Котангенс пространство - Cotangent space

В дифференциальной геометрии , можно прикрепить к каждой точке из более гладких (или дифференцируемых) многообразий , , А векторное пространство называется кокасательным пространство в . Как правило, котангенс пространство, определяются как сопряженное пространство в касательном пространстве в , хотя существует более прямые определения (см ниже). Элементы котангенсного пространства называются котангенсными векторами или касательными ковекторами . ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle T_ {x} ^ {*} \! {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle T_ {x} {\ mathcal {M}}}$

Характеристики

Все кокасательные пространства в точках связного многообразия имеют одинаковую размерность , равную размерности многообразия. Все кокасательные пространства многообразия можно «склеить» (т. Е. Объединить и снабдить топологией), чтобы сформировать новое дифференцируемое многообразие удвоенной размерности, кокасательное расслоение многообразия.

Касательное пространство и кокасательное пространство в точке являются действительными векторными пространствами одной размерности и, следовательно, изоморфны друг другу посредством множества возможных изоморфизмов. Введение римановой метрики или симплектической формы приводит к естественному изоморфизму между касательным пространством и кокасательным пространством в точке, сопоставляя любому касательному ковектору канонический касательный вектор.

Формальные определения

Определение как линейные функционалы

Позвольте быть гладким многообразием и пусть быть точкой в . Позвольте быть касательным пространством в . Тогда кокасательное пространство в точке x определяется как пространство, сопряженное с : ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle T_ {x} {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle T_ {x} {\ mathcal {M}}}$

${\ displaystyle T_ {x} ^ {*} \! {\ mathcal {M}} = (T_ {x} {\ mathcal {M}}) ^ {*}}$

Конкретно, элементы кокасательного пространства являются линейными функционалами на . То есть каждый элемент представляет собой линейную карту${\ displaystyle T_ {x} {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle \ alpha \ in T_ {x} ^ {*} {\ mathcal {M}}}$

${\ displaystyle \ alpha: T_ {x} {\ mathcal {M}} \ rightarrow F}$

где - нижележащее поле рассматриваемого векторного пространства, например, поле действительных чисел . Элементы называются котангенсными векторами. ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle T_ {x} ^ {*} \! {\ mathcal {M}}}$

Альтернативное определение

В некоторых случаях может потребоваться прямое определение котангенсного пространства без ссылки на касательное пространство. Такое определение можно сформулировать в терминах классов эквивалентности гладких функций на . Неформально мы будем говорить, что две гладкие функции f и g эквивалентны в точке, если они имеют одинаковое поведение первого порядка вблизи , аналогично их линейным многочленам Тейлора; две функции f и g имеют одинаковое поведение первого порядка вблизи тогда и только тогда, когда производная функции f - g равна нулю в точке . Тогда котангенсное пространство будет состоять из всех возможных поведений первого порядка функции, близкой к . ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

Пусть M - гладкое многообразие и пусть x - точка в . Позвольте быть идеалом всех функций в нуле в , и пусть будет набор функций вида , где . Тогда и оба являются действительными векторными пространствами, и кокасательное пространство может быть определено как фактор-пространство , показав, что эти два пространства изоморфны друг другу. ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle I_ {x}}$${\ Displaystyle С ^ {\ infty} \! ({\ mathcal {M}})}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle I_ {x} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ сумма _ {я} е_ {я} г_ {я} \,}$${\ displaystyle f_ {i}, g_ {i} \ in I_ {x}}$${\ displaystyle I_ {x}}$${\ displaystyle I_ {x} ^ {2}}$ ${\ displaystyle T_ {x} ^ {*} \! {\ mathcal {M}} = I_ {x} / I_ {x} ^ {2}}$

Эта формулировка аналогична построению кокасательного пространства для определения касательного пространства Зарисского в алгебраической геометрии. Конструкция также обобщается на локально окольцованные пространства .

Дифференциал функции

Пусть M - гладкое многообразие и пусть f ∈ C ^∞ ( M ) - гладкая функция . Дифференциал f в точке x - это отображение

d f _x ( X _x ) = X _x ( е )

где X _x - касательный вектор в точке x , рассматриваемый как вывод. То есть производная Ли от f в направлении X , и d f ( X ) = X ( f ) . Точно так же мы можем думать о касательных векторах как о касательных к кривым и писать ${\ Displaystyle X (е) = {\ mathcal {L}} _ {X} f}$

d f _x ( γ ′ (0)) = ( f ∘ γ ) ′ (0)

В любом случае d f _x является линейным отображением на T _x M и, следовательно, является касательным ковектором в точке x .

Затем мы можем определить дифференциальное отображение d: C ^∞ ( M ) → T _x ^* M в точке x как отображение, которое переводит f в d f _x . Свойства дифференциальной карты включают:

1. d - линейное отображение: d ( af + bg ) = a d f + b d g для констант a и b ,
2. d ( fg ) _x = f ( x ) d g _x + g ( x ) d f _x ,

Дифференциальная карта обеспечивает связь между двумя альтернативными определениями котангенсного пространства, приведенными выше. Для функции f ∈ I _x (гладкой функции, обращающейся в нуль в точке x ) мы можем сформировать линейный функционал d f _x, как указано выше. Так как отображение d ограничивается до 0 на I _x ² (читатель должен убедиться в этом), d спускается до отображения из I _x / I _x ² в двойственное к касательному пространству ( T _x M ) ^* . Можно показать, что это отображение является изоморфизмом, устанавливая эквивалентность двух определений.

Откат гладкой карты

Так же, как любое дифференцируемое отображение f  : M → N между многообразиями индуцирует линейное отображение (называемое прямым или производным ) между касательными пространствами

${\ displaystyle f _ {*} ^ {} \ двоеточие T_ {x} M \ to T_ {f (x)} N}$

каждая такая карта индуцирует линейную карту (называемую откатом ) между котангенсными пространствами, только на этот раз в обратном направлении:

${\ displaystyle f ^ {*} \ двоеточие T_ {f (x)} ^ {*} N \ to T_ {x} ^ {*} M.}$

Откат естественно определяется как двойное (или транспонирование) движения вперед . Распутывая определение, это означает следующее:

${\ displaystyle (f ^ {*} \ theta) (X_ {x}) = \ theta (f _ {*} ^ {} X_ {x}),}$

где & thetas ; ∈ Т _{е ( х )} ^* Н и Х _х ∈ Т _х М . Внимательно отметьте, где все живет.

Если мы определим касательные ковекторы в терминах классов эквивалентности гладких отображений, исчезающих в точке, то определение обратного образа будет еще более простым. Пусть g - гладкая функция на N, обращающаяся в нуль в точке f ( x ). Тогда возврат ковектора, определяемого g (обозначенного d g ), задается как

${\ displaystyle f ^ {*} \ mathrm {d} g = \ mathrm {d} (g \ circ f).}$

То есть это класс эквивалентности функций на M, обращающихся в нуль в точке x, определяемый равенством g ∘ f .

Внешние силы

В K -й внешней степени кокасательного пространства, обозначается Л ^К ( Т _х ^* М ), является еще одним важным объектом в дифференциальной геометрии. Векторы в k- й внешней степени, или, точнее, сечения k -й внешней степени кокасательного расслоения , называются дифференциальными k -формами . Их можно рассматривать как переменные, полилинейные отображения на к касательным векторам. По этой причине касательные ковекторы часто называют одноформными .

использованная литература

• Авраам, Ральф Х .; Марсден, Джерролд Э. (1978), Основы механики , Лондон: Бенджамин-Каммингс, ISBN 978-0-8053-0102-1
• Йост, Юрген (2005), Риманова геометрия и геометрический анализ (4-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-25907-7
• Ли, Джон М. (2003), Введение в гладкие многообразия , Springer Graduate Texts in Mathematics, 218 , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95448-6
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип ; Уиллер, Джон Арчибальд (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0