Аффинная связь - Affine connection

Аффинная связность на сфере катит аффинную касательную плоскость из одной точки в другую. При этом точка контакта очерчивает кривую на плоскости: развитие .

В дифференциальной геометрии , аффинная связность является геометрический объект на гладком многообразии , который соединяет соседние касательные пространства , так что это позволяет касательные векторные поля должны быть дифференцированы , как если бы они были функции на многообразии со значениями в фиксированном векторном пространстве . Соединения являются одними из самых простых методов определения дифференциации участков из векторных расслоений .

Понятие аффинной связности уходит корнями в геометрию XIX века и тензорное исчисление , но не было полностью развито до начала 1920-х годов Эли Картаном (как часть его общей теории связностей ) и Германом Вейлем (который использовал это понятие как часть его основ общей теории относительности ). Терминология принадлежит Картану и берет свое начало от идентификации касательных пространств в евклидовом пространстве R n путем перевода: идея состоит в том, что выбор аффинной связности делает многообразие бесконечно малым, как евклидово пространство, не только гладко, но и как аффинное пространство. .

На любом многообразии положительной размерности бесконечно много аффинных связностей. Если в дальнейшем многообразие наделено метрическим тензором, то есть естественный выбор аффинной связности, называемый связностью Леви-Чивиты . Выбор аффинной связности эквивалентен предписанию способа дифференцирования векторных полей, который удовлетворяет нескольким разумным свойствам ( линейность и правило Лейбница ). Это дает возможное определение аффинной связности как ковариантной производной или (линейной) связности на касательном расслоении . Выбор аффинной связи также эквивалентен понятию параллельного переноса , который представляет собой метод переноса касательных векторов по кривым. Это также определяет параллельную транспортировку пакета кадров . Бесконечно малый параллельный перенос в связке фреймов дает другое описание аффинной связи, либо как соединение Картана для аффинной группы, либо как главное соединение в связке фреймов.

Основными инвариантами аффинной связности являются ее кручение и кривизна . Кручение измеряет, насколько точно скобка Ли векторных полей может быть восстановлена ​​из аффинной связности. Аффинные связи могут также использоваться для определения (аффинных) геодезических на многообразии, обобщая прямые линии евклидова пространства, хотя геометрия этих прямых может сильно отличаться от обычной евклидовой геометрии ; основные отличия заключаются в кривизне соединения.

Мотивация и история

Гладкое многообразие является математическим объектом , который выглядит как локально гладкой деформации евклидовом пространстве R п : например , гладкая кривая или поверхность выглядит локально как гладкой деформации линии или плоскости. Гладкие функции и векторные поля могут быть определены на многообразиях так же, как они могут быть определены на евклидовом пространстве, а скалярные функции на многообразиях могут быть дифференцированы естественным образом. Однако дифференцирование векторных полей менее прямолинейно: это простой вопрос в евклидовом пространстве, потому что касательное пространство базируемых векторов в точке p может быть естественным образом идентифицировано (переводом) с касательным пространством в соседней точке q . На общем многообразии нет такого естественного отождествления между соседними касательными пространствами, и поэтому касательные векторы в соседних точках нельзя сравнивать четко определенным образом. Для решения этой проблемы было введено понятие аффинной связности путем соединения близлежащих касательных пространств. Истоки этой идеи можно проследить до двух основных источников: теории поверхностей и тензорного исчисления .

Мотивация из теории поверхности

Рассмотрим гладкую поверхность S в трехмерном евклидовом пространстве. Вблизи любой точки S можно аппроксимировать касательной плоскостью в этой точке, которая является аффинным подпространством евклидова пространства. Дифференциальные геометры в 19 веке интересовались концепцией развития, при которой одна поверхность катилась по другой без скольжения или скручивания . В частности, касательную плоскость к точке S можно катить по S : это должно быть легко представить, когда S представляет собой поверхность, подобную 2-сфере, которая является гладкой границей выпуклой области. По мере того как касательная плоскость прокатывают на S , точки контакта следов из кривых на S . И наоборот, если задана кривая на S , касательная плоскость может катиться по этой кривой. Это позволяет идентифицировать касательные плоскости в разных точках кривой: в частности, касательный вектор в касательном пространстве в одной точке кривой идентифицируется с уникальным касательным вектором в любой другой точке кривой. Эти отождествления всегда даются аффинными преобразованиями из одной касательной плоскости в другую.

Это понятие параллельного переноса касательных векторов посредством аффинных преобразований вдоль кривой имеет характерную особенность: точка контакта касательной плоскости с поверхностью всегда перемещается вместе с кривой при параллельном переносе (т. Е. Когда касательная плоскость катится вдоль поверхность, точка контакта перемещается). Это общее условие характерно для картановских связностей . В более современных подходах точка контакта рассматривается как начало координат в касательной плоскости (которая затем является векторным пространством), а перемещение начала координат корректируется смещением, так что параллельный перенос является линейным, а не аффинным.

Однако с точки зрения картановских связностей аффинные подпространства евклидова пространства являются модельными поверхностями - они являются простейшими поверхностями в трехмерном евклидовом пространстве и однородны относительно аффинной группы плоскости - и каждая гладкая поверхность имеет уникальную касательная к ней поверхность модели в каждой точке. Эти модельные поверхности являются геометриями Клейна в смысле программы Феликса Кляйна на Эрлангене . В более общем смысле, n -мерное аффинное пространство - это геометрия Клейна для аффинной группы Aff ( n ) , стабилизатор точки - общая линейная группа GL ( n ) . Тогда аффинное n -многообразие - это многообразие, бесконечно похожее на n -мерное аффинное пространство.

Мотивация из тензорного исчисления

Исторически сложилось так, что люди использовали ковариантную производную (или связь Леви-Чивиты, задаваемую метрикой) для описания скорости изменения вектора вдоль направления другого вектора. Здесь, на проколотом двумерном евклидовом пространстве, синее векторное поле X повсюду отправляет одну форму d r равной 0,07. Красное векторное поле Y повсюду отправляет одну форму r d θ на 0,5 r . Одобренные метрика d сек 2 = D г 2 + Г 2 д θ 2 , связность Леви-Чивита Y Х равно 0 всюду, что указывает на X не имеет каких - либо изменений вдоль Y . Другими словами, X- параллель перемещается по каждой концентрической окружности. X Y = Y / r везде, что повсюду направляет r d θ равным 0,5, подразумевая, что Y имеет «постоянную» скорость изменения в радиальном направлении.

Вторая мотивация для аффинных связей исходит из понятия ковариантной производной векторных полей. До появления методов, не зависящих от координат, необходимо было работать с векторными полями, встраивая соответствующие евклидовы векторы в атлас . Эти компоненты можно дифференцировать, но производные не трансформируются управляемым образом при изменении координат. Поправочные члены были введены Элвином Бруно Кристоффелем (следуя идеям Бернхарда Римана ) в 1870-х годах, так что (скорректированная) производная одного векторного поля вдоль другого трансформировалась ковариантно при преобразованиях координат - эти поправочные члены впоследствии стали известны как символы Кристоффеля .

Эта идея была развита в теории абсолютного дифференциального исчисления (ныне известное как тензорное исчисление ) Грегорио Риччи-Курбастро и его учеником Туллио Леви-Чивита между 1880 и началом 20-го века.

Тензор исчисление действительно ожил, однако, с появлением Альберта Эйнштейна теории «s в общей теории относительности в 1915 году через несколько лет после этого, Леви-Чивита формализованных уникальную связь , связанную с римановой метрикой, теперь известный как Леви-Чивита подключение . Затем около 1920 г. были изучены более общие аффинные связи Германом Вейлем , который разработал подробные математические основы общей теории относительности, и Эли Картаном , который связал их с геометрическими идеями, исходящими из теории поверхностей.

Подходы

Сложная история привела к развитию самых разных подходов и обобщений концепции аффинной связи.

Наиболее популярным подходом, вероятно, является определение, основанное на ковариантных производных. С одной стороны, идеи Вейля были подхвачены физиками в форме калибровочной теории и калибровочно-ковариантных производных . С другой стороны, понятие ковариантного дифференцирования было абстрагировано Жаном-Луи Кошулем , который определил (линейные или Кошулевские) связности на векторных расслоениях . На этом языке аффинная связность - это просто ковариантная производная или (линейная) связность на касательном расслоении .

Однако этот подход не объясняет ни геометрию, лежащую в основе аффинных связей, ни то, как они получили свое название. Термин действительно берет свое начало в идентификации касательных пространств в евклидовом пространстве путем перевода: это свойство означает, что евклидово n -пространство является аффинным пространством . (В качестве альтернативы, евклидово пространство является главным однородным пространством или торсором в группе переводов, которая является подгруппой аффинной группы.) Как упоминалось во введении, есть несколько способов сделать это точным: один использует тот факт, что аффинное соединение определяет понятие параллельного переноса векторных полей по кривой. Это также определяет параллельную транспортировку пакета кадров . Бесконечно малый параллельный перенос в связке кадров дает другое описание аффинной связи, либо как связь Картана для аффинной группы Aff ( n ), либо как главную связь GL ( n ) на связке кадров.

Формальное определение как дифференциальный оператор

Пусть M гладкое многообразие , и пусть Γ (T M ) пространство векторных полей на М , то есть пространство гладких сечений в касательном расслоении T M . Тогда аффинная связность на M - это билинейное отображение

такое, что для всех f из множества гладких функций на M , записанных C ( M , R ) , и всех векторных полей X , Y на M :

  1. fX Y = fX Y , то есть является C ( M , R ) - линейным по первой переменной;
  2. X ( fY ) = ∂ X f Y + fX Y , где X обозначает производную по направлению ; то есть, удовлетворяет Лейбниц правило во второй переменной.

Элементарные свойства

  • Из свойства 1 выше следует, что значение X Y в точке xM зависит только от значения X в точке x, а не от значения X на M - { x } . Из свойства 2 выше также следует, что значение X Y в точке xM зависит только от значения Y в окрестности точки x .
  • Если 1 , ∇ 2 являются аффинные связности , то значение по х из 1
    х
    Y - ∇2
    х
    Y
    можно записать как Γ x ( X x , Y x ), где
    является билинейным и гладко зависит от x (т. е. определяет гомоморфизм гладкого расслоения ). Наоборот, если - аффинная связность и Γ - такой гладкий гомоморфизм билинейных расслоений (называемый формой связности на M ), то ∇ + Γ - аффинная связность.
  • Если M - открытое подмножество R n , то касательное расслоение к M является тривиальным расслоением M × R n . В этой ситуации существует каноническая аффинная связность d на M : любое векторное поле Y задается гладкой функцией V из M в R n ; тогда d X Y - векторное поле, соответствующее гладкой функции d V ( X ) = ∂ X Y от M к R n . Любая другая аффинная связность на M , следовательно , может быть записана ∇ = d + Γ , где Γ является формой связности на М .
  • В более общем смысле, локальная тривиализация касательного расслоения - это изоморфизм расслоения между ограничением T M на открытое подмножество U в M и U × R n . Ограничение аффинной связности на U , то может быть записана в виде D + Г , где Γ является формой соединения на U .

Параллельный транспорт для аффинных соединений

Параллельный перенос касательного вектора по кривой в сфере.

Сравнение касательных векторов в разных точках на многообразии, как правило, не является четко определенным процессом. Аффинное соединение предоставляет один способ исправить это, используя понятие параллельного транспорта , и, действительно, его можно использовать для определения аффинного соединения.

Пусть M - многообразие с аффинной связностью . Тогда векторное поле Х называется параллельно , если X = 0 в том смысле , что для любого векторного поля Y , Y Х = 0 . Интуитивно говоря, все производные параллельных векторов равны нулю и, следовательно, в некотором смысле постоянны . Оценивая параллельное векторное поле в двух точках x и y , получается идентификация между касательным вектором в x и одним в y . Такие касательные векторы называются параллельными переносами друг друга.

Ненулевое параллельных векторных полей этого не сделать, в общем, существует, потому что уравнение Х = 0 является парциальное дифференциальное уравнение , которое переопределена : условие интегрируемости для этого уравнения является равенство нулю кривизны в (смотри ниже). Однако, если это уравнение ограничено кривой от x до y, оно становится обыкновенным дифференциальным уравнением . Тогда существует единственное решение для любого начального значения X в точке x .

Точнее, если γ  : IM - гладкая кривая, параметризованная отрезком [ a , b ] и ξ ∈ T x M , где x = γ ( a ) , то векторное поле X вдоль γ (и, в частности, значение этого векторного поля в точке y = γ ( b ) ) называется параллельным переносом ξ вдоль γ, если

  1. γ ′ ( t ) X = 0 для всех t ∈ [ a , b ]
  2. X γ ( a ) = ξ .

Формально, первое условие означает , что X параллельна относительно соединения вытягиванию на откатах пучка гамма * T M . Однако при локальной тривиализации это система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка , которая имеет единственное решение для любого начального условия, задаваемого вторым условием (например, теоремой Пикара – Линделёфа ).

Таким образом, параллельный перенос обеспечивает способ перемещения касательных векторов вдоль кривой с использованием аффинной связи, чтобы они «указывали в одном направлении» в интуитивном смысле, и это обеспечивает линейный изоморфизм между касательными пространствами на двух концах кривой. Изоморфизм , полученный таким образом, в общем случае зависит от выбора кривой: если этого не произойдет , то параллельный перенос вдоль каждой кривой может быть использована для определения параллельных векторных полей на М , которые могут происходить , только если кривизна равна нулю .

Линейный изоморфизм определяется его действием на упорядоченный базис или каркас . Следовательно, параллельный транспорт можно также охарактеризовать как способ транспортировки элементов (касательной) связки рам GL ( M ) по кривой. Другими словами, аффинная связность поднимает любую кривую γ в M до кривой γ̃ в GL ( M ) .

Формальное определение на связке кадров

Аффинная связь может также быть определена как главная GL ( п ) соединения со на раме расслоения F M или GL ( M ) многообразия M . Более подробно, ω - гладкое отображение касательного расслоения T (F M ) расслоения реперов в пространство матриц размера n × n (которое является алгеброй Ли gl ( n ) группы Ли GL ( n ) обратимых n × n матриц), удовлетворяющих двум свойствам:

  1. ω является эквивариантным относительно действия GL ( п ) на Т (Р М ) и гл ( п ) ;
  2. ω ( X ξ ) = ξ для любого ξ из gl ( n ) , где X ξ - векторное поле на F M, соответствующее ξ .

Такое соединение ω сразу определяет ковариантную производную не только от касательного расслоения, а на векторных расслоений , связанный с какой - либо группы представления в GL ( п ) , в том числе пучков тензоров и плотности тензора . Наоборот, аффинная связность на касательном расслоении определяет аффинную связность на расслоении реперов, например, требуя, чтобы ω обращалась в нуль на касательных векторах к подъемам кривых в расслоение реперов, определенное параллельным переносом.

Комплект кадров также снабжен припоем θ  : T (F M ) → R n, который является горизонтальным в том смысле, что он обращается в нуль на вертикальных векторах, таких как значения точек векторных полей X ξ : действительно, θ сначала определяется как проектируя касательный вектор (к F M в репере f ) на M , затем беря компоненты этого касательного вектора на M относительно шкалы f . Обратите внимание, что θ также является GL ( n ) -эквивариантным (где GL ( n ) действует на R n умножением матриц).

Пара ( θ , ω ) определяет изоморфизм расслоений из Т (Р М ) с тривиального расслоения F M × АРР ( п ) , где АРР ( п ) является декартово произведение из R п и гл ( п ) (рассматривается как Алгебра Ли аффинной группы, которая на самом деле является полупрямым произведением - см. Ниже).

Аффинные связи как связи Картана

Аффинные связи могут быть определены в общих рамках Картана. В современном подходе это тесно связано с определением аффинных связей на связке фреймов. Действительно, в одной формулировке связность Картана - это абсолютный параллелизм главного расслоения, удовлетворяющий подходящим свойствам. С этой точки зрения aff ( n ) -значная однозначная форма ( θ , ω ): T (F M ) → aff ( n ) на расслоении реперов ( аффинного многообразия ) является связностью Картана. Однако оригинальный подход Картана отличался от этого во многих отношениях:

  • концепции комплектов фреймов или основных комплектов не существовало;
  • связь рассматривалась с точки зрения параллельного переноса между бесконечно близкими точками;
  • этот параллельный перенос был скорее аффинным, чем линейным;
  • транспортируемые объекты были не касательными векторами в современном понимании, а элементами аффинного пространства с отмеченной точкой, которую связь Картана в конечном итоге отождествляет с касательным пространством.

Объяснения и историческая интуиция

Поднятые вопросы проще всего объяснить в обратном порядке, исходя из мотивации, обеспечиваемой теорией поверхностей. В этой ситуации, хотя самолеты прокатываемых по поверхности касательные плоскость в наивном смысле, понятие касательного пространства действительно является бесконечно малым понятие, в то время как самолеты, так как аффинные подпространства из R 3 , являются бесконечной протяженностью. Однако все эти аффинные плоскости имеют отмеченную точку, точку контакта с поверхностью, и они касаются поверхности в этой точке. Таким образом, возникает путаница, потому что аффинное пространство с отмеченной точкой можно отождествить с касательным пространством в этой точке. Однако параллельный перенос, определяемый качением, не фиксирует этого источника: он скорее аффинный , чем линейный; линейно-параллельный перенос можно восстановить, применив перенос.

Таким образом, абстрагируясь от этой идеи, аффинное многообразие должно быть n -многообразием M с аффинным пространством A x размерности n , присоединенным к каждому xM в отмеченной точке a xA x , вместе с методом транспортировки элементов эти аффинные пространства вдоль любой кривой C в M . Этот метод требуется для выполнения нескольких свойств:

  1. для любых двух точек x , y на C параллельный перенос является аффинным преобразованием из A x в A y ;
  2. параллельный перенос определяется бесконечно малым образом в том смысле, что он дифференцируем в любой точке на C и зависит только от касательного вектора к C в этой точке;
  3. производная параллельного переноса в точке x определяет линейный изоморфизм от T x M к T a x A x .

Эти последние два пункта довольно сложно уточнить, поэтому аффинные связи чаще определяются бесконечно малыми. Чтобы обосновать это, достаточно рассмотреть, как аффинные системы отсчета преобразуются бесконечно малым образом по отношению к параллельному переносу. (Это источник метода подвижных реперов Картана .) Аффинный репер в точке состоит из списка ( p , e 1 ,… e n ) , где pA x, а e i образуют базис T p ( А х ) . Тогда аффинная связность символически задается дифференциальной системой первого порядка

определяется набором одноформ ( θ  j , ω j
i
)
. Геометрически аффинная система отсчета претерпевает перемещение по кривой γ от γ ( t ) к γ ( t + δt ), заданное (приблизительно или бесконечно малым) соотношением

Кроме того, аффинные пространства А х , должны быть касательная к М в неформальном смысле , что смещение в й вдоль гаммы может быть идентифицированы (приблизительно или бесконечно) с касательным вектором γ '( т ) к Г при х = γ ( t ) (бесконечно малое смещение x ). С

где θ определяется как θ ( X ) = θ 1 ( X ) e 1 +… + θ n ( X ) e n , это отождествление задается θ , поэтому требуется, чтобы θ был линейным изоморфизмом в каждой точке.

Тангенциальное аффинное пространство х , таким образом , идентифицируются интуитивно с бесконечно малыми аффинными окрестностями от й .

Современная точка зрения уточняет всю эту интуицию с помощью основных связок (основная идея состоит в том, чтобы заменить фрейм или переменный фрейм пространством всех фреймов и функций в этом пространстве). Он также обращает на вдохновение Феликса Клейна «ы программы Erlangen , в которой геометрия определена , чтобы быть однородным пространством . Аффинное пространство в этом смысле является геометрией и снабжено плоской связностью Картана. Таким образом, общее аффинное многообразие рассматривается как криволинейная деформация плоской модельной геометрии аффинного пространства.

Аффинное пространство как геометрия плоской модели

Определение аффинного пространства

Неформально аффинное пространство - это векторное пространство без фиксированного выбора начала координат . Он описывает геометрию точек и свободных векторов в пространстве. Вследствие отсутствия начала координат точки в аффинном пространстве не могут быть сложены вместе, так как это требует выбора начала координат, с помощью которого формируется закон параллелограмма для сложения векторов. Однако вектор v может быть добавлен к точке p , помещая начальную точку вектора в p и затем перемещая p в конечную точку. Операция , описанная таким образом , рр + v является перевод из р вдоль V . С технической точки зрения аффинное n -пространство - это множество A n, снабженное свободным транзитивным действием векторной группы R n на нем посредством этой операции переноса точек: A n , таким образом, является главным однородным пространством для векторной группы R n .

Линейная группа GL ( п ) является группой преобразований из R п , сохраняющих линейную структуру из R п в том смысле , что Т ( ср + м.т. ) = аТ ( v ) + ЬТ ( ш ) . По аналогии аффинная группа Aff ( n ) - это группа преобразований A n, сохраняющих аффинную структуру . Таким образом, φ ∈ Aff ( n ) должен сохранять сдвиги в том смысле, что

где T - общее линейное преобразование. Отображение, переводящее φ ∈ Aff ( n ) в T ∈ GL ( n ), является гомоморфизмом групп . Его ядро - это группа трансляций R n . Стабилизатор любой точки р в А , таким образом , может быть идентифицирован с GL ( п ) , используя эту проекцию: это реализует аффинную группу в качестве полупрямого продукта из GL ( п ) и R н и аффинного пространство как однородное пространство Aff ( п ) / GL ( п ) .

Аффинные фреймы и плоская аффинная связность

Аффинные рамки для A состоит из точки рA и основ ( е 1 , ... е п ) векторного пространства Т р = R н . Общая линейная группа GL ( n ) свободно действует на множестве F A всех аффинных фреймов, фиксируя p и преобразовывая базис ( e 1 ,… e n ) обычным способом, а отображение π посылает аффинный фрейм ( p ; e 1 ,… e n ) в p - фактор-отображение . Таким образом , Р является главным GL ( п ) расслоение над . Действие GL ( п ) естественным образом распространяется на свободное транзитивное действие аффинной группы Aff ( п ) на F A , так что Р является Ет ( п ) - торсор , и выбор опорного кадра идентифицирует F AA с главным расслоением Aff ( n ) → Aff ( n ) / GL ( n ) .

На F A есть набор из n + 1 функций, определяемых формулой

(как и раньше) и

После выбора базовой точки для A , это все функции со значениями в R n , поэтому можно взять их внешние производные, чтобы получить дифференциальные 1-формы со значениями в R n . Поскольку функции ε i образуют базис для R n в каждой точке F A , эти 1-формы должны быть выражены в виде сумм вида

для некоторого набора ( θ  i , ω k
j
) 1 ≤ i , j , kn
вещественнозначных одноформ на Aff ( n ) . Эта система из одного-форм на главном расслоении Р → A определяет аффинную связность на A .

Принимая внешнюю производную во второй раз, и используя тот факт , что d 2 = 0 , а также линейную независимость из ε я , получены следующие соотношения:

Это уравнения Маурера – Картана для группы Ли Aff ( n ) (отождествляемой с F A выбором системы отсчета). Более того:

Таким образом, формы ( ω j
i
)
Определяют плоскую основную связь на F AA .

Для строгого сравнения с мотивацией, следует определить фактически параллельный перенос в главном Aff ( п ) -расслоение над . Это можно сделать, перетянув F A гладким отображением φ  : R n × AA, определенным сдвигом. Тогда композиция φ ′ ∗ F A → F AA является главным Aff ( n ) -расслоением над A , а формы ( θ  i , ω  k
j
)
откатиться назад, чтобы получить плоскую главную Aff ( n ) -связь на этом пучке.

Общие аффинные геометрии: формальные определения

Аффинное пространство, как и любая гладкая геометрия Клейна , представляет собой многообразие, снабженное плоской связностью Картана. Более общие аффинные многообразия или аффинные геометрии легко получить, отказавшись от условия плоскостности, выраженного уравнениями Маурера-Картана. Есть несколько способов приблизиться к определению, и мы приведем два. Оба определения облегчаются осознанием того, что 1-формы ( θ  i , ω k
j
)
в плоской модели подбираются вместе, чтобы дать 1-форму со значениями в алгебре Ли aff ( n ) аффинной группы Aff ( n ) .

В этих определениях M - гладкое n -многообразие, а A = Aff ( n ) / GL ( n ) - аффинное пространство той же размерности.

Определение через абсолютный параллелизм

Пусть М многообразие и Р главным GL ( п ) -расслоение над M . Тогда аффинная связность - это 1-форма η на P со значениями в aff ( n ), удовлетворяющая следующим свойствам

  1. η эквивариантно относительно действия GL ( n ) на P и aff ( n ) ;
  2. η ( X ξ ) = ξ для всех ξ в алгебре Ли gl ( n ) всехматриц размера n × n ;
  3. η - линейный изоморфизм каждого касательного пространства к P с aff ( n ) .

Последнее условие означает, что η является абсолютным параллелизмом на P , т. Е. Отождествляет касательное расслоение к P с тривиальным расслоением (в данном случае P × aff ( n ) ). Пара ( P , η ) определяет структуру аффинной геометрии на M , превращая ее в аффинное многообразие .

Аффинная алгебра Ли aff ( n ) распадается как полупрямое произведение R n и gl ( n ), поэтому η можно записать как пару ( θ , ω ), где θ принимает значения в R n, а ω принимает значения в gl ( n ) . Условия 1 и 2 эквивалентны тому, что ω является главной GL ( n ) -связностью, а θ - горизонтальной эквивариантной 1-формой, которая индуцирует гомоморфизм расслоения из T M в ассоциированное расслоение P × GL ( n ) R n . Условие 3 равносильно тому, что этот гомоморфизм расслоения является изоморфизмом. (Тем не менее, это разложение является следствием довольно специальной структуры аффинной группы.) Так как Р является рама пучком из P × GL ( п ) R п , то отсюда следует , что θ представляет собой расслоение изоморфизма между Р и рамой расслоения F М из М ; это восстанавливает определение аффинной связности в качестве основного GL ( п ) -связности на F M .

1-формы, возникающие в плоской модели, являются просто компонентами θ и ω .

Определение как основная аффинная связность

Аффинная связность на М является главным Ут ( п ) -расслоение Q над M , вместе с главным GL ( п ) -subbundle Р из Q и главного Aff ( п ) -связность α (1-форма на Q со значениями in aff ( n ) ), которая удовлетворяет следующему (общему) условию Картана . Компонента R n обратного преобразования α в P является горизонтальной эквивариантной 1-формой и, таким образом, определяет гомоморфизм расслоения из T M в P × GL ( n ) R n : требуется, чтобы это был изоморфизм.

Отношение к мотивации

Поскольку Aff ( n ) действует на A , с главным расслоением Q ассоциировано расслоение A = Q × Aff ( n ) A , которое является расслоением над M , слой которого в точке x в M является аффинным пространством A x . Раздел из А (определение отмеченной точки х в х для каждого хМ ) определяет основную GL ( п ) -subbundle P из Q (как пучок стабилизаторов этих отмеченных точек) , и наоборот. Основная связность α определяет связность Эресмана на этом расслоении, отсюда и понятие параллельного переноса. Условие Картана гарантирует, что выделенная секция a всегда перемещается при параллельном переносе.

Другие свойства

Кривизна и кручение

Кривизна и кручение - основные инварианты аффинной связности. Поскольку существует множество эквивалентных способов определения понятия аффинной связности, существует множество различных способов определения кривизны и кручения.

С точки зрения связности Картана, кривизна - это неспособность аффинной связности η удовлетворять уравнению Маурера – Картана

где второй член в левой части - это произведение клина, использующее скобку Ли в aff ( n ) для сжатия значений. Разложив η на пару ( θ , ω ) и используя структуру алгебры Ли aff ( n ) , эту левую часть можно разложить до двух формул

где произведения клина оцениваются с помощью матричного умножения. Первое выражение называется кручением соединения, а второе также называется кривизной.

Эти выражения являются дифференциальными 2-формами на всем пространстве связки фреймов. Однако они горизонтальны и эквивариантны и, следовательно, определяют тензорные объекты. Они могут быть определены непосредственно из индуцированной ковариантной производной на T M следующим образом .

Кручения дается формулой

Если кручение обращается в нуль, связь называется без кручения или симметричной .

Кривизна определяется формулой

Обратите внимание, что [ X , Y ] - скобка Ли векторных полей

в обозначениях Эйнштейна . Это не зависит от выбора системы координат и

касательный вектор в точке р из I - й координатной кривой . я являюсь естественной основой для касательного пространства в точке р , а Х  я соответствующие координаты для векторного поля Х = Х  яя .

Когда и кривизна, и кручение равны нулю, связность определяет структуру предлиевой алгебры на пространстве глобальных сечений касательного расслоения.

Связь Леви-Чивита

Если ( M , g ) - риманово многообразие, то существует единственная аффинная связность на M со следующими двумя свойствами:

  • связность без кручения, т. е. T равно нулю, так что X Y - ∇ Y X = [ X , Y ] ;
  • параллельный перенос является изометрией, т. е. внутренние произведения (определенные с помощью g ) между касательными векторами сохраняются.

Эта связь называется связью Леви-Чивита .

Термин «симметричный» часто используется вместо понятия «отсутствие кручения» для первого свойства. Второе условие означает, что связность является метрической связностью в том смысле, что риманова метрика g параллельна: g = 0 . Для связности без кручения условие эквивалентно тождеству X g ( Y , Z ) = g (∇ X Y , Z ) + g ( Y , ∇ X Z ) , «совместимость с метрикой». В локальных координатах компоненты формы называются символами Кристоффеля : из-за уникальности связи Леви-Чивиты существует формула для этих компонентов в терминах компонентов g .

Геодезические

Поскольку прямые линии являются понятием аффинной геометрии, аффинные связности определяют обобщенное понятие (параметризованных) прямых на любом аффинном многообразии, называемое аффинными геодезическими. Абстрактно параметрическая кривая γ  : IM является прямой линией, если ее касательный вектор остается параллельным и равноправным сам себе при перемещении вдоль γ . С линейной точки зрения аффинная связность M различает аффинные геодезические следующим образом: гладкая кривая γ  : IM является аффинной геодезической, если γ̇ параллельно переносится вдоль γ , т. Е.

где τс
т
 : T γ s M → T γ t M
- параллельная транспортная карта, определяющая соединение.

В терминах бесконечно малой связности из производной этого уравнения следует

для всех тI .

И наоборот, любое решение этого дифференциального уравнения дает кривую, касательный вектор которой переносится параллельно вдоль кривой. Для каждого хM и каждый Х ∈ Т х М , существует единственное аффинное геодезической γ  : IМ с γ (0) = х и Г (0) = Х и где я это максимальный открытый интервал в R , содержащий 0, на котором определена геодезическая. Это следует из теоремы Пикара – Линделёфа и позволяет дать определение экспоненциального отображения, связанного с аффинной связностью.

В частности, когда M - ( псевдо -) риманово многообразие, а - связность Леви-Чивиты , то аффинные геодезические - это обычные геодезические римановой геометрии и кривые, минимизирующие локальное расстояние.

Определенные здесь геодезические иногда называют аффинно параметризованными , так как данная прямая в M определяет параметрическую кривую γ, проходящую через линию с точностью до выбора аффинной репараметризации γ ( t ) → γ ( at + b ) , где a и b - константы . Касательный вектор к аффинной геодезической параллелен и равен себе. Непараметризованная геодезическая или геодезическая, которая просто параллельна сама себе, но не обязательно равнозначна, должна только удовлетворять

для некоторой функции k, определенной вдоль γ . Непараметризованные геодезические часто изучаются с точки зрения проективных связностей .

Разработка

Аффинная связь определяет понятие развития кривых. Интуитивно, разработка улавливает идею о том, что если x t - кривая в M , то аффинное касательное пространство в точке x 0 может катиться по кривой. При этом отмеченная точка контакта между касательным пространством и многообразием очерчивает кривую C t в этом аффинном пространстве: развитие x t .

Формально пусть τ0
т
 : T x t M → T x 0 M
- линейная параллельная транспортная карта, связанная с аффинной связностью. Тогда развертка C t - это кривая в T x 0 M, которая начинается в 0 и параллельна касательной к x t в течение всего времени t :

В частности, х т является геодезической тогда и только тогда , когда его развитие является аффинно параметризованных прямая в Т х 0 М .

Возвращение к теории поверхности

Если M - поверхность в R 3 , легко видеть, что M имеет естественную аффинную связность. Из линейной точки зрения его присоединения, ковариантная производная векторного поля определяется дифференцирование векторного поля, рассматриваемое как отображение из M в R 3 , а затем проецирование результата ортогонально обратно на касательных пространств М . Легко видеть, что эта аффинная связность не имеет кручения. Кроме того, это метрическая связь по отношению к римановой метрике на M, индуцированная скалярным произведением на R 3 , следовательно, это связность Леви-Чивиты этой метрики.

Пример: единичная сфера в евклидовом пространстве.

Пусть ⟨,⟩ - обычное скалярное произведение на R 3 , а S 2 - единичная сфера. Касательное пространство к S 2 в точке х естественным образом отождествляется с векторным подпространством R 3 , состоящей из всех векторов ортогональны х . Отсюда следует , что векторное поле Y на S 2 можно рассматривать как отображение Y  : S 2R 3 , которая удовлетворяет

Обозначим через d Y дифференциал (матрицу Якоби) такого отображения. Тогда у нас есть:

Лемма . Формула
определяет аффинную связность на S 2 с нулевым кручением.
Доказательство . Это просто , чтобы доказать , что удовлетворяет тождеству Лейбница и является C ( S 2 ) линейно по первой переменной. Итак, все, что здесь нужно доказать, - это то, что приведенная выше карта действительно определяет касательное векторное поле. То есть нам нужно доказать, что для всех x в S 2
Рассмотрим карту
Отображение f постоянно, поэтому его дифференциал равен нулю. Особенно
Уравнение 1 выше следует. QED

Смотрите также

Примечания


Цитаты

использованная литература

  • Акивис, Массачусетс; Розенфельд, Борис (1993). Эли Картан (1869–1951) . Перевод Гольдберга, В.В. АМС . ISBN 978-0-8218-5355-9.
  • Ли, Джон М. (1997). Римановы многообразия: введение в кривизну . Тексты для выпускников по математике . 176 . Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98322-6. OCLC  54850593 .
  • Ли, Джон М. (2018). Введение в римановы многообразия (2-е изд.). Springer Verlag . ISBN 978-3-319-91755-9.

Библиография

Первичные исторические ссылки

Трактовка Картана аффинных связей, мотивированная изучением теории относительности. Включает подробное обсуждение физики систем отсчета и того, как связь отражает физическое понятие транспорта по мировой линии .
Более математически мотивированный отчет об аффинных связях.
Аффинные связности с точки зрения римановой геометрии . В приложениях Роберта Германа обсуждаются мотивы теории поверхностей, а также понятие аффинных связей в современном понимании Кошуля. Он развивает основные свойства дифференциального оператора и связывает их с классическими аффинными связностями в смысле Картана.
  • Weyl, Hermann (1918), Raum, Zeit, Materie (5 изданий до 1922 г., с примечаниями Юргена Элерса (1980), переведенное 4-е издание « Пространство, время, материя » Генри Броза, 1922 г. (Methuen, перепечатано Dover в 1952 г.) изд. ), Springer, Берлин, ISBN 0-486-60267-2

Вторичные ссылки

Это основная ссылка на технические детали статьи. Том 1, глава III дает подробный отчет об аффинных связях с точки зрения основных расслоений на многообразии, параллельного переноса, развития, геодезических и связанных с ними дифференциальных операторов. Глава VI тома 1 дает отчет об аффинных преобразованиях, кручении и общей теории аффинной геодезии. Том 2 дает ряд приложений аффинных связностей к однородным пространствам и комплексным многообразиям , а также к другим различным темам.
Две статьи Лумисте, дающие точные условия на параллельных транспортных картах, чтобы они определяли аффинные связи. Они также рассматривают кривизну, кручение и другие стандартные темы с классической точки зрения (неглавное расслоение).
  • Шарп, Р. У. (1997), Дифференциальная геометрия: Обобщение Картаном программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN 0-387-94732-9.
Это заполняет некоторые исторические детали и обеспечивает более удобный для читателя элементарный отчет о связях Картана в целом. В Приложении А проясняется взаимосвязь между принципиальной связью и точками зрения абсолютного параллелизма. Приложение B устраняет разрыв между классической «катящейся» моделью аффинных связностей и современной, основанной на главных расслоениях и дифференциальных операторах.