Все определения неявно требуют, чтобы однородное отношение было транзитивным : " " указывает, что свойство столбца требуется по определению термина строки (в самом левом углу). Например, определение отношения эквивалентности требует, чтобы оно было симметричным. Упомянутые здесь дополнительные свойства , что однородное отношение может удовлетворять.
Y
Бинарное отношение на любое подмножество из заданной записи , если и только если это означает , что это сокращение для Выражение читается как « связан с помощью » Бинарное отношение называется асимметричным , если для всех , если это так , то ложно; то есть, если тогда
Это можно записать в обозначениях логики первого порядка как
Пример асимметричного отношения является « меньше чем » соотношение между действительными числами : если то обязательно не меньше , чем The «меньше или равно» отношения , с другой стороны, не является асимметричным, поскольку задним ходом, например, производит и оба правда. Асимметрия - это не то же самое, что « несимметричный »: отношение «меньше или равно» является примером отношения, которое не является ни симметричным, ни асимметричным. Пустое отношение единственное отношение , которое является ( бессодержательно ) и симметричным и асимметричным.
Ограничения и преобразования асимметричных отношений также асимметричны. Например, ограничение от чисел до целых чисел по - прежнему асимметрично, а обратный из также асимметричные.
Транзитивное отношение является асимметричным , если и только если оно иррефлексивно: если и транзитивность дает противоречащие irreflexivity.
Как следствие, отношение транзитивно и асимметрично тогда и только тогда, когда оно является строгим частичным порядком .
Не все асимметричные отношения являются строгими частичными порядками. Примером асимметричного нетранзитивного , даже антитранзитивного отношения является отношение камень-ножницы, бумага : если бьет, то не бьет, а если бьет и бьет, то не бьет.
Асимметричное отношение не обязательно должно иметь свойство Connex . Например, строгое подмножество отношение является асимметричным, и ни один из наборов , и является строгим подмножеством других. Отношение является связным тогда и только тогда, когда его дополнение асимметрично.
Смотрите также
Аксиоматизация действительных чисел Тарским - отчасти это требование асимметричности вещественных чисел.