Длина модуля - Length of a module

В абстрактной алгебре , то длина из модуля является обобщением размерности в виде векторного пространства , который измеряет его размер. ^{page 153} В частности, как и в случае векторных пространств, единственными модулями конечной длины являются конечно порожденные модули . Он определяется как длина самой длинной цепочки подмодулей . Модули конечной длины разделяют многие важные свойства с конечномерными векторными пространствами.

Другие понятия, используемые для «подсчета» в теории колец и модулей, - это глубина и высота ; и то, и другое требует более тонкого определения. Более того, их использование больше соответствует теории размерности, тогда как длина используется для анализа конечных модулей. Есть также различные полезные идеи размерности . Коммутативные кольца конечной длины играют важную роль в функториальных трактовках формальной алгебраической геометрии и теории деформаций, где кольца Артина широко используются.

Определение

Длина модуля

Пусть - (левый или правый) модуль над некоторым кольцом . Дана цепочка подмодулей вида ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$

${\ Displaystyle M_ {0} \ subsetneq M_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq M_ {n} = M}$

мы говорим, что это длина цепи. Длина от определяется как самая большая длина любого из ее цепей. Если такой наибольшей длины не существует, мы говорим, что она имеет бесконечную длину . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

Длина кольца

Кольцо называется имеет конечную длину , как кольцо , если оно имеет конечную длину в качестве левого модуля. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

Характеристики

Конечная длина и конечные модули

Если -модуль имеет конечную длину, то он конечно порожден . Если R - поле, то верно и обратное. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$

Связь с артиновскими и нётеровыми модулями

Модуль имеет конечную длину , если и только если он является одновременно нётеровым модулем и артины модуля (см теоремы Хопкинса ). Поскольку все артиновы кольца нётеровы, отсюда следует, что кольцо имеет конечную длину тогда и только тогда, когда оно артиново. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$

Поведение относительно коротких точных последовательностей

Предполагать

${\ Displaystyle 0 \ rightarrow L \ rightarrow M \ rightarrow N \ rightarrow 0}$

это короткая точная последовательность из модулей. Тогда M имеет конечную длину тогда и только тогда, когда L и N имеют конечную длину, и мы имеем ${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle {\ text {length}} _ {R} (M) = {\ text {length}} _ {R} (L) + {\ text {length}} _ {R} (N)}$

В частности, это подразумевает следующие два свойства

• Прямая сумма двух модулей конечной длины имеет конечную длину
• Подмодуль модуля конечной длины имеет конечную длину, и его длина меньше или равна его родительскому модулю.

Теорема Жордана – Гёльдера

Композиционный ряд модуля М представляет собой цепь вида

${\ Displaystyle 0 = N_ {0} \ subsetneq N_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq N_ {n} = M}$

такой, что

${\ displaystyle N_ {i + 1} / N_ {i} {\ mbox {просто для}} i = 0, \ dots, n-1}$

Модуль М имеет конечную длину , если и только если оно имеет (конечное) композиционный ряд, а длина каждого такого композиционного ряда равна длине М .

Примеры

Конечномерные векторные пространства

Любое конечномерное векторное пространство над полем имеет конечную длину. В основе лежит цепочка ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}$

${\ displaystyle 0 \ subset {\ text {Span}} _ {k} (v_ {1}) \ subset {\ text {Span}} _ {k} (v_ {1}, v_ {2}) \ subset \ cdots \ subset {\ text {Span}} _ {k} (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) = V}$

который имеет длину . Он максимален, потому что для любой цепи ${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle V_ {0} \ subset \ cdots \ subset V_ {м}}$

размер каждого включения увеличится как минимум на . Следовательно, его длина и размер совпадают. ${\ displaystyle 1}$

Артинианские модули

Над основного кольца , Артиновы модули образуют класс примеров конечных модулей. Фактически, эти примеры служат основными инструментами для определения порядка исчезновения в теории пересечений . ${\ displaystyle R}$

Нулевой модуль

Нулевой модуль - единственный с длиной 0.

Простые модули

Модули длины 1 - это в точности простые модули .

Артиновые модули над Z

Длина циклической группы (рассматриваемой как модуль над целыми числами Z ) равна количеству простых множителей , при этом несколько простых множителей подсчитываются несколько раз. Это можно найти с помощью китайской теоремы об остатках . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / п \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle n}$

Использование в теории множественности

Для нуждающихся в теории Пересечения , Жан-Пьер Серр ввел общее понятие кратности точки, как длина артинового локального кольца , связанное с этой точкой.

Первым приложением было полное определение кратности пересечения и, в частности, утверждение теоремы Безу, которая утверждает, что сумма кратностей точек пересечения n алгебраических гиперповерхностей в n -мерном проективном пространстве либо бесконечна, либо равна в точности произведение степеней гиперповерхностей.

Это определение кратности является довольно общим и содержит в качестве частных случаев большинство предыдущих понятий алгебраической кратности.

Порядок обращения в нуль нулей и полюсов

Частным случаем этого общего определения кратности является порядок обращения в нуль ненулевой алгебраической функции на алгебраическом многообразии. Дано алгебраическое многообразие и подмногообразие в коразмерности 1, порядок обращения в нуль для полинома определяется как ${\ displaystyle f \ in R (X) ^ {*}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle f \ in R (X)}$

${\ displaystyle {\ text {ord}} _ {V} (f) = {\ text {length}} _ {{\ mathcal {O}} _ {V, X}} \ left ({\ frac {{\ mathcal {O}} _ {V, X}} {(f)}} \ right)}$

где локальное кольцо определяется стеблом вдоль подмногообразие ^{страниц 426-227} , или, что эквивалентно, Стебель из в общей точке ^{страницы 22} . Если является аффинным многообразием и определяется исчезающим множеством , то существует изоморфизм ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {V, X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle V (е)}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {V, X} \ cong R (X) _ {(f)}}$

Затем эту идею можно распространить на рациональные функции на многообразии, где порядок определяется как ${\ Displaystyle F = f / g}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ text {ord}} _ {V} (F): = {\ text {ord}} _ {V} (f) - {\ text {ord}} _ {V} (g)}$

что похоже на определение порядка нулей и полюсов в комплексном анализе .

Пример проективного многообразия

Например, рассмотрим проективную поверхность, определяемую полиномом , тогда порядок обращения в нуль рациональной функции ${\ Displaystyle Z (ч) \ подмножество \ mathbb {P} ^ {3}}$${\ displaystyle h \ in k [x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}]}$

${\ displaystyle F = {\ frac {f} {g}}}$

дан кем-то

${\ displaystyle {\ text {ord}} _ {Z (h)} (F) = {\ text {ord}} _ {Z (h)} (f) - {\ text {ord}} _ {Z ( h)} (g)}$

где

${\ displaystyle {\ text {ord}} _ {Z (h)} (f) = {\ text {length}} _ {{\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} \ left ({\ frac {{\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} {(f)}} \ right)}$

Например, если и а затем ${\ displaystyle h = x_ {0} ^ {3} + x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} + x_ {2} ^ {3}}$${\ displaystyle f = x ^ {2} + y ^ {2}}$${\ displaystyle g = h ^ {2} (x_ {0} + x_ {1} -x_ {3})}$

${\ displaystyle {\ text {ord}} _ {Z (h)} (f) = {\ text {length}} _ {{\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} \ left ({\ frac {{\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} {(x ^ {2} + y ^ {2}) )}} \ right) = 0}$

поскольку является единицей (теория колец) в локальном кольце . В другом случае - единица, поэтому фактор-модуль изоморфен ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Z (ч), \ mathbb {P} ^ {3}}}$${\ displaystyle x_ {0} + x_ {1} -x_ {3}}$

${\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} {(h ^ {2})}}}$

так что у него есть длина . Это можно найти, используя максимальную правильную последовательность ${\ displaystyle 2}$

${\ displaystyle (0) \ subset {\ frac {{\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} {(h)}} \ subset {\ frac {{{ \ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} {(h ^ {2})}}}$

Ноль и полюсы аналитической функции

Порядок обращения в нуль является обобщением порядка нулей и полюсов для мероморфных функций в комплексном анализе . Например, функция

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {(г-1) ^ {3} (г-2)} {(г-1) (г-4i)}}}$

имеет нули порядка 2 и 1 при и полюс порядка при . Такая информация может быть закодирована с использованием длины модулей. Например, при установке и возникает соответствующее локальное кольцо , а фактор-модуль ${\ displaystyle 1,2 \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 4i \ in \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle R (X) = \ mathbb {C} [z]}$${\ Displaystyle V = V (г-1)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {V, X}}$${\ Displaystyle \ mathbb {С} [г] _ {(г-1)}}$

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ mathbb {C} [z] _ {(z-1)}} {((z-4i) (z-1) ^ {2})}}}$

Обратите внимание, что это единица, поэтому она изоморфна фактор-модулю ${\ displaystyle z-4i}$

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ mathbb {C} [z] _ {(z-1)}} {((z-1) ^ {2})}}}$

Его длина равна, поскольку существует максимальная цепь ${\ displaystyle 2}$

${\ Displaystyle (0) \ подмножество {\ гидроразрыва {\ mathbb {C} [z] _ {(z-1)}} {((z-1))}} \ subset {\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {C} [z] _ {(z-1)}} {((z-1) ^ {2})}}}}$

подмодулей. В более общем плане, используя теорему факторизации Вейерштрасса , мероморфная функция факторизует как

${\ displaystyle F = {\ frac {f} {g}}}$

который является (возможно, бесконечным) произведением линейных многочленов как в числителе, так и в знаменателе.

Смотрите также

• Ряд Гильберта – Пуанкаре
• Делитель Вейля
• Кольцо для чау-чау
• Теория пересечения
• Теорема факторизации Вейерштрасса
• Гипотезы Серра о множественности
• Схема Гильберта - может использоваться для изучения модулей на схеме с фиксированной длиной
• Теорема Крулля – Шмидта.

Рекомендации

Внешние ссылки

• Стивен Х. Вайнтрауб, Теория представлений конечных групп AMS (2003) ISBN   0-8218-3222-0 , ISBN   978-0-8218-3222-6
• Аллен Альтман, Стивен Клейман, термин коммутативной алгебры .
• Проект Stacks. Длина