Эндрю М. Глисон - Andrew M. Gleason

Эндрю М. Глисон
ГлисонЭндрюМаттей Берлин1959.jpg
Берлин, 1959 г.
Родился ( 1921-11-04 )4 ноября 1921 г.
Фресно, Калифорния
Умер 17 октября 2008 г. (2008-10-17)(86 лет)
Кембридж, Массачусетс
Альма-матер Йельский университет
Известен
Супруг (а)
​
​
( М.  +1959 )
Награды
Научная карьера
Поля Математика , криптография
Учреждения Гарвардский университет
Докторант Никто
Другие научные консультанты Джордж Макки
Докторанты

Эндрю Маттей Глисон (1921–2008) был американским математиком , внесшим фундаментальный вклад в самые разные области математики, включая решение пятой проблемы Гильберта , и был лидером в реформировании и нововведениях в преподавании математики на всех уровнях. Теорема Глисона в квантовой логике и граф Гринвуда – Глисона , важный пример в теории Рамсея , названы в его честь.

Будучи молодым военно-морским офицером времен Второй мировой войны, Глисон нарушил военные кодексы Германии и Японии. После войны он провел всю свою академическую карьеру в Гарвардском университете , из которого он вышел на пенсию в 1992 году. Его многочисленные академические и научные руководящие должности включали председательство в Гарвардском математическом факультете и Гарвардском обществе стипендиатов , а также президентство в Американском математическом обществе . Он продолжал консультировать правительство США по криптографической безопасности и Содружество Массачусетса по математическому образованию для детей почти до конца своей жизни.

Глисон получил премию Ньюкома Кливленда в 1952 году и премию Gung-Hu за выдающиеся заслуги Американского математического общества в 1996 году. Он был членом Национальной академии наук и Американского философского общества , а также заведовал кафедрой математики и естествознания Холлиса. Философия в Гарварде.

Он любил говорить, что математические доказательства «на самом деле не для того, чтобы убедить вас, что что-то истинно» - «они нужны, чтобы показать вам, почему это правда». В « Уведомлениях» Американского математического общества он был назван «одним из тихих гигантов математики двадцатого века, непревзойденным профессором, посвятившим себя науке, обучению и служению в равной мере».

биография

ВМС США, 1940-е годы

Глисон родился во Фресно, Калифорния , был самым младшим из троих детей; его отец Генри Глисон был ботаником и членом Общества Мэйфлауэр , а его мать была дочерью швейцарско-американского винодела Эндрю Маттеи . Его старший брат Генри-младший стал лингвистом. Он вырос в Бронксвилле, штат Нью-Йорк , где его отец был куратором нью-йоркского ботанического сада .

После непродолжительного посещения средней школы Беркли (Беркли, Калифорния) он окончил среднюю школу Рузвельта в Йонкерсе, выиграв стипендию Йельского университета . Хотя математическое образование Глисона дошло до исчисления-самоучки, математик из Йельского университета Уильям Рэймонд Лонгли убедил его попробовать курс механики, обычно предназначенный для юниоров.

Итак, я выучил математику на первом году обучения и на втором году обучения и стал консультантом одного конца всего Старого кампуса ... Я выполнял все домашние задания по всем разделам [исчисления первого года]. У меня было много практики в решении элементарных задач по исчислению. Я не думаю, что существует проблема - «классическая задача о псевдореальности, которую дают студентам первого и второго курсов» - которую я не видел.

Через месяц он записался на курс дифференциальных уравнений («в основном полный пожилых людей»). Когда Эйнар Хилле временно заменил обычного инструктора, Глисон обнаружил, что стиль Хилле «невероятно отличается ... У него был совершенно другой взгляд на математику ... Это был очень важный опыт для меня. курсы от Хилле », включая, на втором курсе, реальный анализ для выпускников. «Начав с этого курса с Хилле, я начал понимать, что такое математика».

Находясь в Йельском университете, он трижды (1940, 1941 и 1942 гг.) Участвовал в недавно основанном математическом конкурсе Уильяма Лоуэлла Патнэма , всегда входя в пятерку лучших абитуриентов страны (что делало его вторым трехкратным стипендиатом Патнэма ).

После того, как японцы напали на Перл-Харбор во время его последнего года обучения, Глисон подал заявление на поступление в ВМС США и по окончании учебы присоединился к команде, работавшей над взломом японских военно-морских кодексов . (В эту команду также входили его будущий соратник Роберт Гринвуд и профессор Йельского университета Маршалл Холл младший ). Он также сотрудничал с британскими исследователями, атакующими немецкий шифр Enigma ; Алан Тьюринг , который провел много времени с Глисоном во время визита в Вашингтон, назвал его «блестящим молодым математиком-выпускником Йельского университета» в отчете о своем визите.

С Жаном Берко , 1958 год.

В 1946 году по рекомендации коллеги из ВМФ Дональда Ховарда Мензела Глисон был назначен младшим научным сотрудником Гарварда. Первой целью программы молодых стипендиатов было позволить молодым ученым, демонстрирующим необычайные перспективы, обойти длительный процесс получения докторской степени; четыре года спустя Гарвард назначил Глисона доцентом математики, хотя его почти сразу же отозвали в Вашингтон для работы по криптографии, связанной с Корейской войной . Он вернулся в Гарвард осенью 1952 г. и вскоре после этого опубликовал наиболее важные из своих результатов по пятой проблеме Гильберта (см. Ниже ). На следующий год Гарвард присвоил ему должность .

В январе 1959 года он женился на Джин Берко, с которой познакомился на вечеринке, посвященной музыке Тома Лерера . Берко, психолингвист , много лет проработал в Бостонском университете . У них было три дочери.

В 1969 году Глисон занял кафедру математики и естественной философии Холлиса . Основанная в 1727 году, это старейшая профессорская профессура в США. Он ушел из Гарварда в 1992 году, но продолжал работать в Гарварде (например, в качестве председателя Общества стипендиатов ) и в математике: в частности, продвигал Гарвардский проект по реформе математического анализа и работал с Советом по образованию Массачусетса .

Он умер в 2008 году от осложнений после операции.

Реформа преподавания и образования

Австралия, 1988 г.

Глисон сказал, что ему «всегда нравилось помогать другим людям с математикой» - коллега сказал, что он «считал преподавание математики -« как заниматься математикой »- как важным и по-настоящему забавным». В четырнадцать лет, во время своего непродолжительного посещения средней школы Беркли, он обнаружил, что ему не только скучно заниматься геометрией первого семестра, но и он помогал другим студентам с домашними заданиями, включая тех, кто проходил вторую половину курса, который он вскоре начал одитировать.

В Гарварде он «регулярно преподавал на всех уровнях», включая обременительные с административной точки зрения многопрофильные курсы. Один класс подарил Глисону фотографию матери и ребенка Пикассо в рамке в знак признания его заботы о них.

В 1964 году он создал «первый из« мостовых »курсов, теперь повсеместно распространенных для математических специальностей, всего на двадцать лет раньше своего времени». Такой курс предназначен для обучения новых учеников, привыкших заучивать математику в средней школе, абстрактному мышлению и построению математических доказательств. Эти усилия привели к публикации его « Основ абстрактного анализа» , один из которых написал:

Это самая необычная книга ... Каждый работающий математик, конечно, знает разницу между безжизненной цепочкой формализованных предположений и "чувством", которое испытывает (или пытается получить) математическая теория, и, вероятно, согласится с тем, что помощь студенту достижение этого взгляда «изнутри» - конечная цель математического образования; но обычно он отказывается от любых попыток добиться успеха, кроме как посредством устного обучения. Оригинальность автора состоит в том, что он попытался достичь этой цели в учебнике, и, по мнению рецензента, он замечательно преуспел в этой почти невыполнимой задаче. Большинство читателей, вероятно, будут счастливы (как и рецензент), найдя страницу за страницей кропотливые обсуждения и объяснения стандартных математических и логических процедур, всегда написанные в наиболее удачном стиле, который не щадит усилий для достижения максимальной ясности и без ошибок. в пошлость, которая так часто мешает подобным попыткам.

Sphinx , 2001

Но «талант Глисона к изложению» не всегда означал, что читатель станет просветленным без его собственных усилий. Даже в меморандуме военного времени о чрезвычайно важной расшифровке немецкого шифра Enigma Глисон и его коллеги писали:

Читатель может задаться вопросом, почему так много осталось читателю. Книгу о плавательных движениях приятно читать, но нужно практиковать гребки, находясь на самом деле в воде, прежде чем претендовать на звание пловца. Поэтому, если читатель желает действительно обладать знаниями для восстановления проводки из глубины , позвольте читателю взять свою бумагу и карандаши, используя, возможно, четыре цвета, чтобы избежать путаницы в соединительных звеньях, и приступайте к работе.

Его заметки и упражнения по вероятности и статистике, составленные для его лекций для коллег по взлому кодов во время войны (см. Ниже ), использовались при обучении Агентства национальной безопасности в течение нескольких десятилетий; они были опубликованы открыто в 1985 году.

В статье Science 1964 года Глисон писал об очевидном парадоксе, возникающем при попытках объяснить математику нематематикам:

Общеизвестно, что трудно передать должное впечатление о границах математики неспециалистам. В конечном итоге трудность связана с тем, что математика - более легкий предмет, чем другие науки. Следовательно, многие важные первичные проблемы предмета - «то есть проблемы, которые могут быть поняты умным сторонним наблюдателем» - либо решены, либо доведены до такой степени, что явно требуется косвенный подход. Большая часть чистых математических исследований связана с проблемами вторичного, третичного или более высокого порядка, саму постановку которых вряд ли можно понять, пока кто-то не овладеет большой частью технической математики.

«С неизбежным планшетом под мышкой», 1989 г.

Глисон входил в группу по изучению школьной математики , которая помогла определить новую математику 1960-х годов - «амбициозные изменения в преподавании математики в начальной и средней школе в США, в которых особое внимание уделялось пониманию концепций, а не механическим алгоритмам». Глисон «всегда интересовался, как люди учатся»; В рамках программы «Новая математика» он большую часть утра в течение нескольких месяцев проводил со второклассниками. Несколько лет спустя он выступил с докладом, в котором описал свою цель как:

чтобы узнать, что они могут выяснить для себя при соответствующих действиях и правильном руководстве. В конце его выступления кто-то спросил Энди, беспокоился ли он когда-нибудь о том, что преподавание математики маленьких детей - это не то, как преподаватели исследовательских институтов должны проводить свое время. [Его] быстрый и решительный ответ: «Нет, я совсем не думал об этом. У меня был мяч!»

В 1986 году он помог основать Консорциум исчисления , который опубликовал успешную и влиятельную серию учебников по «реформе математического анализа» для колледжей и старших классов по предварительному исчислению, исчислению и другим областям. Его «кредо этой программы, как и всего его учения, заключалось в том, что идеи должны быть основаны на равных частях геометрии для визуализации концепций, вычислений для обоснования в реальном мире и алгебраических манипуляций для власти». Однако программа столкнулась с резкой критикой со стороны математического сообщества за пропуск таких тем, как теорема о среднем значении , и за кажущуюся нехватку математической строгости.

Криптоанализ работа

Отчет (1945) Глисона и его коллег о немецкой загадке . «Восстановление проводки с глубины может быть очень интересной задачей. Пусть читатель окружит себя приятными условиями работы и попробует».

Во время Второй мировой войны Глисон был частью OP-20-G , группы радиоэлектронной разведки и криптоанализа ВМС США . Одной из задач этой группы в сотрудничестве с британскими криптографами из Блетчли-Парка, такими как Алан Тьюринг , было проникновение в немецкие сети машинной связи Enigma . Британцы добились большого успеха с двумя из этих сетей, но третья, использовавшаяся для германо-японской военно-морской координации, осталась неразрывной из-за ошибочного предположения, что она использовала упрощенную версию Enigma. После того, как Маршалл Холл из OP-20-G заметил, что в некоторых метаданных при передаче из Берлина в Токио используются наборы букв, не совпадающие с теми, которые используются в метаданных из Токио в Берлин, Глисон предположил, что соответствующие незашифрованные наборы букв были AM (в одном направлении) и NZ (в другом) затем разработал новые статистические тесты, с помощью которых он подтвердил эту гипотезу. Результатом стала обычная дешифровка этой третьей сети к 1944 году. (Эта работа также включала более глубокую математику, связанную с группами перестановок и проблемой изоморфизма графов .)

OP-20-G затем обратился к шифру «Коралл» ВМС Японии. Ключевым инструментом для атаки на Корал был «костыль Глисона», форма ограничения Чернова на хвостовых распределениях сумм независимых случайных величин. Секретная работа Глисона над этим переплетом предшествовала работе Чернова на десять лет.

Ближе к концу войны он сосредоточился на документировании работы OP-20-G и разработке систем для обучения новых криптографов.

В 1950 году Глисон вернулся на действительную военную службу во время Корейской войны , работая лейтенант-командиром в комплексе Небраска-авеню (который намного позже стал домом для отдела кибербезопасности DHS ). Его криптографические работы этого периода остаются засекреченными, но известно, что он нанимал математиков и обучал их криптоанализу. Он работал в консультативных советах Агентства национальной безопасности и Института оборонного анализа , и он продолжал набирать и консультировать военных по криптоанализу почти до конца своей жизни.

Математические исследования

Глисон внес фундаментальный вклад в самые разные области математики, включая теорию групп Ли , квантовую механику и комбинаторику . Согласно известной классификации математиков Фрименом Дайсоном как птиц или лягушек, Глисон был лягушкой: он работал как решатель проблем, а не как провидец, формулирующий великие теории.

Пятая проблема Гильберта

Запись в журнале (1949 г.): «10 июля. Сегодня утром мы развесили стирку, и Чарльз вымыл машину. Я немного поработал с пятым Гильбертом».

В 1900 году Дэвид Гильберт поставил 23 задачи, которые, по его мнению, станут центральными в математических исследованиях следующего столетия. Пятая проблема Гильберта касается характеризации из групп Ли их действия на топологических пространствах : в какой степени их топологии обеспечивают достаточную информацию для определения их геометрии?

«Ограниченная» версия пятой проблемы Гильберта (решенная Глисоном) спрашивает, более конкретно, каждая ли локально евклидова топологическая группа является группой Ли. То есть, если группа G имеет структуру топологического многообразия , можно ли усилить эту структуру до реальной аналитической структуры , чтобы в любой окрестности элемента группы G групповой закон определялся сходящимся степенным рядом, и поэтому что перекрывающиеся окрестности имеют совместимые определения степенного ряда? До работы Глисона частные случаи проблемы были решены Луитценом Эгбертусом, Ян Брауэр , Джоном фон Нейманом , Львом Понтрягиным и Гарретом Биркгофом , среди других.

Со своим наставником Джорджем Макки на 80-летнем юбилее Элис Макки (2000).

Интерес Глисона к пятой задаче возник в конце 1940-х годов, вызванный курсом, который он взял у Джорджа Макки . В 1949 году он опубликовал статью, в которой ввел свойство «немалых подгрупп» групп Ли (существование окрестности единицы, внутри которой не существует нетривиальной подгруппы), которая в конечном итоге будет иметь решающее значение для ее решения. Его статья 1952 года по этому вопросу вместе с статьей, опубликованной одновременно Дином Монтгомери и Лео Зиппином , утвердительно решает ограниченную версию пятой проблемы Гильберта, показывая, что действительно каждая локально евклидова группа является группой Ли. Вклад Глисона состоял в том, чтобы доказать, что это верно, когда G обладает свойством отсутствия малых подгрупп; Монтгомери и Зиппин показали, что каждая локально евклидова группа обладает этим свойством. Как рассказал Глисон, ключ понимание его доказательства было применить тот факт , что монотонные функции являются дифференцируемы почти всюду . Найдя решение, он взял недельный отпуск, чтобы написать его, и оно было напечатано в Annals of Mathematics вместе со статьей Монтгомери и Циппина; в другой статье, написанной годом позже Хидехико Ямабе, из доказательства Глисона были удалены некоторые технические побочные условия.

«Неограниченная» версия пятой проблемы Гильберта, более близкая к исходной формулировке Гильберта, рассматривает как локально евклидову группу G, так и другое многообразие M, на котором G имеет непрерывное действие. Гильберт спросил, можно ли в этом случае дать M и действию G реальную аналитическую структуру. Было быстро осознано, что ответ был отрицательным, после чего внимание сконцентрировалось на ограниченной проблеме. Однако с некоторыми дополнительными предположениями о гладкости G и M , возможно, еще удастся доказать существование вещественной аналитической структуры на групповом действии. Гипотеза Гильберта – Смита , до сих пор не решенная, заключает в себе оставшиеся трудности этого случая.

Квантовая механика

С семейным котом Фредом около 1966 г.
Основная статья: теорема Глисона

В Born правило гласит , что наблюдаемое свойство квантовой системы определяются эрмитова оператором на сепарабельном гильбертовом пространстве , что только наблюдаемые значения свойств являются собственными значениями оператора, а также о том , что вероятность системы наблюдаются в а конкретное собственное значение - это квадрат модуля комплексного числа, полученного путем проецирования вектора состояния (точки в гильбертовом пространстве) на соответствующий собственный вектор. Джордж Макки спросил, является ли правило Борна необходимым следствием определенного набора аксиом квантовой механики, и, более конкретно, может ли каждая мера на решетке проекций гильбертова пространства быть определена положительным оператором с единичным следом . Хотя Ричард Кадисон доказал, что это неверно для двумерных гильбертовых пространств, теорема Глисона (опубликованная в 1957 г.) показывает, что это верно для более высоких измерений.

Теорема Глисона подразумевает отсутствие определенных типов теорий скрытых переменных для квантовой механики, усиливая предыдущий аргумент Джона фон Неймана . Фон Нейман утверждал, что показал невозможность теорий скрытых переменных, но (как указала Грете Герман ) его демонстрация сделала предположение, что квантовые системы подчиняются некоторой форме аддитивности ожидания для некоммутирующих операторов, которая может не выполняться априори. В 1966 году Джон Стюарт Белл показал, что теорему Глисона можно использовать для удаления этого дополнительного предположения из аргумента фон Неймана.

Теория Рамсея

Граф Гринвуда – Глисона

Число Рамсея R ( k , l ) - это наименьшее число r такое, что каждый граф с не менее чем r вершинами содержит либо k- вершинную клику, либо независимое от l -вершинного набора множество . Числа Рамсея требуют огромных усилий для вычисления; когда max ( k , l ) ≥ 3 точно известно лишь конечное число из них, и точное вычисление R (6,6) считается недостижимым. В 1953 г. расчет R (3,3) был задан как вопрос на конкурсе Патнэма ; в 1955 году, мотивированные этой проблемой, Глисон и его соавтор Роберт Э. Гринвуд добились значительного прогресса в вычислении чисел Рамсея, доказав, что R (3,4) = 9, R (3,5) = 14 и R (4,4) = 18. С тех пор было найдено только пять таких значений. В той же статье 1955 года Гринвуд и Глисон также вычислили многоцветное число Рамсея R (3,3,3): наименьшее число r такое, что если полный граф на r вершинах имеет края, раскрашенные в три цвета, то он обязательно содержит монохромный треугольник. Как они показали, R (3,3,3) = 17; это остается единственным нетривиальным многоцветным числом Рамсея, точное значение которого известно. В рамках своего доказательства они использовали алгебраическую конструкцию, чтобы показать, что полный граф с 16 вершинами может быть разложен на три непересекающиеся копии 5-регулярного графа без треугольников с 16 вершинами и 40 ребрами (иногда называемый графом Гринвуда – Глисона. ).

Рональд Грэм пишет, что статья Гринвуда и Глисона «теперь признана классикой в ​​развитии теории Рэмси». В конце 1960 - х лет, Глисон стал докторским советником по Joel Спенсера , который также стал известен за его вклад в теорию Рамсея.

Теория кодирования

Со своим братом, лингвистом Генри Алланом Глисоном-младшим , в Торонто, 1969 г.

Глисон опубликовал несколько работ по теории кодирования , но они были влиятельными и включали «многие из основополагающих идей и ранних результатов» в алгебраической теории кодирования. В 1950-х и 1960-х годах он посещал ежемесячные встречи по теории кодирования с Верой Плесс и другими в Исследовательской лаборатории ВВС Кембриджа. Плесс, который ранее работал в области абстрактной алгебры, но за это время стал одним из ведущих мировых экспертов по теории кодирования, пишет, что «эти ежемесячные встречи были тем, ради чего я жил». Она часто задавала Глисону свои математические задачи и часто была вознаграждена быстрым и проницательным ответом.

Теорема Глисона – Прейнджа названа в честь работы Глисона с исследователем AFCRL Юджином Прейнджем ; он был первоначально опубликован в отчете об исследовании AFCRL 1964 г. Х. Ф. Мэттсоном-младшим и Э. Ф. Ассмусом-младшим. Он касается квадратичного кода остатка порядка n , расширенного путем добавления одного бита проверки на четность. Эта «замечательная теорема» показывает, что этот код очень симметричен, имея проективную линейную группу PSL 2 ( n ) в качестве подгруппы своих симметрий.

Глисона является тезкой полиномов Gleason, система многочленов , которые генерируют вес перечислители из линейных кодов . Эти многочлены принимают особенно простую форму для самодуальных кодов : в данном случае их всего два, два двумерных многочлена x 2  +  y 2 и x 8  + 14 x 2 y 2  +  y 8 . Ученица Глисона Джесси Мак-Вильямс продолжила работу Глисона в этой области, доказав связь между весовыми счетчиками кодов и их двойниками, которая стала известна как личность Мак-Вильямса .

В этой области он также проделал новаторскую работу в экспериментальной математике , выполнив компьютерные эксперименты в 1960 году. В этой работе изучалось среднее расстояние до кодового слова для кода, связанного с игрой с переключением Берлекампа .

Другие области

Глисон основал теорию алгебр Дирихля , и сделал другие математические взносы , включая работу по конечной геометрии и на перечислительную комбинаторику из перестановок . (В 1959 году он написал, что его исследования "побочные" включали "интенсивный интерес к комбинаторным задачам".) Кроме того, он был не против публикации исследований в более элементарной математике, таких как вывод множества многоугольников, которые могут быть построены с помощью циркуль, линейка и трисектор угла .

Награды и отличия

В форме военно-морского резерва, 1960-е.

В 1952 Глисон был награжден Американской ассоциации содействия развитию науки «ы Ньюкомб Кливленда премии за свою работу над пятой проблемы Гильберта . Он был избран членом Национальной академии наук и Американского философского общества , был членом Американской академии искусств и наук и принадлежал к Société Mathématique de France .

В 1981 и 1982 годах он был президентом Американского математического общества и в разное время занимал множество других должностей в профессиональных и научных организациях, в том числе председательствовал на математическом факультете Гарварда. В 1986 году он возглавлял оргкомитет Международного конгресса математиков в Беркли, Калифорния , и был президентом Конгресса.

В 1996 году Гарвардское общество стипендиатов провело специальный симпозиум, посвященный Глисону в связи с его выходом на пенсию после семи лет работы в качестве его председателя; В том же году Американская математическая ассоциация наградила его премией Юэ-Гин Гунг и доктора Чарльза Ю. Ху за выдающиеся заслуги перед математикой . Бывший президент ассоциации писал:

Когда вы думаете о карьере Энди Глисона и восхищаетесь ею, ваша естественная ссылка - это общая профессия математика: разработка и преподавание курсов, консультирование по вопросам образования на всех уровнях, проведение исследований, консультирование пользователей математики, деятельность в качестве лидера математического сообщества. профессия, развитие математических способностей и служение своему учебному заведению. Энди Глисон - тот редкий человек, который сделал все это великолепно.

После его смерти 32-страничный сборник эссе в « Извещениях Американского математического общества» вспоминал «жизнь и деятельность [этого] выдающегося американского математика», называя его «одним из тихих гигантов математики двадцатого века, непревзойденным профессором. посвящен стипендии, обучению и служению в равной мере ».

Избранные публикации

Научно-исследовательские работы
Книги
  • Глисон, Эндрю М. (1966), Основы абстрактного анализа , издательство Addison-Wesley Publishing Co., Рединг, Массачусетс-Лондон-Дон-Миллс, Онтарио, MR  0202509. Исправленная перепечатка, Бостон: Джонс и Бартлетт, 1991, MR 1140189 .
  • ——; Гринвуд, Роберт Э .; Келли, Лерой Милтон (1980), Математический конкурс Уильяма Лоуэлла Патнэма: проблемы и решения 1938–1964 , Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-462-4, MR  0588757.
  • ——; Пенни, Уолтер Ф .; Уиллис, Рональд Э. (1985), Элементарный курс вероятности для криптоаналитика , Лагуна-Хиллз, Калифорния: Aegean Park Press. Несекретное переиздание книги, первоначально опубликованной в 1957 году Агентством национальной безопасности, Управлением исследований и разработок, Отделом математических исследований.
  • ——; Хьюз-Халлетт, Дебора (1994), Calculus , Wiley. Со времени первых публикаций эта книга была расширена до множества различных изданий и вариаций с дополнительными соавторами.
Фильм
  • Глисон, Эндрю М. (1966), Ним и другие игры с ориентированным графом , Математическая ассоциация Америки. 63 минуты, черно-белое. Продюсер Ричард Дж. Лонг, режиссер Аллан Хиндерштейн.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки