Ортонормальность - Orthonormality

В линейной алгебре два вектора во внутреннем пространстве произведения являются ортонормированными, если они ортогональны (или перпендикулярны вдоль линии) единичными векторами . Набор векторов образует ортонормированный набор, если все векторы в наборе взаимно ортогональны и все имеют единичную длину. Ортонормированное множество, составляющее основу , называется ортонормированным базисом .

Интуитивно понятный обзор

Построение ортогональности векторов мотивировано желанием распространить интуитивное понятие перпендикулярных векторов на многомерные пространства. В декартовой плоскости два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними составляет 90 ° (т. Е. Если они образуют прямой угол ). Это определение можно формализовать в декартовом пространстве, задав скалярное произведение и указав, что два вектора на плоскости ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.

Точно так же построение нормы вектора мотивировано желанием распространить интуитивное понятие длины вектора на многомерные пространства. В декартовом пространстве норма вектора - это квадратный корень из вектора, пунктирного над самим собой. Это,

${\ Displaystyle \ | \ mathbf {х} \ | = {\ sqrt {\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x}}}}$

Многие важные результаты в линейной алгебре относятся к совокупности двух или более ортогональных векторов. Но часто бывает проще иметь дело с векторами единичной длины . То есть часто упрощается рассмотрение только векторов, норма которых равна 1. Понятие ограничения ортогональных пар векторов только теми, которые имеют единичную длину, достаточно важно, чтобы дать ему особое имя. Два ортогональных вектора длины 1 называются ортонормированными .

Простой пример

Как выглядит пара ортонормированных векторов в двумерном евклидовом пространстве?

Пусть u = (x ₁ , y ₁ ) и v = (x ₂ , y ₂ ). Рассмотрим ограничения на x ₁ , x ₂ , y ₁ , y _2, необходимые для того, чтобы u и v образовали ортонормированную пару.

• Из ограничения ортогональности u • v = 0.
• Из ограничения единичной длины на u , || u || = 1.
• Из ограничения единичной длины на v , || v || = 1.

Расширение этих терминов дает 3 уравнения:

1. ${\ displaystyle x_ {1} x_ {2} + y_ {1} y_ {2} = 0 \ quad}$
2. ${\ displaystyle {\ sqrt {{x_ {1}} ^ {2} + {y_ {1}} ^ {2}}} = 1}$
3. ${\ displaystyle {\ sqrt {{x_ {2}} ^ {2} + {y_ {2}} ^ {2}}} = 1}$

Преобразование из декартовых координат в полярные и рассмотрение уравнения и уравнения немедленно дает результат r ₁ = r ₂ = 1. Другими словами, требование, чтобы векторы были единичной длины, ограничивает их расположение на единичной окружности . ${\ displaystyle (2)}$${\ displaystyle (3)}$

После замены Equation становится . Перестановка дает . Использование тригонометрического тождества для преобразования члена котангенса дает ${\ displaystyle (1)}$${\ displaystyle \ cos \ theta _ {1} \ cos \ theta _ {2} + \ sin \ theta _ {1} \ sin \ theta _ {2} = 0}$${\ displaystyle \ tan \ theta _ {1} = - \ cot \ theta _ {2}}$

${\ displaystyle \ tan (\ theta _ {1}) = \ tan \ left (\ theta _ {2} + {\ tfrac {\ pi} {2}} \ right)}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow \ theta _ {1} = \ theta _ {2} + {\ tfrac {\ pi} {2}}}$

Понятно, что на плоскости ортонормированные векторы - это просто радиусы единичной окружности, разность углов которой равна 90 °.

Определение

Позвольте быть внутренним пространством продукта . Набор векторов ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$

${\ displaystyle \ left \ {u_ {1}, u_ {2}, \ ldots, u_ {n}, \ ldots \ right \} \ in {\ mathcal {V}}}$

называется ортонормированным тогда и только тогда, когда

${\ displaystyle \ forall i, j: \ langle u_ {i}, u_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}}$

где - дельта Кронекера, а - скалярное произведение, определенное выше . ${\ displaystyle \ delta _ {ij} \,}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$

Значимость

Ортонормированные множества сами по себе не имеют особого значения. Однако они демонстрируют определенные особенности, которые делают их фундаментальными при изучении понятия диагонализуемости некоторых операторов в векторных пространствах.

Характеристики

Ортонормированные наборы обладают некоторыми очень привлекательными свойствами, благодаря которым с ними особенно легко работать.

• Теорема . Если { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } - ортонормированный список векторов, то

${\ displaystyle \ forall {\ textbf {a}}: = [a_ {1}, \ cdots, a_ {n}]; \ || a_ {1} {\ textbf {e}} _ {1} + a_ { 2} {\ textbf {e}} _ {2} + \ cdots + a_ {n} {\ textbf {e}} _ {n} || ^ {2} = | a_ {1} | ^ {2} + | a_ {2} | ^ {2} + \ cdots + | a_ {n} | ^ {2}}$

• Теорема . Каждый ортонормированный список векторов линейно независим .

Существование

• Теорема Грама-Шмидта . Если { v ₁ , v ₂ , ..., v _n } является линейно независимым списком векторов в пространстве внутреннего произведения, то существует ортонормированный список { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } из векторы втаких, что span ( e ₁ , e ₂ , ..., e _n ) = span ( v ₁ , v ₂ , ..., v _n ).${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$

Доказательство теоремы Грама-Шмидта конструктивно и подробно обсуждается в другом месте. Теорема Грама-Шмидта вместе с выбранной аксиомой гарантирует, что каждое векторное пространство допускает ортонормированный базис. Это, возможно, наиболее важное применение ортонормированности, поскольку этот факт позволяет обсуждать операторы в пространствах внутреннего произведения с точки зрения их действия на ортонормированные базисные векторы пространства. В результате возникает глубокая взаимосвязь между диагонализуемостью оператора и тем, как он действует на ортонормированные базисные векторы. Эта связь описывается спектральной теоремой .

Примеры

Стандартная основа

Стандартный базис для координатного пространства F ^п является

{ e 1 , e 2 , ..., e n }, где	е 1 = (1, 0, ..., 0)
	е 2 = (0, 1, ..., 0)
	${\ displaystyle \ vdots}$
	e n = (0, 0, ..., 1)

Любые два вектора e _i , e _j, где i ≠ j, ортогональны, и все векторы явно имеют единичную длину. Итак, { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } образует ортонормированный базис.

Функции с действительным знаком

Когда речь идет о реальных значных функций , как правило, L² внутренний продукт предполагается , если не указано иное. Две функции и ортонормированы на интервале, если ${\ Displaystyle \ фи (х)}$${\ Displaystyle \ psi (х)}$ ${\ Displaystyle [а, б]}$

${\ displaystyle (1) \ quad \ langle \ phi (x), \ psi (x) \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} \ phi (x) \ psi (x) dx = 0, \ quad {\ rm {и}}}$

${\ displaystyle (2) \ quad || \ phi (x) || _ {2} = || \ psi (x) || _ {2} = \ left [\ int _ {a} ^ {b} | \ phi (x) | ^ {2} dx \ right] ^ {\ frac {1} {2}} = \ left [\ int _ {a} ^ {b} | \ psi (x) | ^ {2} dx \ right] ^ {\ frac {1} {2}} = 1.}$

Ряд Фурье

Ряд Фурье представляет собой способ выражения периодической функции в терминах синусоидальных базисных функций. Взяв C [−π, π] как пространство всех действительных функций, непрерывных на интервале [−π, π], и взяв за скалярное произведение

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) g (x) dx}$

можно показать, что

${\ displaystyle \ left \ {{\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}}, {\ frac {\ sin (x)} {\ sqrt {\ pi}}}, {\ frac {\ sin (2x)} {\ sqrt {\ pi}}}, \ ldots, {\ frac {\ sin (nx)} {\ sqrt {\ pi}}}, {\ frac {\ cos (x)} {\ sqrt {\ pi}}}, {\ frac {\ cos (2x)} {\ sqrt {\ pi}}}, \ ldots, {\ frac {\ cos (nx)} {\ sqrt {\ pi}}} \ вправо \}, \ quad n \ in \ mathbb {N}}$

образует ортонормированный набор.

Однако это не имеет большого значения, потому что C [−π, π] бесконечномерно, и конечный набор векторов не может его охватить. Но снятие ограничения конечности n делает множество плотным в C [−π, π] и, следовательно, ортонормированным базисом C [−π, π].

Смотрите также

• Ортогонализация

Источники

• Акслер, Шелдон (1997), Linear Algebra Done Done Right (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 106–110 , ISBN 978-0-387-98258-8
• Чен, Вай-Кай (2009), Основы схем и фильтров (3-е изд.), Бока Ратон : CRC Press , стр. 62 , ISBN 978-1-4200-5887-1