Полупростой модуль - Semisimple module

В математике , особенно в области абстрактной алгебры, известной как теория модулей , полупростой модуль или полностью сводимый модуль - это тип модуля, который можно легко понять по его частям. Кольцо , который является модулем над полупростом сам по себе известен как артиновое полупростым кольцо . Некоторые важные кольца, такие как групповые кольца из конечных групп над полями характеристикой нуля, являются полупростыми кольцами. Артиново кольцо первоначально понял через его крупнейшего полупростом фактор. Структура артиновых полупростых колец хорошо понятна теоремами Артин-Веддербарно , который проявляет эти кольца в качестве конечных прямых произведений из матричных колец .

Для теоретико-группового аналога того же понятия см. Полупростое представление .

Определение

Модуль над (не обязательно коммутативным) кольцом называется полупростой (или вполне приводимым ) , если оно является прямой суммой из простых (неприводимых) подмодулей.

Для модуля M следующие условия эквивалентны:

1. М - полупростой; т. е. прямая сумма неприводимых модулей.
2. M - сумма его неприводимых подмодулей.
3. Каждый подмодуль М является прямым слагаемым : для каждого подмодуль N из M , есть дополнение P такая , что M = N ⊕ P .

Для доказательства эквивалентности см. Полупростое представление § Эквивалентные характеризации .

Самый простой пример полупростого модуля - это модуль над полем, т. Е. Векторное пространство . С другой стороны, кольцо Z целых чисел не является полупростым модулем над собой, поскольку подмодуль 2 Z не является прямым слагаемым.

Полупростой сильнее , чем вполне разложит , которая является прямой суммой из неразложимых подмодулей .

Пусть алгебра над полем K . Тогда левый модуль М над А называется абсолютно полупрост , если для любого расширения поля F из K , F ⊗ _K M -полупростая модуль над F ⊗ _K A .

Характеристики

• Если М полупроста и N является подмодулем , то N и М / Н также полупросто.
• Произвольная прямая сумма полупростых модулей полупроста.
• Модуль М является конечно порожденным и полупроста тогда и только тогда , когда это артины и его радикал равен нуль.

Кольца эндоморфизмов

• Полупростая модуль М над кольцом R также можно рассматривать как кольцевой гомоморфизм из R в кольцо абелевых групп эндоморфизмов из М . Образ этого гомоморфизма - полупримитивное кольцо , и каждое полупримитивное кольцо изоморфно такому образу.
• Кольцо эндоморфизмов полупростого модуля является не только полупросто, но и фон Нейман регулярно , ( Lam 2001 , стр. 62).

Полупростые кольца

Кольцо называется (слева) - полупростым, если оно полупросто как левый модуль над собой. Удивительно, но полупростое слева кольцо также полупросто справа, и наоборот. Следовательно, различие между левыми и правыми не является необходимым, и можно говорить о полупростых кольцах без двусмысленности.

Полупростое кольцо можно охарактеризовать в терминах гомологической алгебры: а именно, кольцо R полупросто тогда и только тогда, когда любая короткая точная последовательность левых (или правых) R -модулей расщепляется. Это короткая точная последовательность

${\ displaystyle 0 \ to A \ xrightarrow {f} B \ xrightarrow {g} C \ to 0}$

существует s  : C → B такое, что композиция g ∘ s  : C → C тождественна. Карта s называется разделом. Отсюда следует, что

${\ Displaystyle B \ cong A \ oplus C}$

или более точно

${\ Displaystyle В \ конг е (А) \ oplus s (С)}$

В частности, любой модуль над полупростым кольцом инъективен и проективен . Поскольку «проективное» влечет «плоское», полупростое кольцо является регулярным кольцом фон Неймана .

Полупростые кольца представляют особый интерес для алгебраистов. Например, если базовое кольцо R полупросто, то все R -модули автоматически будут полупростыми. Кроме того, всякий простой (левый) R -модуль изоморфен минимальному левому идеалу в R , т. Е. R - левое кольцо Каша .

Полупростые кольца одновременно артиновы и нётеровы . Из перечисленных свойств кольцо полупросто тогда и только тогда, когда оно артиново и его радикал Джекобсона равен нулю.

Если артиново полупростое кольцо содержит поле в качестве центрального подкольца , оно называется полупростой алгеброй .

Примеры

• Коммутативное полупростое кольцо - это конечное прямое произведение полей. Коммутативное кольцо полупросто тогда и только тогда, когда оно артиново и приведено .
• Если К является поле и G является конечной группой порядка п , то групповое кольцо К [ С ] полупроста тогда и только тогда , когда характеристика из K не делит п . Это теорема Машке , важный результат в теории представлений групп .
• По теореме Артина – Веддерберна артиново кольцо с единицей R полупросто тогда и только тогда, когда оно (изоморфно) M _{n 1} ( D ₁ ) × M _{n 2} ( D ₂ ) × ... × M _{n r} ( D _r ) , где каждый D _я это деление кольцо , и каждый п _я являюсь положительным целым числом, и М _н ( Д ) обозначают кольцо п матрицы с размерностью п матрицы с элементами из D .
• Пример полупрост неунитальных кольца М _∞ ( К ), то строка-конечна, колонок-конечна, бесконечные матрицы над полем K .

Простые кольца

Следует помнить, что, несмотря на терминологию, не все простые кольца являются полупростыми . Проблема в том, что кольцо может быть «слишком большим», то есть не (левым / правым) артиновым. Фактически, если R - простое кольцо с минимальным левым / правым идеалом, то R полупросто.

Классическими примерами простых, но не полупростых колец являются алгебры Вейля , такие как -алгебра ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle A = \ mathbb {Q} {\ left [x, y \ right]} / \ langle xy-yx-1 \ rangle \,}$

которая является простой некоммутативной областью . Эти и многие другие замечательные примеры обсуждаются более подробно в нескольких текстах по некоммутативной теории колец, в том числе в главе 3 текста Лама, в которой они описаны как неартиновые простые кольца. Теории модуля для алгебр Вейля хорошо изучены и существенно отличается от полупростых колец.

Якобсон полупростой

Кольцо называется полупростым (или J-полупростым или полупримитивным ), если пересечение максимальных левых идеалов равно нулю, то есть если радикал Джекобсона равен нулю. Каждое кольцо, полупростое как модуль над собой, имеет нулевой радикал Джекобсона, но не всякое кольцо с нулевым радикалом Джекобсона полупросто как модуль над собой. J-полупростое кольцо полупросто тогда и только тогда, когда оно является артиновым кольцом , поэтому во избежание путаницы полупростые кольца часто называют артиновыми полупростыми кольцами .

Например, кольцо целых чисел Z является J-полупростым, но не артиновым полупростым.

Смотрите также

• Цоколь
• Полупростая алгебра

Рекомендации

Примечания

Рекомендации

• Бурбаки, Николас (2012), Algèbre Ch. 8 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN   978-3-540-35315-7
• Джейкобсон, Натан (1989), Основная алгебра II (2-е изд.), WH Freeman, ISBN   978-0-7167-1933-5
• Лам, Цит-Юэн (2001), Первый курс некоммутативных колец , Тексты для выпускников по математике , 131 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4419-8616-0 , ISBN   978-0-387-95325-0 , MR   1838439
• Ланг, Серж (2002), Алгебра (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN   978-0387953854
• Пирс, Р.С. (1982), Ассоциативные алгебры , Тексты для выпускников по математике , Springer-Verlag , ISBN   978-1-4757-0165-4
• Сенгупта, Амбар (2012). Представление конечных групп: полупростое введение . Нью-Йорк. DOI : 10.1007 / 978-1-4614-1231-1_8 . ISBN   9781461412311 . OCLC   769756134 .