tfrac {1} {10}}}} = 1.}

Это доказательство появляется уже в 1770 году в « Элементах алгебры» Леонарда Эйлера .

Пределы: Единичный интервал, включая последовательность дробей по основанию 4 (.3, .33, .333, ...), сходящуюся к 1.

Сумма геометрического ряда сама по себе является результатом даже старше Эйлера. В типичном выводе 18-го века использовалась пословная манипуляция, аналогичная приведенному выше алгебраическому доказательству , и еще в 1811 году учебник Бонникасла « Введение в алгебру» использует такой аргумент для геометрических рядов, чтобы оправдать тот же маневр на 0,999. Реакция 19 века на такие либеральные методы суммирования привела к определению, которое все еще доминирует сегодня: сумма ряда определяется как предел последовательности его частичных сумм. Соответствующее доказательство теоремы явно вычисляет эту последовательность; его можно найти в любом введении в исчисление или анализ, основанном на доказательствах.

Последовательность ( х ₀ , х ₁ , х ₂ , ...) имеет предел х , если расстояние | х - х _п | становится сколь угодно малым с увеличением n . Утверждение, что 0,999 ... = 1, само по себе может быть истолковано и доказано как предел:

{\ displaystyle 0.999 \ ldots \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ \ lim _ {n \ to \ infty} 0. \ underbrace {99 \ ldots 9} _ { n} \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac { 9} {10 ^ {k}}} \ = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 - {\ frac {1} {10 ^ {n}}} \ right) = 1- \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {10 ^ {n}}} = 1 \, - \, 0 = 1.}

Первые два равенства можно интерпретировать как сокращенные определения символов. Остальные равенства доказываются. Последний шаг, заключающийся в том, что 1 ⁄ 10 ⁿ → 0 при n → ∞, часто оправдывается архимедовым свойством действительных чисел. Это основанное на ограничении отношение к 0,999 ... часто выражается в более запоминающихся, но менее точных терминах. Например, в учебнике 1846 года «Университетская арифметика» объясняется, что «0,999 + продолжается до бесконечности = 1, потому что каждое присоединение 9 приближает значение к 1»; арифметика для школ 1895 года гласит: «Когда берется большое количество девяток, разница между 1 и 0,99999 ... становится невероятно малой». Такие эвристики часто неправильно интерпретируются студентами как подразумевающие, что 0,999 ... само по себе меньше 1.

Вложенные интервалы и наименьшие верхние границы

Вложенные интервалы: в базе 3, 1 = 1.000 ... = 0.222 ...

Приведенное выше определение ряда - это простой способ определить действительное число, названное десятичной дробью. Дополнительный подход приспособлен к противоположному процессу: для данного действительного числа определите десятичное расширение (я), чтобы назвать его.

Если известно, что действительное число x лежит в закрытом интервале [0, 10] (т.е. оно больше или равно 0 и меньше или равно 10), можно представить себе разделение этого интервала на десять частей, которые перекрываются только в их конечных точках: [0, 1], [1, 2], [2, 3] и так далее до [9, 10]. Число x должно принадлежать к одному из них; если он принадлежит [2, 3], то записывается цифра «2» и этот интервал делится на [2, 2.1], [2.1, 2.2], ..., [2.8, 2.9], [2.9, 3]. Продолжение этого процесса дает бесконечную последовательность вложенных интервалов , помеченных бесконечной последовательностью цифр b ₀ , b ₁ , b ₂ , b ₃ , ..., и одна запись

{\ displaystyle x = b_ {0} .b_ {1} b_ {2} b_ {3} \ ldots}

В этом формализме тождества 1 = 0.999 ... и 1 = 1.000 ... отражают, соответственно, тот факт, что 1 лежит как в [0, 1], так и в [1, 2], поэтому при нахождении можно выбрать любой подинтервал его цифры. Чтобы гарантировать, что это обозначение не злоупотребляет знаком «=», нужен способ восстановить уникальное действительное число для каждого десятичного разделителя. Это можно сделать с ограничениями, но другие конструкции продолжают тему упорядочивания.

Одним из простых вариантов является теорема о вложенных интервалах , которая гарантирует, что при заданной последовательности вложенных, закрытых интервалов, длина которых становится сколь угодно малой, интервалы содержат ровно одно действительное число на их пересечении . Итак, b ₀ . b ₁b ₂b ₃ ... определяется как уникальный номер, содержащийся во всех интервалах [ b ₀ , b ₀ + 1], [ b ₀ . б ₁ , б ₀ . b ₁ + 0,1] и т. д. 0,999 ... тогда единственное действительное число, которое лежит во всех интервалах [0, 1], [0,9, 1], [0,99, 1] и [0,99 ... 9, 1] для каждой конечной строки 9с. Поскольку 1 является элементом каждого из этих интервалов, 0,999 ... = 1.

Теорема о вложенных интервалах обычно основана на более фундаментальной характеристике действительных чисел: существовании наименьших верхних границ или супремумов . Чтобы напрямую использовать эти объекты, можно определить b ₀ . b ₁b ₂b ₃ ... быть точной верхней границей набора аппроксимаций { b ₀ , b ₀ . б ₁ , б ₀ . б ₁б ₂ , ...}. Затем можно показать, что это определение (или определение вложенных интервалов) согласуется с процедурой подразделения, подразумевая снова 0,999 ... = 1. Том Апостол заключает:

Тот факт, что действительное число может иметь два разных десятичных представления, является просто отражением того факта, что два разных набора действительных чисел могут иметь одну и ту же верхнюю грань.

Доказательства построения действительных чисел

Некоторые подходы явно определяют действительные числа как определенные структуры, построенные на рациональных числах , используя аксиоматическую теорию множеств . В натуральных чисел - 0, 1, 2, 3, и так далее - начинаются с 0 и продолжают вверх, так что каждое число имеет преемника. Можно расширить натуральные числа с их отрицательными числами , чтобы получить все целые числа , и расширить до соотношений, дав рациональные числа . Эти системы счисления сопровождаются арифметикой сложения, вычитания, умножения и деления. Более тонко, они включают упорядочивание , так что одно число может быть сравнено с другим и обнаружено, что оно меньше, больше или равно другому числу.

Шаг от рационального к реальному - серьезное расширение. Есть по крайней мере два популярных способа достижения этого шага, оба опубликованные в 1872 году: разрезы Дедекинда и последовательности Коши . Доказательства того, что 0,999 ... = 1, которые напрямую используют эти конструкции, не встречаются в учебниках по реальному анализу, где современной тенденцией последних нескольких десятилетий является использование аксиоматического анализа. Даже когда предлагается конструкция, она обычно применяется для доказательства аксиом действительных чисел, которые затем подтверждают приведенные выше доказательства. Однако некоторые авторы высказывают мысль, что логически целесообразнее начинать с конструкции, а полученные доказательства более самостоятельны.

Дедекинда сокращает

В подходе сечения Дедекинда каждое действительное число x определяется как бесконечное множество всех рациональных чисел, меньших x . В частности, действительное число 1 - это набор всех рациональных чисел, которые меньше 1. Каждое положительное десятичное разложение легко определяет разрез Дедекинда: набор рациональных чисел, которые меньше некоторой стадии разложения. Итак, действительное число 0,999 ... - это набор рациональных чисел r таких, что r <0, или r <0,9, или r <0,99, или r меньше, чем какое-либо другое число в форме

{\ displaystyle 1 - {\ frac {1} {10 ^ {n}}} = 0. (9) _ {n} = 0. \ underbrace {99 \ ldots 9} _ {n {\ text {nines}} }.}

Каждый элемент 0,999 ... меньше 1, поэтому он является элементом действительного числа 1. И наоборот, все элементы 1 являются рациональными числами, которые можно записать как

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} <1,}

с $b > 0$ и $b > a$ . Из этого следует

{\ displaystyle 1 - {\ frac {a} {b}} = {\ frac {ba} {b}} \ geq {\ frac {1} {b}}> {\ frac {1} {10 ^ {b }}},}

и поэтому

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} <1 - {\ frac {1} {10 ^ {b}}}.}

и с тех пор

{\ displaystyle 1 - {\ frac {1} {10 ^ {b}}} = 0. (9) _ {b} <0,999 \ ldots}

по определению, приведенному выше, каждый элемент 1 также является элементом 0,999 ..., и в сочетании с приведенным выше доказательством того, что каждый элемент 0,999 ... также является элементом 1, наборы 0,999 ... и 1 содержат одинаковые рациональные числа и, следовательно, один и тот же набор, то есть 0,999 ... = 1.

Определение действительных чисел как сокращений Дедекинда было впервые опубликовано Ричардом Дедекиндом в 1872 году. Вышеупомянутый подход к присвоению действительного числа каждому десятичному разложению основан на пояснительной статье под названием «0,999 ... = 1?» Фреда Ричмана в журнале Mathematics Magazine , предназначенном для учителей университетской математики, особенно младших и старших классов, и их студентов. Ричман отмечает, что выполнение дедекиндовских сокращений в любом плотном подмножестве рациональных чисел дает те же результаты; в частности, он использует десятичные дроби , для которых доказательство является более непосредственным. Он также отмечает, что обычно определения позволяют {x: x <1} быть сокращением, но не {x: x ≤ 1} (или наоборот) «Почему это делается? Именно для того, чтобы исключить существование различных чисел 0,9 * и 1. [...] Итак, мы видим, что в традиционном определении действительных чисел уравнение 0,9 * = 1 встроено в начало ". Дальнейшая модификация процедуры приводит к другой структуре, в которой они не равны. Несмотря на то, что это соответствует, многие из общих правил десятичной арифметики больше держать, например фракция 1 / 3 не имеет представления; см. « Альтернативные системы счисления » ниже.

Последовательности Коши

Другой подход - определить действительное число как предел последовательности рациональных чисел Коши . Эта конструкция действительных чисел использует упорядочение рациональных чисел менее прямо. Во-первых, расстояние между x и y определяется как абсолютное значение | x - y |, где абсолютное значение | z | определяется как максимум z и - z , поэтому никогда не бывает отрицательным. Затем действительные числа определяются как последовательности рациональных чисел, которые обладают свойством последовательности Коши, использующим это расстояние. То есть в последовательности ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , ...), отображении натуральных чисел в рациональные числа, для любого положительного рационального δ существует такое N , что | х _м - х _п | & Le ; & delta ; для всех т , п > Н . (Расстояние между терминами становится меньше любого положительного рационального аргумента.)

Если ( x _n ) и ( y _n ) - две последовательности Коши, то они определяются как действительные числа, если последовательность ( x _n - y _n ) имеет предел 0. Усечения десятичного числа b ₀ . b ₁b ₂b ₃ ... сгенерируйте последовательность рациональных чисел, которая является Коши; это используется для определения действительного значения числа. Таким образом, в этом формализме задача состоит в том, чтобы показать, что последовательность рациональных чисел

{\ displaystyle \ left (1-0,1- {9 \ over 10}, 1- {99 \ over 100}, \ dots \ right) = \ left (1, {1 \ over 10}, {1 \ over 100}, \ точки \ right)}

имеет предел 0. Поэтому , рассматривая n- й член последовательности для n ∈ ℕ , необходимо показать, что

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {10 ^ {n}}} = 0.}

Этот предел очевиден, если понять определение лимита . Итак, снова 0,999 ... = 1.

Определение действительных чисел как последовательностей Коши было впервые опубликовано отдельно Эдуардом Гейне и Георгом Кантором также в 1872 году. Вышеупомянутый подход к десятичным разложениям, включая доказательство того, что 0,999 ... = 1, близко следует за работой Гриффитса и Хилтона 1970 года . Учебник классической математики: Современная интерпретация . Книга написана специально, чтобы предложить второй взгляд на знакомые концепции в современном свете.

Бесконечное десятичное представление

Обычно в математическом образовании в средних школах действительные числа строятся путем определения числа с использованием целого числа, за которым следует точка счисления и бесконечная последовательность, записанная в виде строки, представляющей дробную часть любого заданного действительного числа. В этой конструкции набор любой комбинации целого числа и цифр после десятичной точки (или точки счисления в системах с основанием не 10) является набором действительных чисел. Можно строго показать, что эта конструкция удовлетворяет всем действительным аксиомам после определения отношения эквивалентности на множестве, которое определяет 1 = _{уравнение} 0,999 ..., а также для любых других ненулевых десятичных дробей только с конечным числом ненулевых членов в десятичной строке с ее последняя версия 9s. При таком построении вещественных чисел все доказательства утверждения «1 = 0,999 ...» можно рассматривать как неявно предполагающие равенство, когда какие-либо операции выполняются с действительными числами.

Плотный порядок

Одно из понятий, которое может решить эту проблему, - это требование плотного упорядочивания вещественных чисел. Студенты принимают как должное, что было раньше, в то время как такой вид интуитивного упорядочивания лучше определить как чисто лексикографический. ${\ displaystyle 0.99999 ...}$ ${\ displaystyle 1}$

«... порядок действительных чисел распознается как плотный. Однако, в зависимости от контекста, студенты могут согласовать это свойство с существованием чисел непосредственно перед или после данного числа (0,999 ... поэтому часто можно увидеть как предшественник 1) ".

Плотный порядок требует, чтобы третье действительное значение находилось строго между и , но его нет: мы не можем изменить одну цифру в любом из двух, чтобы получить такое число. Если и должны представлять действительные числа, они должны быть равны. Плотный порядок подразумевает, что если нет нового элемента строго между двумя элементами набора, эти два элемента должны считаться равными. ${\ displaystyle 0.99999 ...}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle 0.99999 ...}$ ${\ displaystyle 1}$

Обобщения

Результат 0,999 ... = 1 легко обобщается двумя способами. Во-первых, каждое ненулевое число с конечной десятичной записью (эквивалентно бесконечным конечным нулям) имеет аналог с конечными девятками. Например, 0,24999 ... равно 0,25, как и в рассматриваемом частном случае. Это числа в точности десятичные дроби, и они плотные .

Во-вторых, сопоставимая теорема применима к каждому основанию или основанию . Например, по основанию 2 ( двоичная система счисления ) 0,111 ... равно 1, а по основанию 3 ( троичная система счисления ) 0,222 ... равно 1. Как правило, любое завершающее выражение с основанием b имеет аналог с повторяющимся завершением. цифры, равные b - 1. Учебники реального анализа, вероятно, пропустят пример 0,999 ... и с самого начала представят одно или оба этих обобщения.

Альтернативные представления 1 также встречаются в нецелочисленных основаниях. Например, в основе золотого сечения двумя стандартными представлениями являются 1.000 ... и 0.101010 ..., и существует бесконечно много других представлений, которые включают смежные единицы. Как правило, почти для всех q между 1 и 2 существует несчетное количество разложений по основанию q для 1. С другой стороны, все еще существует несчетное количество q (включая все натуральные числа больше 1), для которых существует только одно основание- q разложение 1, кроме тривиальных 1.000 .... Этот результат был впервые получен Полем Эрдёшем , Миклошом Хорватом и Иштваном Йо примерно в 1990 году. В 1998 году Вилмос Коморник и Паола Лорети определили наименьшее такое основание, постоянную Коморника – Лорети. q = 1,787231650 .... В этой базе 1 = 0,11010011001011010010110011010011 ...; цифры даны последовательностью Туэ – Морса , которая не повторяется.

Более широкое обобщение касается самых общих позиционных систем счисления . У них тоже есть несколько представлений, и в некотором смысле трудности еще хуже. Например:

В сбалансированной тройной системе 1 ⁄ 2 = 0,111 ... = 1,11 ....
В обратной факториальной системе счисления (с использованием оснований 2!, 3!, 4!, ... для позиций после десятичной точки) 1 = 1.000 ... = 0.1234 ....

Невозможность однозначного представления

То, что все эти различные системы счисления страдают от множественных представлений некоторых действительных чисел, можно объяснить фундаментальным различием между действительными числами как упорядоченным набором и наборами бесконечных строк символов, упорядоченных лексикографически . Действительно, следующие два свойства объясняют сложность:

Если интервал из действительных чисел является разбивается на два непустых частей L , R , таким образом, что каждый элемент из L (строго) меньше , чем каждый элемент R , то либо L содержит наибольший элемент или R содержит наименьший элемент, но не то и другое.
Набор бесконечных строк символов, взятых из любого конечного «алфавита», лексикографически упорядоченный, может быть разбит на две непустые части L , R , так что каждый элемент L меньше, чем каждый элемент R , в то время как L содержит наибольшую element, а R содержит наименьший элемент. В самом деле, достаточно взять два конечных префикса (начальных подстрок) p ₁ , p ₂ элементов из коллекции так, чтобы они отличались только своим конечным символом, для какого символа они имеют последовательные значения, и взять в качестве L набор всех строк в коллекции, чей соответствующий префикс не больше p ₁ , а для R остаток - строки в коллекции, соответствующий префикс которой не меньше p ₂ . Тогда L имеет самый большой элемент, начиная с p ₁ и выбирая самый большой доступный символ во всех следующих позициях, в то время как R имеет самый маленький элемент, полученный следующим за p ₂ наименьшим символом во всех позициях.

Первый пункт следует из основных свойств действительных чисел: L имеет верхнюю грань, а R имеет нижнюю грань , которые, как легко видеть, равны; будучи действительным числом, оно либо лежит в R, либо в L , но не в обоих, поскольку предполагается, что L и R не пересекаются . Второй пункт обобщает пару 0,999 ... / 1.000 ..., полученную при p ₁ = "0", p ₂ = "1". Фактически нет необходимости использовать один и тот же алфавит для всех позиций (чтобы, например , можно было включить смешанные системы счисления ) или рассматривать полный набор возможных строк; единственные важные моменты заключаются в том, что в каждой позиции может быть выбран конечный набор символов (который может даже зависеть от предыдущих символов) (это необходимо для обеспечения максимального и минимального выбора), и что правильный выбор для любой позиции должен приводит к правильной бесконечной строке (поэтому нельзя допускать "9" в каждой позиции, запрещая бесконечную последовательность "9" с). При этих предположениях приведенный выше аргумент показывает, что отображение с сохранением порядка из набора строк в интервал действительных чисел не может быть взаимно однозначным : либо некоторые числа не соответствуют какой-либо строке, либо некоторые из них соответствуют более чем одной строке. .

Марко Петковшек доказал, что для любой позиционной системы, которая называет все действительные числа, множество действительных чисел с множественными представлениями всегда плотно. Он называет это доказательство «поучительным упражнением в элементарной точечно-множественной топологии »; он включает в себя просмотр наборов позиционных значений как пространств камня и наблюдение за тем, что их реальные представления задаются непрерывными функциями .

Приложения

Одно применение 0,999 ... как представление 1 встречается в элементарной теории чисел . В 1802 году Х. Гудвин опубликовал наблюдение о появлении девяток в повторяющемся десятичном представлении дробей, знаменателями которых являются некоторые простые числа . Примеры включают:

1 ⁄ 7 = 0. 142857 и 142 + 857 = 999.
1 ⁄ 73 = 0. 01369863 и 0136 + 9863 = 9999.

Э. Миди доказал общий результат о таких дробях, который теперь называется теоремой Миди , в 1836 году. Публикация была неясной, и неясно, было ли в его доказательстве непосредственное отношение к 0,999 ..., но, по крайней мере, одно современное доказательство У.Г. Ливитта касается. Если можно доказать, что если десятичное число вида 0. b ₁b ₂b ₃ ... является положительным целым числом, то оно должно быть 0,999 ..., что в таком случае является источником девяток в теореме. Исследования в этом направлении могут мотивировать такие понятия , как наибольшие общие делители , модульная арифметика , Ферма простых числа , порядка из группы элементов, и квадратичная взаимность .

Позиции 1 ⁄ 4 , 2 ⁄ 3 и 1 в наборе Кантора

Возвращаясь к реальному анализу, аналог с основанием 3 0,222 ... = 1 играет ключевую роль в характеристике одного из простейших фракталов , канторовского множества в средней трети :

Точка в единичном интервале лежит в наборе Кантора тогда и только тогда, когда она может быть представлена троично, используя только цифры 0 и 2.

П я цифра представления отражает положение точки в п - й этап строительства. Так , например, точка 2 / 3 дается обычное представление 0,2 или 0.2000 ..., поскольку она лежит правее первого удаления и влево каждого удаления после этого. Точка 1 ⁄ 3 представлена не как 0,1, а как 0,0222 ..., поскольку она находится слева от первого удаления и справа от каждого последующего удаления.

Повторяющиеся девятки встречаются и в еще одном произведении Георга Кантора. Их необходимо принять во внимание, чтобы построить действительное доказательство несчетности единичного интервала , применяя его диагональный аргумент 1891 года к десятичным разложениям . Такое доказательство должно иметь возможность объявить определенные пары действительных чисел разными на основе их десятичных разложений, поэтому нужно избегать пар, таких как 0,2 и 0,1999 ... Простой метод представляет все числа с неограничивающими расширениями; противоположный метод исключает повторение девяток. Вариант, который может быть ближе к исходному аргументу Кантора, на самом деле использует основание 2, и, превратив разложения по основанию 3 в расширения по основанию 2, можно также доказать несчетность множества Кантора.

Скептицизм в образовании

Студенты-математики часто отвергают равенство 0,999 ... и 1 по причинам, варьирующимся от их разрозненного внешнего вида до глубоких опасений по поводу концепции предела и разногласий по поводу природы бесконечно малых . Есть много общих факторов, способствующих путанице:

Студенты часто «мысленно привержены представлению о том, что число может быть представлено одним и только одним способом с помощью десятичной дроби». Увидеть два явно разных десятичных знака, представляющих одно и то же число, кажется парадоксом , который усугубляется появлением, казалось бы, хорошо понятого числа 1.
Некоторые студенты интерпретируют «0,999 ...» (или аналогичное обозначение) как большую, но конечную строку из девяток, возможно, переменной, неопределенной длины. Если они принимают бесконечную строку девяток, они все равно могут ожидать последних 9 «на бесконечности».
Интуиция и неоднозначное обучение заставляют студентов думать о пределе последовательности как о разновидности бесконечного процесса, а не о фиксированном значении, поскольку последовательность не обязательно должна достигать своего предела. Если учащиеся принимают разницу между последовательностью чисел и ее пределом, они могут читать «0,999 ...» как значение последовательности, а не ее предела.

Эти идеи ошибочны в контексте стандартных действительных чисел, хотя некоторые из них могут быть действительны в других системах счисления, изобретенных либо для их общей математической полезности, либо в качестве поучительных контрпримеров для лучшего понимания 0,999 ...

Многие из этих объяснений были найдены Дэвидом Толлом , который изучал особенности обучения и познания, которые привели к некоторым недопониманиям, с которыми он столкнулся у студентов своего колледжа. Опрашивая своих студентов, чтобы определить, почему подавляющее большинство изначально отвергало равенство, он обнаружил, что «студенты продолжали воспринимать 0,999 ... как последовательность чисел, приближающихся к 1, а не фиксированное значение, потому что« у вас нет ». указано количество знаков 'или' это ближайшее возможное десятичное число ниже 1 ' ".

Элементарный аргумент умножения 0,333 ... = 1 ⁄ 3 на 3 может убедить сопротивляющихся студентов, что 0,999 ... = 1. Тем не менее, столкнувшись с конфликтом между своей верой в первое уравнение и своим неверием во второе, некоторые студенты либо начинаешь не верить первому уравнению, либо просто разочаровываешься. Не являются надежными и более сложные методы: студенты, которые в полной мере способны применять строгие определения, могут все же прибегать к интуитивным изображениям, когда их удивляет результат по продвинутой математике, включая 0,999 ... Например, один настоящий студент-аналитик смог доказать , что 0,333 ... = 1 / +3 , используя супремум определение, но настаивал на том, что 0,999 ... <1 на основе ее ранее понимания столбиком. Другие все еще могут доказать, что 1 ⁄ 3 = 0,333 ..., но, столкнувшись с дробным доказательством , настаивают на том, что «логика» заменяет математические вычисления.

Джозеф Мазур рассказывает историю о своем блестящем студенте-математике, который «подвергал сомнению почти все, что я говорил в классе, но никогда не подвергал сомнению свой калькулятор», и который пришел к выводу, что девять цифр - это все, что нужно для математических занятий, в том числе для вычисления квадрата. корень из 23. Учащийся по-прежнему не устраивал ограничивающий аргумент, что 9,99 ... = 10, называя это «дико воображаемым бесконечным процессом роста».

В рамках теории математического обучения Эда Дубинского APOS он и его сотрудники (2005) предполагают, что студенты, которые представляют 0,999 ... как конечную неопределенную строку с бесконечно малым расстоянием от 1, «еще не построили полную концепцию процесса. бесконечной десятичной дроби ». Другие студенты, которые имеют полную концепцию процесса 0,999 ... могут еще не быть в состоянии «инкапсулировать» этот процесс в «концепцию объекта», как у них есть концепция объекта 1, и поэтому они рассматривают процесс 0,999 ... и объект 1 как несовместимый. Дубинский и др. также свяжите эту умственную способность инкапсуляции с рассмотрением 1 ⁄ 3 как самостоятельного числа и с работой с множеством натуральных чисел в целом.

Культурный феномен

С появлением Интернета дебаты о 0,999 ... стали обычным явлением в группах новостей и досках объявлений , в том числе многие, которые номинально не имеют ничего общего с математикой. В группе новостей sci.math споры по поводу 0.999 ... описываются как «популярный вид спорта», и это один из вопросов, на которые дан ответ в ее FAQ . В FAQ вкратце рассказывается о 1 ⁄ 3 , умножении на 10 и ограничениях, а также упоминаются последовательности Коши.

В 2003 году выпуск колонки общего интерес газеты Прямой Наркотик обсуждает 0,999 ... через 1 / 3 и пределы, говоря о заблуждениях,

Низшие приматы в нас по-прежнему сопротивляются, говоря: .999 ~ на самом деле не число , а процесс . Чтобы найти число, мы должны остановить процесс, и тогда 0,999 ~ = 1 развалится. Ерунда.

В статье Slate сообщается, что концепция 0.999 ... "горячо оспаривается на веб-сайтах, от досок объявлений World of Warcraft до форумов Айн Рэнд ". В том же ключе, вопрос о 0,999 ... оказалось столь популярной темой в первые семь лет Blizzard Entertainment 's Battle.net форумах о том , что компания выпустила „пресс - релиз“ на первоапрельский день 2004 года , что 1 :

Мы очень рады закрыть книгу по этой теме раз и навсегда. Мы стали свидетелями душевной боли и беспокойства по поводу того, равно ли .999 ~ 1 или нет, и мы гордимся тем, что следующее доказательство окончательно и окончательно решает проблему для наших клиентов.

Затем предлагаются два доказательства, основанные на пределах и умножении на 10.

0.999 ... также присутствует в математических анекдотах , таких как:

В: Сколько математиков нужно, чтобы вкрутить лампочку ?

А: 0,999999 ....

В альтернативных системах счисления

Хотя действительные числа образуют чрезвычайно полезную систему счисления , решение интерпретировать обозначение «0,999 ...» как наименование действительного числа в конечном итоге является условностью, и Тимоти Гауэрс утверждает в « Математике: очень краткое введение», что в результате тождество 0,999. .. = 1 - это тоже соглашение:

Однако это ни в коем случае не является произвольным соглашением, потому что его непринятие вынуждает либо изобретать странные новые объекты, либо отказываться от некоторых знакомых правил арифметики.

Можно определить другие системы счисления, используя другие правила или новые объекты; в некоторых таких системах счисления приведенные выше доказательства нужно будет переосмыслить, и можно будет обнаружить, что в данной системе счисления 0,999 ... и 1 могут не совпадать. Однако многие системы счисления являются расширениями действительной системы счисления (а не независимыми альтернативами ей), поэтому 0,999 ... = 1 остается в силе. Однако даже в таких системах счисления стоит изучить альтернативные системы счисления не только на предмет того, как ведет себя 0,999 ... (если, действительно, число, выраженное как «0,999 ...», является одновременно значимым и однозначным), но и для поведения связанных явлений. Если такие явления отличаются от явлений в действительной системе счисления, то по крайней мере одно из допущений, встроенных в систему, должно быть нарушено.

Бесконечно малые

Некоторые доказательства того, что 0,999 ... = 1, основаны на архимедовости действительных чисел: не существует ненулевых бесконечно малых чисел . В частности, разность 1 - 0,999 ... должна быть меньше любого положительного рационального числа, поэтому она должна быть бесконечно малой; но поскольку действительные числа не содержат ненулевых бесконечно малых чисел, разница, следовательно, равна нулю, и, следовательно, эти два значения совпадают.

Однако существуют математически согласованные упорядоченные алгебраические структуры , включая различные альтернативы действительным числам, которые не являются архимедовыми. Нестандартный анализ предоставляет систему счисления с полным набором бесконечно малых (и их обратных). А.Х. Лайтстон разработал десятичное разложение для гиперреальных чисел в (0, 1) ^∗ . Лайтстоун показывает, как связать с каждым числом последовательность цифр,

{\ displaystyle 0.d_ {1} d_ {2} d_ {3} \ dots; \ dots d _ {\ infty -1} d _ {\ infty} d _ {\ infty +1} \ dots,}

индексируется сверхъестественными числами. Несмотря на то , что он непосредственно не обсуждать 0,999 ..., он показывает реальное число +1 / +3 представлен 0,333 ...; ... 333 ... , которая является следствием принципа переноса . Как следствие, число 0,999 ...; ... 999 ... = 1. В этом типе десятичного представления не каждое раскрытие представляет собой число. В частности, «0,333 ...; ... 000 ...» и «0,999 ...; ... 000 ...» не соответствуют никаким числам.

Стандартное определение числа 0,999 ... это предел последовательности 0,9, 0,99, 0,999, ... Другое определение включает в себя то, что Терри Тао называет сверхпределом , т. Е. Класс эквивалентности [(0,9, 0,99, 0,999, ...)] этой последовательности в конструкции сверхвысокой мощности , которая представляет собой число, которое на бесконечно малую величину меньше 1. В более общем смысле, гиперреальное число u _H = 0,999 ...; ... 999000 ... с последней цифрой 9 в бесконечном сверхъестественном ранге H удовлетворяет строгому неравенству u _H <1. Соответственно, последовала альтернативная интерпретация для «ноль» бесконечно много девяток "может быть

{\ displaystyle {\ underset {H} {0. \ underbrace {999 \ ldots}}} \; = 1 \; - \; {\ frac {1} {10 ^ {H}}}.}

Все такие интерпретации «0,999 ...» бесконечно близки к 1. Ян Стюарт характеризует эту интерпретацию как «вполне разумный» способ строго оправдать интуицию о том, что «немного не хватает» от 1 из 0,999 .... Вдобавок Вместе с Katz & Katz Роберт Эли также подвергает сомнению предположение о том, что представления студентов о 0,999 ... <1 являются ошибочными интуитивными представлениями о действительных числах, интерпретируя их скорее как нестандартные интуиции, которые могут быть полезны при изучении математического анализа. Хосе Бенардете в своей книге « Бесконечность: эссе по метафизике» утверждает, что некоторые естественные предматематические интуиции не могут быть выражены, если человек ограничен чрезмерно ограниченной системой счисления:

Было обнаружено, что разборчивость континуума - много раз - требует, чтобы область действительных чисел была расширена за счет включения бесконечно малых. Эту увеличенную область можно назвать областью континуальных чисел. Теперь будет очевидно, что .9999 ... не равно 1, но бесконечно меньше его. Я думаю, что .9999 ... действительно следует принимать как число ... но не как действительное число.

Hackenbush

Комбинаторная теория игр также предлагает альтернативные действительные числа, одним из наиболее подходящих примеров является бесконечный сине-красный куст Хакенбуша . В 1974 году Элвин Берлекамп описал соответствие между строками Хакенбуша и двоичными разложениями действительных чисел, руководствуясь идеей сжатия данных . Например, значение строки Hackenbush LRRLRLRL ... равно 0,010101 ₂ ... = 1 ⁄ 3 . Однако значение LRLLL ... (соответствующее 0,111 ... ₂ ) бесконечно меньше 1. Разница между ними - сюрреалистическое число 1 ⁄ ω , где ω - первый бесконечный порядковый номер ; соответствующая игра - LRRRR ... или 0,000 ... ₂ .

Фактически это верно для двоичных разложений многих рациональных чисел, где значения чисел равны, но соответствующие пути двоичного дерева различны. Например, 0,10111 ... ₂ = 0,11000 ... ₂ , которые оба равны 3/4, но первое представление соответствует пути двоичного дерева LRLRLLL ... а второе соответствует другому пути LRLLRRR ... .

Возвращаясь к вычитанию

Другой способ подорвать доказательства: если 1 - 0,999 ... просто не существует, потому что вычитание не всегда возможно. Математические структуры с операцией сложения, но не операцией вычитания, включают коммутативные полугруппы , коммутативные моноиды и полукольца . Ричман рассматривает две такие системы, построенные так, что 0,999 ... <1.

Во-первых, Ричман определяет неотрицательное десятичное число как буквальное десятичное расширение. Он определяет лексикографический порядок и операцию сложения, отмечая, что 0,999 ... <1 просто потому, что 0 <1 в разрядах единиц, но для любого незавершенного x 0,999 ... + x = 1 + x . Итак, одна особенность десятичных чисел состоит в том, что сложение не всегда можно отменить; другое - то, что никакое десятичное число не соответствует 1 ⁄ 3 . После определения умножения десятичные числа образуют положительное, полностью упорядоченное коммутативное полукольцо.

В процессе определения умножения Ричман также определяет другую систему, которую он называет «разрез D », которая представляет собой набор дедекиндовских сокращений десятичных дробей. Обычно это определение приводит к действительным числам, но для десятичной дроби d он допускает как сокращение (−∞, d ), так и «основное сокращение» (−∞, d ]. В результате действительные числа «живут нелегко. вместе с «десятичными дробями. Опять 0,999 ... <1. В разрезе D нет положительных бесконечно малых чисел , но есть« своего рода отрицательное бесконечно малое », 0 ^- , которое не имеет десятичного разложения. Он приходит к выводу, что 0,999 .. . = 1 + 0 ^- , а уравнение «0,999 ... + x = 1» не имеет решения.

p -адические числа

Отвечая на вопрос о 0,999 ..., новички часто считают, что должна быть «последняя 9», полагая, что 1 - 0,999 ... является положительным числом, которое они записывают как «0,000 ... 1». Независимо от того, имеет ли это смысл, интуитивная цель ясна: добавление 1 к последним 9 в 0,999 ... переведет все 9 в 0 и оставит 1 на месте единиц. Среди других причин эта идея не срабатывает, потому что в 0.999 нет "финальной 9" .... Однако есть система, которая содержит бесконечную последовательность девяток, включая последнюю девятку.

4-адические целые числа (черные точки), включая последовательность (3, 33, 333, ...), сходящуюся к -1. 10-адический аналог ... 999 = −1.

В р -адические числа являются альтернативой системы счисления интереса к теории чисел . Подобно действительным числам, p -адические числа могут быть построены из рациональных чисел с помощью последовательностей Коши ; конструкция использует другую метрику, в которой 0 ближе к p и намного ближе к p ⁿ , чем к 1. p -адические числа образуют поле для простого p и кольцо для других p , включая 10. Итак, арифметика может выполняться в p- адиках, и бесконечно малых нет.

В 10-адических числах аналоги десятичных разложений идут влево. 10-адическое расширение ... 999 имеет последние 9 и не имеет первых 9. Можно добавить 1 к разряду единиц, и после переноса остаются только 0: 1 + ... 999 = ... 000 = 0, и поэтому ... 999 = −1. Другой вывод использует геометрический ряд. Бесконечный ряд, подразумеваемый «... 999», не сходится в действительных числах, но он сходится в 10-адиках, и поэтому можно повторно использовать знакомую формулу:

{\ displaystyle \ ldots 999 = 9 + 9 (10) +9 (10) ^ {2} +9 (10) ^ {3} + \ cdots = {\ frac {9} {1-10}} = - 1 .}

(Сравните с серией выше .) Третий вывод был изобретен семиклассницей, которая сомневалась в ограничивающем аргументе своего учителя о том, что 0,999 ... = 1, но была вдохновлена использовать приведенное выше доказательство умножения на 10 в противоположном направлении. : если x = ... 999, то 10 x = ... 990, поэтому 10 x = x - 9, следовательно, снова x = −1.

В качестве окончательного расширения, поскольку 0,999 ... = 1 (в вещественных числах) и ... 999 = −1 (в 10-адиках), то «слепой верой и беззастенчивым жонглированием символами» можно сложить два уравнения и прибыть в ... 999.999 ... = 0. Это уравнение не имеет смысла , либо как 10-адическом расширения или обычного расширения десятичной, но это оказывается значимым и верно в двукратно бесконечном десятичном разложении по 10 -адический соленоид , в котором в конечном итоге повторяются левые концы для представления действительных чисел и в конечном итоге повторяющиеся правые концы для представления 10-адических чисел.

Ультрафинитизм

Философия ультрафинитизма отвергает как бессмысленные концепции, имеющие дело с бесконечными множествами, такие как идея о том, что обозначение может означать десятичное число с бесконечной последовательностью девяток , а также суммирование бесконечного числа чисел, соответствующих позиционным значениям десятичных цифр. в этой бесконечной струне. В этом подходе к математике имеет смысл только определенное (фиксированное) количество конечных десятичных цифр. Вместо «равенства» используется «приблизительное равенство», то есть равенство до количества десятичных цифр, которое разрешено вычислять. Хотя Кац и Кац утверждают, что ультрафинитизм может уловить интуицию студента о том, что 0,999 ... должно быть меньше единицы, идеи ультрафинитизма не получили широкого признания в математическом сообществе, а философия не имеет общепринятого формального математического основания. . ${\ displaystyle 0.999 \ ldots}$ ${\ Displaystyle 9/10 + 9/100 + \ cdots}$

Связанные вопросы

Парадоксы Зенона , особенно парадокс бегуна, напоминают очевидный парадокс, согласно которому 0,999 ... и 1 равны. Парадокс бегуна можно смоделировать математически, а затем, например, 0,999 ..., разрешить с помощью геометрического ряда. Однако неясно, решает ли этот математический подход основные метафизические проблемы, которые исследовал Зенон.
Деление на ноль встречается в некоторых популярных дискуссиях о 0,999 ..., и это также вызывает споры. В то время как большинство авторов предпочитают определять 0,999 ..., почти все современные методы оставляют деление на ноль неопределенным, поскольку оно не может иметь никакого значения в стандартных действительных числах. Однако деление на ноль определено в некоторых других системах, таких как комплексный анализ , где расширенная комплексная плоскость , то есть сфера Римана , имеет « бесконечно удаленную точку ». Здесь имеет смысл определить 1 ⁄ 0 как бесконечность; и, фактически, результаты являются глубокими и применимы ко многим задачам техники и физики. Некоторые выдающиеся математики выступали за такое определение задолго до того, как была разработана какая-либо система счисления.
Отрицательный ноль - еще одна избыточная особенность многих способов записи чисел. В системах счисления, таких как действительные числа, где «0» обозначает аддитивное тождество и не является ни положительным, ни отрицательным, обычная интерпретация «-0» заключается в том, что он должен обозначать аддитивный инверсный к 0, что вынуждает -0 = 0 Тем не менее, некоторые научные приложения используют отдельные положительные и отрицательные нули, как и некоторые вычислительные двоичные системы счисления (например, целые числа, хранящиеся в знаках и величинах, или форматах дополнения единиц , или числа с плавающей запятой, как указано в стандарте с плавающей запятой IEEE ) .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Alligood, KT; Зауэр, Т.Д .; Йорк, Дж. А. (1996). «4.1 Канторовские множества». Хаос: введение в динамические системы . Springer. ISBN 978-0-387-94677-1.
Этот вводный учебник по динамическим системам предназначен для студентов и начинающих аспирантов. (стр. ix)
Апостол, Том М. (1974). Математический анализ (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-00288-1.
Переход от математического анализа к углубленному анализу, математический анализ призван быть «честным, строгим, современным и, в то же время, не слишком педантичным». (прив.) Апостол при разработке действительных чисел использует аксиому наименьшей верхней границы и вводит бесконечные десятичные дроби двумя страницами позже. (стр. 9–11)
Болдуин, Майкл; Нортон, Андерсон (2012). «Неужели 0,999 ... действительно равно 1?». Педагог математики . 21 (2): 58–67.
Бартл, Р.Г .; Шерберт Д.Р. (1982). Введение в реальный анализ . Вайли. ISBN 978-0-471-05944-8.
Этот текст призван стать «доступным учебником с разумным темпом, в котором рассматриваются фундаментальные концепции и методы реального анализа». Его развитие действительных чисел основывается на аксиоме супремума. (стр. vii – viii)
Билс, Ричард (2004). Анализ . Кембридж UP. ISBN 978-0-521-60047-7.
Берлекамп, ER ; Конвей, JH ; Гай, РК (1982). Выигрышные способы для ваших математических пьес . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-091101-1.
Берц, Мартин (1992). Автоматическая дифференциация как неархимедовый анализ . Компьютерная арифметика и вложения. Эльзевир. С. 439–450. CiteSeerX 10.1.1.31.3019 .
Бесвик, Ким (2004). «Почему 0,999 ... = 1 ?: вечный вопрос и смысл чисел». Учитель математики Австралии . 60 (4): 7–9.
Букет, Брайан Х. (1982). Математические заблуждения и парадоксы . Ван Ностранд Рейнхольд. ISBN 978-0-442-24905-2.
В этой книге представлен анализ парадоксов и заблуждений как инструмент для исследования ее центральной темы, «довольно тонкой связи между математической реальностью и физической реальностью». Предполагает алгебру первого года обучения в средней школе; Дальнейшая математика развита в книге, включая геометрические ряды в главе 2. Хотя 0,999 ... не является одним из парадоксов, требующих полного рассмотрения, он кратко упоминается во время развития диагонального метода Кантора. (Стр. ix-xi, 119)
Баррелл, Брайан (1998). Руководство Мерриам-Вебстера по повседневной математике: справочник по дому и бизнесу . Мерриам-Вебстер. ISBN 978-0-87779-621-3.
Байерс, Уильям (2007). Как думают математики: использование двусмысленности, противоречия и парадокса для создания математики . Принстон UP. ISBN 978-0-691-12738-5.
Конвей, Джон Б. (1978) [1973]. Функции одной комплексной переменной I (2е изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90328-6.
Этот текст предполагает «жесткий курс базового исчисления» как необходимое условие; изложенные в нем принципы состоят в том, чтобы представить комплексный анализ как «Введение в математику» и изложить материал ясно и точно. (стр. vii)
Дэвис, Чарльз (1846). Университетская арифметика: охват науки о числах и их многочисленных приложениях . А.С. Барнс. п. 175 . Проверено 4 июля 2011 года .
ДеСуа, Фрэнк К. (ноябрь 1960 г.). «Система, изоморфная реалам». Американский математический ежемесячник . 67 (9): 900–903. DOI : 10.2307 / 2309468 . JSTOR 2309468 .
Дубинский, Эд; Веллер, Кирк; Макдональд, Майкл; Браун, Энн (2005). «Некоторые исторические проблемы и парадоксы относительно концепции бесконечности: анализ APOS: часть 2». Образовательные исследования по математике . 60 (2): 253–266. DOI : 10.1007 / s10649-005-0473-0 . S2CID 45937062 .
Эдвардс, Барбара; Уорд, Майкл (май 2004 г.). «Сюрпризы из исследования в области математического образования: (неправильное) использование студентами математических определений» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 111 (5): 411–425. CiteSeerX 10.1.1.453.7466 . DOI : 10.2307 / 4145268 . JSTOR 4145268 . Архивировано из оригинального (PDF) 22 июля 2011 года . Проверено 4 июля 2011 года .
Эндертон, Герберт Б. (1977). Элементы теории множеств . Эльзевир. ISBN 978-0-12-238440-0.
Вводный учебник по теории множеств для бакалавров, который «не предполагает никакой специфической подготовки». Он написан для размещения курса, посвященного аксиоматической теории множеств или построению систем счисления; аксиоматический материал обозначен так, что его можно не акцентировать. (стр. xi – xii)
Эйлер, Леонард (1822) [1770]. Элементы алгебры . Джон Хьюлетт и Фрэнсис Хорнер, английские переводчики (3-е изд. На английском языке). Орм Лонгман. п. 170 . ISBN 978-0-387-96014-2. Проверено 4 июля 2011 года .
Фьельстад, Пол (январь 1995 г.). «Повторяющийся целочисленный парадокс». Журнал математики колледжа . 26 (1): 11–15. DOI : 10.2307 / 2687285 . JSTOR 2687285 .
Гардинер, Энтони (2003) [1982]. Понимание бесконечности: математика бесконечных процессов . Дувр. ISBN 978-0-486-42538-2.
Гауэрс, Тимоти (2002). Математика: очень краткое введение . Оксфорд UP. ISBN 978-0-19-285361-5.
Граттан-Гиннесс, Айвор (1970). Развитие основ математического анализа от Эйлера до Римана . MIT Press. ISBN 978-0-262-07034-8.
Гриффитс, HB; Хилтон, П.Дж. (1970). Комплексный учебник классической математики: современное толкование . Лондон: Ван Ностранд Рейнхольд. ISBN 978-0-442-02863-3. LCC QA37.2 G75 .
Эта книга выросла из курса для учителей математики средней школы Бирмингема . Курс был призван передать школьную математику с точки зрения университетского уровня , и книга предназначена для студентов, «которые примерно достигли уровня завершения одного года специализированного математического обучения в университете». Действительные числа построены в главе 24, «возможно, самой сложной главе во всей книге», хотя авторы приписывают большую часть трудностей использованию ими идеальной теории , которая здесь не воспроизводится. (стр. vii, xiv)
Кац, К .; Кац, М. (2010a). "Когда 0,999 ... меньше 1?" . Энтузиаст математики из Монтаны . 7 (1): 3–30. arXiv : 1007.3018 . Bibcode : 2010arXiv1007.3018U . Архивировано из оригинала 20 июля 2011 года . Проверено 4 июля 2011 года .
Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Г. (2010b). «Увеличение бесконечно малых 1 - .9 .. в посттриумвиратную эпоху». Образовательные исследования по математике . 74 (3): 259. arXiv : 1003.1501 . Bibcode : 2010arXiv1003.1501K . DOI : 10.1007 / s10649-010-9239-4 . S2CID 115168622 .
Кемпнер, AJ (декабрь 1936 г.). «Анормальные системы счисления». Американский математический ежемесячник . 43 (10): 610–617. DOI : 10.2307 / 2300532 . JSTOR 2300532 .
Коморник, Вилмос; Лорети, Паола (1998). «Уникальные разработки в нецелочисленных основаниях». Американский математический ежемесячник . 105 (7): 636–639. DOI : 10.2307 / 2589246 . JSTOR 2589246 .
Ливитт, WG (1967). «Теорема о повторяющихся десятичных числах» . Американский математический ежемесячник . 74 (6): 669–673. DOI : 10.2307 / 2314251 . JSTOR 2314251 .
Ливитт, WG (сентябрь 1984 г.). «Повторяющиеся десятичные дроби». Журнал математики колледжа . 15 (4): 299–308. DOI : 10.2307 / 2686394 . JSTOR 2686394 .
Лайтстоун, АХ (март 1972 г.). «Бесконечно малые». Американский математический ежемесячник . 79 (3): 242–251. DOI : 10.2307 / 2316619 . JSTOR 2316619 .
Манкевич, Ричард (2000). История математики . Кассел. ISBN 978-0-304-35473-3.
Манкевич стремится представить «историю математики в доступном стиле», сочетая визуальные и качественные аспекты математики, сочинения математиков и исторические очерки. (стр.8)
Маор, Эли (1987). До бесконечности и за ее пределы: бесконечная культурная история . Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-3325-6.
Эта книга является скорее актуальным, чем хронологическим обзором бесконечности, «предназначена для широкого читателя», но «рассказана с точки зрения математика». Относительно дилеммы строгости и удобочитаемого языка Маор комментирует: «Я надеюсь, что мне удалось должным образом решить эту проблему». (стр. x-xiii)
Мазур, Джозеф (2005). Евклид в тропическом лесу: открытие универсальных истин в логике и математике . Пирсон: Pi Press. ISBN 978-0-13-147994-4.
Мункрес, Джеймс Р. (2000) [1975]. Топология (2е изд.). Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-181629-9.
Предназначено как введение «на уровне старших курсов или выпускников первого года обучения» без формальных предпосылок: «Я даже не предполагаю, что читатель хорошо разбирается в теории множеств». (стр. xi) Трактовка Мункреса реальности аксиоматична; Он утверждает, что конструкции голыми руками: «Такой подход к предмету требует много времени и усилий и представляет больший логический, чем математический интерес». (стр.30)
Нуньес, Рафаэль (2006). «Действительно ли действительные числа движутся? Язык, мысль и жесты: воплощенные когнитивные основы математики» . 18 нетрадиционных эссе по природе математики . Springer. С. 160–181. ISBN 978-0-387-25717-4. Архивировано из оригинала 18 июля 2011 года . Проверено 4 июля 2011 года .
Педрик, Джордж (1994). Первый курс анализа . Springer. ISBN 978-0-387-94108-0.
Перессини, Энтони; Перессини, Доминик (2007). «Философия математики и математического образования». В ван Керхове, Барт; ван Бендегем, Жан Поль (ред.). Перспективы математических практик . Логика, эпистемология и единство науки. 5 . Springer. ISBN 978-1-4020-5033-6.
Петковшек, Марко (май 1990 г.). «Двусмысленные числа плотные». Американский математический ежемесячник . 97 (5): 408–411. DOI : 10.2307 / 2324393 . JSTOR 2324393 .
Пинто, Марсия; Высокий, Дэвид (2001). PME25: Следит за развитием студентов в традиционном университетском курсе анализа (PDF) . С. v4: 57–64. Архивировано из оригинального (PDF) 30 мая 2009 года . Проверено 3 мая 2009 года .
Проттер, MH ; Морри младший, Чарльз Б. (1991). Первый курс реального анализа (2е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-97437-8.
Эта книга призвана «представить теоретические основы анализа, подходящие для студентов, закончивших стандартный курс математического анализа». (стр. vii) В конце главы 2 авторы предполагают в качестве аксиомы для действительных чисел, что ограниченные неубывающие последовательности сходятся, позже доказывая теорему о вложенных интервалах и свойство наименьшей верхней границы. (стр. 56–64) Десятичные разложения приведены в Приложении 3, «Разложения действительных чисел по любому основанию». (стр. 503–507)
Пью, Чарльз Чепмен (2001). Настоящий математический анализ . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95297-0.
Предполагая, что он знаком с рациональными числами, Пью как можно скорее вводит дедекиндовские сокращения , говоря об аксиоматической трактовке: «Это что-то вроде мошенничества, учитывая, что вся структура анализа построена на реальной системе счисления». (стр. 10) После доказательства свойства наименьшей верхней границы и некоторых смежных фактов сокращения не используются в остальной части книги.
Рентельн, Пол; Дандес, Алан (январь 2005 г.). "Защита от дурака: образец математического народного юмора" (PDF) . Уведомления AMS . 52 (1): 24–34. Архивировано из оригинального (PDF) 25 февраля 2009 года . Проверено 3 мая 2009 года .
Ричман, Фред (декабрь 1999). «0,999 ... = 1?». Математический журнал . 72 (5): 396–400. DOI : 10.2307 / 2690798 . JSTOR 2690798 .Бесплатный препринт HTML: Ричман, Фред (июнь 1999 г.). "0,999 ... = 1?" . Архивировано из оригинального 2 -го сентября 2006 года . Проверено 23 августа 2006 года . Примечание: статья журнала содержит материал и формулировки, которых нет в препринте.
Робинсон, Авраам (1996). Нестандартный анализ (доработка). Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-04490-3.
Розенлихт, Максвелл (1985). Введение в анализ . Дувр. ISBN 978-0-486-65038-8.Эта книга дает «тщательное и строгое» введение в реальный анализ. Он дает аксиомы действительных чисел, а затем конструирует их (стр. 27–31) как бесконечные десятичные дроби с 0,999 ... = 1 как часть определения.
Рудин, Вальтер (1976) [1953]. Принципы математического анализа (3е изд.). Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054235-8.
Учебник для продвинутого бакалавриата. "Опыт убедил меня в том, что с педагогической точки зрения неразумно (хотя и логически правильно) начинать с построения действительных чисел из рациональных. Вначале большинство студентов просто не осознают необходимость этого. Соответственно, настоящие Система счисления представлена как упорядоченное поле со свойством наименьшей верхней границы, и несколько интересных приложений этого свойства быстро сделаны. Однако конструкция Дедекинда не опускается. Теперь она находится в Приложении к Главе 1, где может быть изученным и получать удовольствие, когда придет время ». (стр. ix)
Шредер-Фрешетт, Морис (март 1978). «Дополнительные рациональные числа». Математический журнал . 51 (2): 90–98. DOI : 10.2307 / 2690144 . JSTOR 2690144 .
Смит, Чарльз; Харрингтон, Чарльз (1895). Арифметика для школ . Макмиллан. п. 115 . ISBN 978-0-665-54808-6. Проверено 4 июля 2011 года .
Сохраб, Хушанг (2003). Базовый реальный анализ . Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4211-2.
Старберд, М .; Старберд, Т. (март 1992 г.). «Требуемая избыточность в представлении реальных объектов» . Труды Американского математического общества . 114 (3): 769–774. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1992-1086343-5 . JSTOR 2159403 .
Стюарт, Ян (1977). Основы математики . Оксфорд UP. ISBN 978-0-19-853165-4.
Стюарт, Ян (2009). Клад математических сокровищ профессора Стюарта . Профильные книги. ISBN 978-1-84668-292-6.
Стюарт, Джеймс (1999). Исчисление: Ранние трансцендентальные (4-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 978-0-534-36298-0.
Эта книга призвана «помочь студентам в открытии математического анализа» и «способствовать концептуальному пониманию». (стр. v) Он опускает доказательства основ исчисления.
Стиллвелл, Джон (1994), Элементы алгебры: геометрия, числа, уравнения , Springer
Высокий, Дэвид ; Шварценбергер, RLE (1978). «Конфликты при изучении действительных чисел и пределов» (PDF) . Обучение математике . 82 : 44–49. Архивировано из оригинального (PDF) 30 мая 2009 года . Проверено 3 мая 2009 года .
Высокий, Дэвид (1977). «Конфликты и катастрофы в изучении математики» (PDF) . Математическое образование для преподавания . 2 (4): 2–18. Архивировано из оригинального (PDF) 26 марта 2009 года . Проверено 3 мая 2009 года .
Высокий, Дэвид (2000). «Когнитивное развитие в высшей математике с использованием технологий» (PDF) . Журнал исследований математического образования . 12 (3): 210–230. Bibcode : 2000MEdRJ..12..196T . DOI : 10.1007 / BF03217085 . S2CID 143438975 . Архивировано из оригинального (PDF) 30 мая 2009 года . Проверено 3 мая 2009 года .
фон Мангольдт, доктор Ганс (1911). «Рейхенцахлен». Einführung in die höhere Mathematik (на немецком языке) (1-е изд.). Лейпциг: Verlag von S. Hirzel.
Уоллес, Дэвид Фостер (2003). Все и даже больше: компактная история бесконечности . Нортон. ISBN 978-0-393-00338-3.

дальнейшее чтение

Бурков, С.Е. (1987). «Одномерная модель квазикристаллического сплава». Журнал статистической физики . 47 (3/4): 409–438. Bibcode : 1987JSP .... 47..409B . DOI : 10.1007 / BF01007518 . S2CID 120281766 .
Берн, Боб (март 1997 г.). «81.15 Конфликт». Математический вестник . 81 (490): 109–112. DOI : 10.2307 / 3618786 . JSTOR 3618786 .
Calvert, JB; Таттл, ER; Мартин, Майкл С .; Уоррен, Питер (февраль 1981). «Эпоха Ньютона: интенсивный междисциплинарный курс». Учитель истории . 14 (2): 167–190. DOI : 10.2307 / 493261 . JSTOR 493261 .
Чой, Ёнджи; До, Джонхун (ноябрь 2005 г.). «Равенство в 0,999 ... и (-8) 1/3». Для изучения математики . 25 (3): 13–15, 36. JSTOR 40248503 .
Чунг, штат Кентукки; Дайкин, ДЕ; Рэтбоун, CR (апрель 1971 г.). «Рациональные приближения к π». Математика вычислений . 25 (114): 387–392. DOI : 10.2307 / 2004936 . JSTOR 2004936 .
Эдвардс, Б. (1997). «Понимание студентом и использование математических определений в реальном анализе». В Dossey, J .; Swafford, JO; Parmentier, M .; Досси, AE (ред.). Материалы 19-го ежегодного собрания Североамериканского отделения Международной группы психологии математического образования . 1 . Колумбус, Огайо: Информационный центр ERIC по естествознанию, математике и экологическому образованию. С. 17–22.
Эйзенманн, Петр (2008). «Почему неверно, что 0,999 ... <1?» (PDF) . Обучение математике . 11 (1): 35–40 . Проверено 4 июля 2011 года .
Эли, Роберт (2010). «Нестандартные представления студентов о бесконечно малых». Журнал исследований в области математического образования . 41 (2): 117–146. DOI : 10,5951 / jresematheduc.41.2.0117 .
Эта статья представляет собой полевое исследование с участием студентки, которая разработала теорию бесконечно малых в стиле Лейбница, чтобы помочь ей понять исчисление, и, в частности, учесть 0,999 ... меньше единицы на бесконечно малую величину 0,000 ... 1.
Ferrini-Mundy, J .; Грэм, К. (1994). Kaput, J .; Дубинский, Э. (ред.). «Исследования в области обучения математике: понимание пределов, производных и интегралов». Примечания МАА: Проблемы исследования в области изучения математики в бакалавриате . 33 : 31–45.
Левиттес, Джозеф (2006). "Теорема Миди для периодических десятичных знаков". arXiv : math.NT / 0605182 .
Гардинер, Тони (июнь 1985 г.). «Бесконечные процессы в элементарной математике: что мы должны рассказать детям?». Математический вестник . 69 (448): 77–87. DOI : 10.2307 / 3616921 . JSTOR 3616921 .
Монаган, Джон (декабрь 1988 г.). «Настоящая математика: один из аспектов будущего A-Level». Математический вестник . 72 (462): 276–281. DOI : 10.2307 / 3619940 . JSTOR 3619940 .
Наварро, Мария Анхелес; Каррерас, Педро Перес (2010). «Сократовское методологическое предложение для изучения равенства 0,999 ... = 1» (PDF) . Обучение математике . 13 (1): 17–34 . Проверено 4 июля 2011 года .
Пржениосло, Малгожата (март 2004 г.). «Образы предела функции, сформированные в процессе математических занятий в университете». Образовательные исследования по математике . 55 (1–3): 103–132. DOI : 10,1023 / Б: EDUC.0000017667.70982.05 . S2CID 120453706 .
Сандефур, Джеймс Т. (февраль 1996 г.). «Использование самоподобия для определения длины, площади и размера». Американский математический ежемесячник . 103 (2): 107–120. DOI : 10.2307 / 2975103 . JSTOR 2975103 .
Серпинская, Анна (ноябрь 1987 г.). «Студенты-гуманитарии и гносеологические препятствия, связанные с ограничениями». Образовательные исследования по математике . 18 (4): 371–396. DOI : 10.1007 / BF00240986 . JSTOR 3482354 . S2CID 144880659 .
Шидлик, Дженнифер Эрлз (май 2000 г.). «Математические представления и концептуальное понимание предела функции». Журнал исследований в области математического образования . 31 (3): 258–276. DOI : 10.2307 / 749807 . JSTOR 749807 .
Высокий, Дэвид О. (2009). «Динамическая математика и смешение структур знаний в исчислении». ZDM математическое образование . 41 (4): 481–492. DOI : 10.1007 / s11858-009-0192-6 . S2CID 14289039 .
Высокий, Дэвид О. (май 1981). «Интуиция бесконечности». Математика в школе . 10 (3): 30–33. JSTOR 30214290 .

внешние ссылки

Послушайте эту статью ( 50 минут )

Этот аудиофайл был создан на основе редакции этой статьи от 19 октября 2006 г. и не отражает последующих правок.

Languages

In other projects