Простая алгебра Ли - Simple Lie algebra

Группы Ли
Классические группы
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли
Полупростая алгебра Ли
Теория представлений
Группы Ли в физике
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

В алгебре простая алгебра Ли - это неабелева алгебра Ли , не содержащая ненулевых собственных идеалов. Классификация реальных простых алгебр Ли - одно из главных достижений Вильгельма Киллинга и Эли Картана .

Прямая сумма простых алгебр Ли называется полупростой алгеброй Ли .

Простая группа Ли является связной группы Ли , алгебра Ли проста.

Комплексные простые алгебры Ли

Конечномерная простая комплексная алгебра Ли изоморфна либо из следующих действий : , , ( классические алгебры Ли ) или один из пяти исключительных алгебр Ли . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {п} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {n} \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2n} \ mathbb {C}}$

Каждой конечномерной сложной полупростой алгебре Ли существует соответствующая диаграмма (называемая диаграммой Дынкина ), где узлы обозначают простые корни, узлы соединены (или не соединены) рядом линий в зависимости от углов между простыми корнями. корни и стрелки помещены, чтобы указать, корни длиннее или короче. Диаграмма Дынкина связна тогда и только тогда, когда проста. Все возможные связные диаграммы Дынкина следующие: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

где n - количество узлов (простых корней). Соответствие диаграмм и сложных простых алгебр Ли следующее:

(А _п )${\ displaystyle \ quad {\ mathfrak {sl}} _ {n + 1} \ mathbb {C}}$

(B _n )${\ displaystyle \ quad {\ mathfrak {so}} _ {2n + 1} \ mathbb {C}}$

(C _n )${\ Displaystyle \ quad {\ mathfrak {sp}} _ {2n} \ mathbb {C}}$

(D _n )${\ displaystyle \ quad {\ mathfrak {so}} _ {2n} \ mathbb {C}}$

Остальное - исключительные алгебры Ли .

Реальные простые алгебры Ли

Если это конечномерная вещественная простая алгебра Ли, ее комплексификация является либо (1) простой, либо (2) произведением простой комплексной алгебры Ли и ее сопряженной . Например, комплексификация мышления как реальной алгебры Ли . Таким образом, реальная простая алгебра Ли может быть классифицирована с помощью классификации сложных простых алгебр Ли и некоторой дополнительной информации. Это можно сделать с помощью диаграмм Сатаке, которые обобщают диаграммы Дынкина . См. Также Таблицу групп Ли # Вещественные алгебры Ли для частичного списка реальных простых алгебр Ли. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {п} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ mathbb {C} \ times {\ overline {{\ mathfrak {sl}} _ {n} \ mathbb {C}}}}$

Примечания

Смотрите также

• Простая группа Ли

использованная литература

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту  1153249 . OCLC  246650103 .
• Джейкобсон, Натан, алгебры Ли , переиздание оригинала 1962 года. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1979. ISBN  0-486-63832-4 ; В главе X рассматривается классификация простых алгебр Ли над полем нулевой характеристики.

• "Алгебра Ли, полупростая" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Простая алгебра Ли в nLab