Символы Кристоффеля - Christoffel symbols
В математике и физике , то символы Кристоффеля являются массив чисел , описывающих метрическую связность . Метрическое соединение - это специализация аффинного соединения с поверхностями или другими коллекторами, снабженная метрикой , позволяющая измерять расстояния на этой поверхности. В дифференциальной геометрии аффинная связь может быть определена без ссылки на метрику, и следуют многие дополнительные концепции: параллельный перенос , ковариантные производные , геодезические и т. Д. Также не требуют концепции метрики. Однако, когда доступна метрика, эти концепции можно напрямую привязать к «форме» самого коллектора; эта форма определяется тем, как касательное пространство присоединяется к пространству котангенса с помощью метрического тензора . Абстрактно можно было бы сказать, что у многообразия есть связанный ( ортонормированный ) пучок систем отсчета , причем каждая « рамка » является возможным выбором системы координат . Инвариантная метрика означает, что структурной группой расслоения реперов является ортогональная группа O ( p , q ) . В результате такое многообразие обязательно является ( псевдо ) римановым многообразием . Символы Кристоффеля обеспечивают конкретное представление связи (псевдо) римановой геометрии в терминах координат на многообразии. Дополнительные понятия, такие как параллельный транспорт, геодезические и т. Д., Затем могут быть выражены в терминах символов Кристоффеля.
Вообще говоря, для данного метрического тензора существует бесконечное количество метрических связей ; однако существует уникальное соединение, не имеющее кручения , соединение Леви-Чивита . В физике и общей теории относительности принято работать почти исключительно со связью Леви-Чивиты, работая в системе координат (называемой голономными координатами ), где кручение исчезает. Например, в евклидовых пространствах символы Кристоффеля описывают, как локальные базисы координат изменяются от точки к точке.
В каждой точке нижележащего n -мерного многообразия для любой локальной системы координат вокруг этой точки символы Кристоффеля обозначаются как Γ i jk для i , j , k = 1, 2, ..., n . Каждая запись этого массива n × n × n является действительным числом . При линейных преобразованиях координат на многообразии символы Кристоффеля преобразуются как компоненты тензора , но при общих преобразованиях координат ( диффеоморфизмах ) - нет. Большинство алгебраических свойств символов Кристоффеля вытекают из их отношения к аффинной связи; лишь немногие следуют из того факта, что структурная группа является ортогональной группой O ( m , n ) (или группой Лоренца O (3, 1) для общей теории относительности).
Символы Кристоффеля используются для выполнения практических расчетов. Например, тензор кривизны Римана может быть полностью выражен через символы Кристоффеля и их первые частные производные . В общей теории относительности связь играет роль гравитационного силового поля с соответствующим гравитационным потенциалом, являющимся метрическим тензором. Когда система координат и метрический тензор обладают некоторой симметрией, многие из Γ i jk равны нулю .
Символы Кристоффеля названы в честь Элвина Бруно Кристоффеля (1829–1900).
Примечание
Приведенные ниже определения действительны как для римановых многообразий, так и для псевдоримановых многообразий , например, из общей теории относительности , с тщательным различием между верхними и нижними индексами ( контрвариантные и ковариантные индексы). Формулы справедливы для любого соглашения о знаках , если не указано иное.
В этой статье используется соглашение Эйнштейна о суммировании , при этом векторы выделены жирным шрифтом. В коэффициенты связности по связности Леви-Чивита (или псевдоримановом связи) , выраженной в координатной основе называются символы Кристоффеля .
Предварительные определения
Учитывая систему координат х I для я = 1, 2, ..., п на п -многообразие М , в касательные векторы
определить то, что называется локальным базисом касательного пространства к M в каждой точке его области. Их можно использовать для определения метрического тензора :
и его обратное:
который, в свою очередь, можно использовать для определения двойственного базиса:
Некоторые тексты пишут для , так что метрический тензор принимает особенно привлекательную форму . Это соглашение также однозначно оставляет использование символа для vierbein .
Определение в евклидовом пространстве
В евклидовом пространстве можно доказать, что приведенное ниже общее определение символов Кристоффеля второго рода эквивалентно следующему:
Тогда символы Кристоффеля первого вида можно найти с помощью понижения индекса :
Переставив, мы видим, что (предполагая, что частная производная принадлежит касательному пространству, что не может иметь место в неевклидовом искривленном пространстве):
На словах массивы, представленные символами Кристоффеля, отслеживают, как основание изменяется от точки к точке. Если производная не лежит в касательном пространстве, правое выражение - это проекция производной на касательное пространство (см. Ковариантную производную ниже). Символы второго типа разлагают изменение по базису, а символы первого типа - по дуальному базису. В таком виде легко увидеть симметрию двух нижних или последних двух индексов:
- и ,
из определения и того факта, что частные производные коммутируют (при условии, что многообразие и система координат хорошо себя ведут ).
Те же числовые значения для символов Кристоффеля второго типа также относятся к производным двойственного базиса, как видно из выражения:
- ,
который мы можем переставить как:
- .
Общее определение
Символы Кристоффеля первого рода
Символы Кристоффеля первого типа могут быть производными либо от символов Кристоффеля второго типа, либо из метрики,
или только по метрике,
В качестве альтернативного обозначения также можно найти
Стоит отметить, что [ ab , c ] = [ ba , c ] .
Символы Кристоффеля второго рода (симметричное определение)
Символы Кристоффеля второго типа являются коэффициентами связи - в координатном базисе - связи Леви-Чивита . Другими словами, символы Кристоффеля второго рода Γ k ij (иногда Γk
ijили {k
ij} ) определяются как уникальные коэффициенты, такие что
- ,
где ∇ i - связность Леви-Чивита на M, взятая в координатном направлении e i (т. е. ∇ i ≡ ∇ e i ), и где e i = ∂ i - локальный координатный ( голономный ) базис . Поскольку эта связность имеет нулевое кручение и голономные векторные поля коммутируют (т.е. ), мы имеем
- .
Следовательно, в этом базисе коэффициенты связности симметричны:
- Γ k ij = Γ k ji .
По этой причине соединение без кручения часто называют симметричным .
Символы Кристоффеля могут быть выведены из обращения в нуль ковариантной производной от метрического тензора г Ik :
В качестве сокращенного обозначения символ набла и символы частной производной часто опускаются, и вместо этого используются точка с запятой и запятая для обозначения индекса, который используется для производной. Таким образом, вышеизложенное иногда записывается как
Используя то, что символы симметричны в двух нижних индексах, можно явно решить для символов Кристоффеля как функции метрического тензора, переставляя индексы и пересуммируя:
где ( g jk ) - это обратная матрица ( g jk ) , определяемая как (с использованием дельты Кронекера и обозначений Эйнштейна для суммирования) g ji g ik = δ j k . Хотя символы Кристоффеля записываются в той же нотации, что и тензоры с индексной нотацией , они не преобразуются, как тензоры, при изменении координат .
Снижение индексов
Стягивание верхнего индекса к любому из нижних индексов (симметричных) приводит к
где - определитель метрического тензора. Эта идентичность может использоваться для оценки расхождения векторов.
Коэффициенты связности в неголономном базисе
Символы Кристоффеля чаще всего определяются на основе координат, что является принятым здесь соглашением. Другими словами, название символов Кристоффеля зарезервировано только для координатных (т. Е. Голономных ) систем отсчета. Однако коэффициенты связности также могут быть определены в произвольном (т. Е. Неголономном) базисе касательных векторов u i формулой
Явно в терминах метрического тензора это
где c klm = g mp c kl p - коэффициенты коммутации базиса; то есть,
где u k - базисные векторы, а [,] - скобка Ли . Стандартные единичные векторы в сферических и цилиндрических координатах представляют собой пример базиса с ненулевыми коэффициентами коммутации. Разница между связью в такой системе отсчета и связью Леви-Чивиты известна как тензор конторсии .
Коэффициенты вращения Риччи (асимметричное определение)
Когда мы выбираем базис Х я ≡ U я ортонормировано: г AB ≡ п AB = ⟨ Х , Х б ⟩ тогда г ки, л ≡ п ки, л = 0 . Это означает, что
и коэффициенты связи становятся антисимметричными по первым двум индексам:
куда
В этом случае коэффициенты связности ω a bc называются коэффициентами вращения Риччи .
Эквивалентно, можно определить коэффициенты вращения Риччи следующим образом:
где u i - ортонормированный неголономный базис, а u k = η kl u l - его ко-базис .
Закон превращения при изменении переменной
При изменении переменной с на символы Кристоффеля преобразуются как
где верхняя черта обозначает символы Кристоффеля в системе координат. Символ Кристоффеля не трансформируется как тензор, а как объект в связке струй . Точнее, символы Кристоффеля можно рассматривать как функции на связке струй связки реперов M , независимо от какой-либо локальной системы координат. Выбор локальной системы координат определяет локальную часть этого связки, которую затем можно использовать для возврата символов Кристоффеля к функциям на M , хотя, конечно, эти функции затем зависят от выбора локальной системы координат.
Для каждой точки существуют системы координат, в которых символы Кристоффеля исчезают в точке. Они называются (геодезическими) нормальными координатами и часто используются в римановой геометрии .
Есть несколько интересных свойств, которые можно вывести непосредственно из закона преобразования.
- Для линейного преобразования неоднородная часть преобразования (второй член в правой части) тождественно обращается в нуль, а затем ведет себя как тензор.
- Если у нас есть два поля связей, скажем и , то их различие является тензором, поскольку неоднородные члены компенсируют друг друга. Неоднородные члены зависят только от того, как меняются координаты, но не зависят от самого символа Кристоффеля.
- Если символ Кристоффеля несимметричен относительно своих нижних индексов в одной системе координат, т. Е., То они остаются несимметричными при любом изменении координат. Следствием этого свойства является то, что невозможно найти систему координат, в которой все элементы символа Кристоффеля равны нулю в точке, если только нижние индексы не симметричны. Это свойство было независимо указано Альбертом Эйнштейном и Эрвином Шредингером .
Связь с параллельным переносом и вывод символов Кристоффеля в римановом пространстве
Если вектор переносится параллельно по кривой, параметризованной некоторым параметром на римановом многообразии , скорость изменения компонентов вектора определяется выражением
Теперь просто используя условие , что скалярное произведение , образованные два произвольных векторов и является неизменным достаточно , чтобы получить символы Кристоффеля. Состояние
которые по правилу продукта расширяются до
Применяя правило параллельного переноса для двух произвольных векторов и переименовывая фиктивные индексы и собирая коэффициенты для (произвольного), мы получаем
Это то же самое, что и уравнение, полученное путем обращения в нуль ковариантной производной метрического тензора в разделе «Общие определения». Отсюда вывод прост. Циклически переставляя индексы в приведенном выше уравнении, мы можем получить еще два уравнения, а затем линейно комбинируя эти три уравнения, мы можем выразить их через метрический тензор.
Связь с безиндексной нотацией
Пусть X и Y - векторные поля с компонентами X i и Y k . Тогда k- я компонента ковариантной производной Y по X имеет вид
Здесь используется обозначение Эйнштейна , поэтому повторяющиеся индексы указывают на суммирование по индексам, а сокращение с метрическим тензором служит для повышения и понижения индексов:
Имейте в виду, что g ik ≠ g ik и что g i k = δ i k , символ Кронекера . По соглашению метрический тензор - это тензор с нижними индексами; правильный способ получить g ik из g ik - решить линейные уравнения g ij g jk = δ i k .
Утверждение о том, что связь не имеет кручения , а именно, что
эквивалентно утверждению, что в координатной основе символ Кристоффеля симметричен по двум нижним индексам:
Безиндексные свойства преобразования тензора задаются откатами для ковариантных индексов и прямыми действиями для контравариантных индексов. В статье о ковариантных производных дается дополнительное обсуждение соответствия между безиндексной нотацией и индексированной нотацией.
Ковариантные производные тензоров
Ковариантная производная из контравариантным векторного поля V м является
По следствию дивергенцию вектора можно получить как
Ковариантная производная ковекторного поля ω m равна
Симметрия символа Кристоффеля теперь подразумевает
для любого скалярного поля, но в общем случае ковариантные производные тензорных полей более высокого порядка не коммутируют (см. тензор кривизны ).
Ковариантная производная тензорного поля типа (2, 0) A ik равна
то есть,
Если тензорное поле смешанное, то его ковариантная производная равна
а если тензорное поле имеет тип (0, 2), то его ковариантная производная равна
Контравариантные производные тензоров
Чтобы найти контравариантную производную векторного поля, мы должны сначала преобразовать ее в ковариантную производную с помощью метрического тензора
Приложения
В общей теории относительности
Символы Кристоффеля часто используются в общей теории относительности Эйнштейна , где пространство-время представлено изогнутым 4-мерным лоренцевым многообразием со связностью Леви-Чивиты . В уравнения поля Эйнштейна -Какой определяют геометрию пространства - времени в присутствии вещества, содержат тензор Риччи , и поэтому вычисления символов Кристоффеля имеет важное значение. Как только геометрия определена, пути частиц и световых лучей вычисляются путем решения геодезических уравнений, в которых явно присутствуют символы Кристоффеля.
В классической (нерелятивистской) механике
Пусть - обобщенные координаты и - обобщенные скорости, тогда кинетическая энергия для единицы массы определяется выражением , где - метрический тензор . Если потенциальная функция существует, то контравариантные компоненты обобщенной силы на единицу массы равны . Метрика (здесь в чисто пространственной области) может быть получена из линейного элемента . Подставляя лагранжиан в уравнение Эйлера-Лагранжа , получаем
Теперь умножая на , получаем
Когда могут быть приняты декартовы координаты (как в инерциальных системах отсчета), у нас есть евклидовы метрики, символ Кристоффеля исчезает, и уравнение сводится ко второму закону движения Ньютона . В криволинейных координатах (принудительно в неинерциальных системах отсчета, где метрика неевклидова и не плоская) фиктивные силы, такие как центробежная сила и сила Кориолиса, происходят от символов Кристоффеля, то есть из чисто пространственных криволинейных координат.
В координатах земной поверхности
Дана сферическая система координат , которая описывает точки на поверхности земли (аппроксимируется как идеальная сфера).
Для точки x R - это расстояние до ядра земли (обычно приблизительно радиус земли ). θ и φ - широта и долгота . Положительный θ - северное полушарие. Для упрощения производных углы даны в радианах (где d sin (x) / dx = cos (x), значения в градусах вводят дополнительный множитель 360/2 пи).
В любом месте касательными направлениями являются (вверх), (север) и (восток) - вы также можете использовать индексы 1,2,3.
Соответствующий метрический тензор имеет только диагональные элементы (квадраты длин векторов). Это преимущество системы координат, а не в целом.
Теперь можно рассчитать необходимое количество. Примеры:
Полученные в результате символы Кристоффеля второго типа (упорядоченные по индексу "производной" i в матрице):
Эти значения показывают , как направления касательных (столбцы: , , ) изменение, видно с точки зрения внешнего (например , из космоса), но , учитывая , в касательных направлениях фактического места (строки: R , θ , ф ).
В качестве примера возьмем ненулевые производные по θ in , что соответствует движению на север (положительное значение dθ):
- Новое направление на север изменится на -R dθ в направлении вверх (R). Таким образом, северное направление будет вращаться вниз к центру Земли.
- Точно так же направление вверх будет скорректировано в сторону севера. Различная длина и приводит к коэффициенту 1 / R.
- Двигаясь на север, вектор касательной к востоку изменяет свою длину (-tan (θ) по диагонали), он сжимается (-tan (θ) dθ <0) в северном полушарии и увеличивается (-tan (θ) dθ> 0 ) в южном полушарии.
Эти эффекты могут быть незаметны во время движения, потому что они являются настройками, которые сохраняют измерения в координатах R , θ , φ . Тем не менее, это может повлиять на расстояния, физические уравнения и т. Д. Поэтому, если, например, вам нужно точное изменение магнитного поля, указывающего приблизительно «на юг», может потребоваться также скорректировать ваши измерения путем изменения направления на север с помощью символов Кристоффеля. чтобы получить "истинное" ( тензорное ) значение.
Символы Кристоффеля первого типа показывают такое же изменение с использованием координат с метрической корректировкой, например, для производной по φ :
Смотрите также
- Основное введение в математику искривленного пространства-времени
- Доказательства с использованием символов Кристоффеля
- Дифференцируемое многообразие
- Список формул в римановой геометрии
- Исчисление Риччи
- Тензор Римана – Кристоффеля
- Уравнения Гаусса – Кодацци
- Пример вычисления символов Кристоффеля
Примечания
использованная литература
- Авраам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1978), « Основы механики» , Лондон: Benjamin / Cummings Publishing, стр. См. Главу 2, параграф 2.7.1, ISBN. 0-8053-0102-Xпа
- Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1965), Введение в общую теорию относительности (первое издание), McGraw-Hill Book Company
- Бишоп, РЛ ; Голдберг, С.И. (1968), Тензорный анализ многообразий (первое издание Dover 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
- Шоке-Брюа, Ивонн ; ДеВитт-Моретт, Сесиль (1977), Анализ, многообразия и физика , Амстердам: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
-
Ландау Лев Давидович ; Лифшиц, Евгений Михайлович (1951), Классическая теория полей , Курс теоретической физики , Том 2 (Четвертое пересмотренное издание на английском языке), Oxford: Pergamon Press, стр. См. Главу 10, параграфы 85, 86 и 87, ISBN 0-08-025072-6
|volume=
имеет дополнительный текст ( справка ) - Крейсциг, Эрвин (1991), Дифференциальная геометрия , Dover Publications , ISBN 978-0-486-66721-8
- Миснер, Чарльз В .; Thorne, Kip S .; Уилер, Джон Арчибальд (1970), Gravitation , New York: WH Freeman, стр. См. Главу 8, параграф 8.5, ISBN 0-7167-0344-0
- Людвигсен, Малкольм (1999), Общая теория относительности: геометрический подход , Cambridge University Press, ISBN 0-521-63019-3
-
Спивак, Майкл (1999), Комплексное введение в дифференциальную геометрию , Том 2, Опубликовать или погибнуть, ISBN 0-914098-71-3
|volume=
имеет дополнительный текст ( справка ) - Chatterjee, U .; Чаттерджи, Н. (2010). Векторный и тензорный анализ . Академические издательства. ISBN 978-93-8059-905-2.
- Струик, DJ (1961). Лекции по классической дифференциальной геометрии (впервые опубликованы в Дувре в 1988 г.). Дувр. ISBN 0-486-65609-8.
- П. Гринфельд (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей . Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.