Аксиоматизация действительных чисел Тарским - Tarski's axiomatization of the reals
В 1936 году Тарский изложены в аксиоматизацию из действительных чисел и их арифметику, состоящее только из 8 аксиом , показанных ниже , и всего лишь четыре примитивных понятий : множество действительных чисел обозначается R , а двоичный общий порядок над R , обозначаемый инфиксным < , двоичная операция сложения над R , обозначаемая infix +, и константа 1.
В литературе иногда упоминается эта аксиоматизация, но никогда не приводится подробностей, несмотря на ее экономичность и элегантные метаматематические свойства. Эта аксиоматизация кажется малоизвестной, возможно, из-за ее природы второго порядка . Аксиоматизацию Тарского можно рассматривать как версию более обычного определения действительных чисел как уникального полного по Дедекинду упорядоченного поля ; однако он делается гораздо более кратким за счет использования неортодоксальных вариантов стандартных алгебраических аксиом и других тонких уловок (см., например, аксиомы 4 и 5, которые объединяют вместе обычные четыре аксиомы абелевых групп ).
Термин «аксиоматизация действительных чисел Тарским» также относится к теории вещественных замкнутых полей , которая, как показал Тарский, полностью аксиоматизирует теорию первого порядка структуры 〈 R , +, ·, <〉.
Аксиомы
Аксиомы порядка (примитивы: R , <):
- Аксиома 1
- Если x < y , то не y < x . То есть «<» - асимметричное отношение . Это означает , что «<» не рефлексивно отношения, то есть для всех х , х < х ложна.
- Аксиома 2
- Если x < z , существует y такое, что x < y и y < z . Другими словами, «<» является плотным в R .
- Аксиома 3
- «<» Дедекиндово-полный . Более формально, для всех X , Y ⊆ R , если для всех x ∈ X и y ∈ Y , x < y , то существует z такое, что для всех x ∈ X и y ∈ Y , если z ≠ x и z ≠ y , тогда x < z и z < y .
Для уточнения выше заявление несколько, пусть X ⊆ R и Y ⊆ R . Теперь мы определим два распространенных английских глагола особым образом, который соответствует нашей цели:
- X предшествует Y тогда и только тогда, когда для любого x ∈ X и любого y ∈ Y , x < y .
- Вещественное число z разделяет X и Y тогда и только тогда, когда для любого x ∈ X с x ≠ z и любого y ∈ Y с y ≠ z , x < z и z < y .
Аксиому 3 можно сформулировать так:
- «Если набор действительных чисел предшествует другому набору действительных чисел, то существует по крайней мере одно действительное число, разделяющее два набора».
Три аксиомы подразумевают, что R - линейный континуум .
Аксиомы сложения (примитивы: R , <, +):
- Аксиома 4
- х + ( у + г ) = ( х + г ) + у .
- Аксиома 5
- Для всех x , y существует z такое, что x + z = y .
- Аксиома 6
- Если x + y < z + w , то x < z или y < w .
Аксиомы для одного (примитивы: R , <, +, 1):
- Аксиома 7
- 1 ∈ R .
- Аксиома 8
- 1 <1 + 1.
Из этих аксиом следует, что R - линейно упорядоченная абелева группа относительно сложения с выделенным элементом 1. R также является дедекиндово-полной , делимой и архимедовой группой .
Тарский без доказательств заявил, что эти аксиомы полностью упорядочивают. Недостающий компонент был поставлен в 2008 году Стефани Учней.
Это аксиоматизация не приводит к теории первого порядка , так как формальное утверждение аксиомы 3 включает в себя два универсальных кванторов над всеми возможными подмножествами R . Тарский доказал, что эти 8 аксиом и 4 примитивных понятия независимы.
Как эти аксиомы подразумевают поле
Тарский набросал (нетривиальное) доказательство того, как эти аксиомы и примитивы подразумевают существование бинарной операции, называемой умножением, и обладающей ожидаемыми свойствами, так что R является полным упорядоченным полем при сложении и умножении. Это доказательство основано на целых числах с абелевой группой сложения и восходит к определению величины Евдокса .