Леви-Чивита соединение - Levi-Civita connection
В римановой или псевдо римановой геометрии (в частности лоренцевы геометрии из ОТО ), то связность Леви-Чивита является уникальным соединение на касательном расслоении о наличии многообразия (т.е. аффинной связности ) , что сохраняет ( псевдо- ) римановой метрики и кручения -бесплатно.
Основная теорема римановой геометрии утверждает , что существует единственное соединение , которое удовлетворяет эти свойства.
В теории римановых и псевдоримановых многообразий термин ковариантная производная часто используется для связности Леви-Чивиты. Компоненты (структурные коэффициенты) этой связи относительно системы локальных координат называются символами Кристоффеля .
История
Связь Леви-Чивита названа в честь Туллио Леви-Чивита , хотя первоначально «обнаружена» Элвином Бруно Кристоффелем . Леви-Чивита вместе с Грегорио Риччи-Курбастро использовали символы Кристоффеля для определения понятия параллельного переноса и исследования взаимосвязи параллельного переноса с кривизной , тем самым развивая современное понятие голономии .
В 1869 году Кристоффель обнаружил, что компоненты внутренней производной векторного поля при изменении системы координат трансформируются как компоненты контравариантного вектора. Это открытие стало настоящим началом тензорного анализа.
В 1906 году LEJ Брауэр был первым математиком рассмотреть параллельный перенос из в вектор для случая пространства постоянной кривизны .
В 1917 году Леви-Чивита указал на его важность для случая гиперповерхности, погруженной в евклидово пространство , т. Е. Для случая риманова многообразия, вложенного в «большее» объемлющее пространство. Он интерпретировал внутреннюю производную в случае вложенной поверхности как касательную составляющую обычной производной в окружающем аффинном пространстве. Понятия Леви-Чивиты о внутренней производной и параллельном смещении вектора вдоль кривой имеют смысл на абстрактном римановом многообразии, даже несмотря на то, что исходная мотивация опиралась на конкретное вложение.
В 1918 году, независимо от Леви-Чивиты, Ян Арнольдус Схоутен получил аналогичные результаты. В том же году Герман Вейль обобщил результаты Леви-Чивиты.
Обозначение
- ( M , g ) обозначает риманово или псевдориманово многообразие .
- ТМ является касательным расслоением из М .
- г является римановой или псевдо-риманова метрика на М .
- X , Y , Z представляют собой гладкие векторные поля на М , то есть гладкие участки от ТМА .
- [ X , Y ] является скобкой Ли из X и Y . Это снова гладкое векторное поле.
Метрика g может принимать в качестве аргументов до двух векторов или векторных полей X , Y. В первом случае на выходе будет число, (псевдо-) скалярное произведение из X и Y . В последнем случае, скалярное произведение X р , Y р берется во всех точках р на многообразии так , что г ( Х , Y ) определяет гладкую функцию на М . Векторные поля действуют (по определению) как дифференциальные операторы на гладких функциях. В локальных координатах действие читается как
где используется соглашение Эйнштейна о суммировании .
Формальное определение
Аффинная связность ∇ называется связностью Леви-Чивита , если
- он сохраняет метрику , т. е. ∇ g = 0 .
- это кручение -бесплатно , то есть для любых векторных полей X и Y мы имеем ∇ X Y - ∇ Y X = [ X , Y ] , где [ X , Y ] является скобкой Ли из векторных полей X и Y .
Условие 1 выше иногда называют совместимостью с метрикой , а условие 2 иногда называют симметрией, ср. Текст ду Карму.
Основная теорема (псевдо) римановой геометрии
Теорема Каждое псевдориманово многообразие имеет единственную связность Леви Чивиты .
Доказательство : если связь Леви-Чивита существует, она должна быть уникальной. Чтобы убедиться в этом, разгадайте определение действия связи на тензорах, чтобы найти
Следовательно, мы можем записать условие 1 в виде
Тогда по симметрии метрического тензора находим:
Следовательно, по условию 2 правая часть равна
и находим формулу Кошуля
Следовательно, если связь Леви-Чивита существует, она должна быть уникальной, потому что она произвольна, невырождена и правая часть не зависит .
Чтобы доказать существование, обратите внимание, что для данного векторного поля и правая часть выражения Кошуля является функционально-линейной в векторном поле , а не просто действительной линейной. Следовательно, из-за невырожденности , правая часть однозначно определяет некоторое новое векторное поле, которое мы предположительно обозначим как в левой части. Подставляя формулу Кошуля, теперь проверяется, что для всех векторных полей и всех функций
Следовательно, выражение Кошуля действительно определяет связь, и эта связь совместима с метрикой и не имеет кручения, то есть является (следовательно) связностью Леви-Чивиты.
Обратите внимание, что с небольшими изменениями это же доказательство показывает, что существует единственная связность, совместимая с метрикой и имеющая заданное кручение.
Символы Кристоффеля
Пусть - аффинная связность на касательном расслоении. Выберите локальные координаты с координатными базисными векторными полями и напишите для . В символы Кристоффеля по отношению к этим координатам определяются как
Символы Кристоффеля, наоборот, определяют связь в координатной окрестности, потому что
то есть,
Аффинная связность совместима с метрикой тогда и только тогда, когда
т. е. тогда и только тогда, когда
Аффинная связность ∇ не имеет кручения тогда и только тогда
т. е. тогда и только тогда, когда
симметричен по двум нижним индексам.
Как проверяется путем взятия координатных векторных полей (или вычисляется напрямую), выражение Кошуля связи Леви-Чивиты, полученное выше, эквивалентно определению символов Кристоффеля в терминах метрики как
где, как обычно, - коэффициенты двойственного метрического тензора, т. е. элементы обратной матрицы .
Производная по кривой
Связность Леви-Чивита (как и любой аффинной связности) также определяет производную вдоль кривых , иногда обозначаемый D .
Для гладкой кривой γ на ( M , g ) и векторного поля V вдоль γ ее производная определяется равенством
Формально D - это обратная связь γ * ∇ на обратном пучке γ * TM .
В частности, - векторное поле вдоль самой кривой γ . Если обращается в нуль, кривая называется геодезической ковариантной производной. Формально условие можно переформулировать как исчезновение обратной связи, применяемое к :
Если ковариантный производная связность Леви-Чивита некоторой метрики, то геодезические для подключения именно те геодезические из метрики , которые параметризовать пропорционально их длине дуги.
Параллельный транспорт
В общем, параллельный перенос вдоль кривой относительно связности определяет изоморфизмы между касательными пространствами в точках кривой. Если связность является связностью Леви-Чивиты, то эти изоморфизмы ортогональны, то есть они сохраняют скалярные произведения на различных касательных пространствах.
На изображениях ниже показан параллельный перенос связи Леви-Чивиты, связанный с двумя разными римановыми метриками на плоскости, выраженный в полярных координатах . Метрика левого изображения соответствует стандартной евклидовой метрике , в то время как метрика справа имеет стандартную форму в полярных координатах и, таким образом, сохраняет касательный вектор к окружности. Эта вторая метрика имеет особенность в начале координат, что можно увидеть, выразив ее в декартовых координатах:
Пример: единичная сфера в R 3
Пусть ⟨,⟩ - обычное скалярное произведение на R 3 . Пусть S 2 - единичная сфера в R 3 . Касательное пространство к S 2 в точке т естественным образом отождествляется с векторным подпространством R 3 , состоящее из всех векторов , ортогональных к м . Отсюда следует , что векторное поле Y на S 2 можно рассматривать как отображение Y : S 2 → R 3 , который удовлетворяет условию
Обозначим , как д м Y ( X ) ковариантной производной отображения Y в направлении вектора X . Тогда у нас есть:
-
Лемма: формула
- определяет аффинную связность на S 2 с нулевым кручением.
-
Доказательство: Несложно доказать , что ∇ удовлетворяет тождеству Лейбница и C ∞ ( S 2 ) линейна по первой переменной. Это также простое вычисление, показывающее, что это соединение не имеет кручения. Итак, все, что здесь нужно доказать, - это то, что приведенная выше формула действительно определяет векторное поле. То есть нам нужно доказать, что для всех m из S 2
- Рассмотрим отображение п , который посылает каждый м в S 2 до ⟨ Y ( м ), м ⟩ , который всегда 0. Отображение F является постоянной, следовательно , его дифференциальные обращается в нуль. Особенно
- Уравнение (1) выше следует. QED
В самом деле, эта связь связность Леви-Чивита для метрики на S 2 , унаследованного от R 3 . Действительно, можно проверить, что эта связь сохраняет метрику.
Смотрите также
Примечания
использованная литература
- Бутби, Уильям М. (1986). Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию . Академическая пресса. ISBN 0-12-116052-1.
- Кобаяси, Шошичи ; Номидзу, Кацуми (1963). Основы дифференциальной геометрии . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-470-49647-9.См. Том I. стр. 158
внешние ссылки
- "Связь Леви-Чивита" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- MathWorld: Связь Леви-Чивита
- PlanetMath: Связь Леви-Чивита
- Связь Леви-Чивита в Manifold Atlas