Полупростая алгебра - Semisimple algebra

В теории колец , разделе математики, полупростая алгебра - это ассоциативная артиновая алгебра над полем, имеющая тривиальный радикал Джекобсона (только нулевой элемент алгебры находится в радикале Джекобсона). Если алгебра конечномерна, это равносильно тому, что она может быть выражена как декартово произведение простых подалгебр .

Определение

Jacobson радикал алгебры над полем идеал , состоящий из всех элементов , которые аннулируют каждый простой левый модуль. Радикал содержит все нильпотентные идеалы , а если алгебра конечномерна, то сам радикал является нильпотентным идеалом. При этом конечномерная алгебра называется полупростой, если ее радикал содержит только нулевой элемент.

Алгебра A называется простой, если у нее нет собственных идеалов и A ² = { ab | a , b ∈ A } ≠ {0}. Согласно терминологии, простые алгебры полупросты. Единственные возможные идеалы простой алгебры A - это A и {0}. Таким образом, если A простой, то A не нильпотентен. Поскольку ² является идеалом A и прост, ² = . По индукции A ⁿ = A для любого натурального числа n , т. Е. A не является нильпотентным.

Любая самосопряженная подалгебра из п × п матриц с комплексными элементами полупроста. Пусть Rad ( ) радикал группы А . Предположим, что матрица M принадлежит Rad ( A ). Тогда M * M лежит в некоторых нильпотентных идеалах A , поэтому ( M * M ) ^k = 0 для некоторого натурального числа k . Из-за положительной полуопределенности M * M это влечет M * M = 0. Таким образом, M x является нулевым вектором для всех x , т.е. M = 0.

Если { A _i } - конечный набор простых алгебр, то их декартово произведение Π A _i полупросто. Если ( a _i ) является элементом Rad ( A ) и e ₁ является мультипликативным тождеством в A ₁ (все простые алгебры обладают мультипликативным тождеством), то ( a ₁ , a ₂ , ...) · ( e ₁ , 0, ...) = ( a ₁ , 0 ..., 0) лежит в некотором нильпотентном идеале A _i . Это означает, для всех Ь в А ₁ , ₁ б нильпотентна в А ₁ , т.е. ₁ ∈ Rad ( ₁ ). Таким образом, a ₁ = 0. Аналогично, a _i = 0 для всех остальных i .

Из определения менее очевидно, что верно и обратное к вышеизложенному, то есть любая конечномерная полупростая алгебра изоморфна декартову произведению конечного числа простых алгебр. Ниже приводится полупростая алгебра, которая, по-видимому, не имеет такой формы. Пусть алгебра с Rad ( ) ≠ A . Фактор-алгебра B = A ⁄ Rad ( A ) полупроста: если J ненулевой нильпотентный идеал в B , то его прообраз при естественном отображении проекции является нильпотентным идеалом в A, который строго больше Rad ( A ); противоречие .

Характеристика

Пусть A - конечномерная полупростая алгебра и

${\ displaystyle \ {0 \} = J_ {0} \ subset \ cdots \ subset J_ {n} \ subset A}$

- композиционный ряд алгебры A , то A изоморфна следующему декартову произведению:

${\ displaystyle A \ simeq J_ {1} \ times J_ {2} / J_ {1} \ times J_ {3} / J_ {2} \ times ... \ times J_ {n} / J_ {n-1} \ times A / J_ {n}}$

где каждый

${\ Displaystyle J_ {я + 1} / J_ {я} \,}$

простая алгебра.

Доказательство можно схематично изложить следующим образом. Во-первых, используя предположение, что A полупроста, можно показать, что J ₁ - простая алгебра (следовательно, унитальная). Итак, J ₁ - унитальная подалгебра и идеал в J ₂ . Следовательно, можно разложить

${\ displaystyle J_ {2} \ simeq J_ {1} \ times J_ {2} / J_ {1}.}$

В силу максимальности J ₁ как идеала в J _2, а также полупростоты A алгебра

${\ Displaystyle J_ {2} / J_ {1} \,}$

это просто. Аналогичным образом индукция доказывает утверждение. Например, J ₃ - декартово произведение простых алгебр.

${\ displaystyle J_ {3} \ simeq J_ {2} \ times J_ {3} / J_ {2} \ simeq J_ {1} \ times J_ {2} / J_ {1} \ times J_ {3} / J_ { 2}.}$

Приведенный выше результат можно переформулировать иначе. Для полупростой алгебры A = A ₁ × ... × A _n, выраженной через ее простые факторы, рассмотрим единицы e _i ∈ A _i . Элементы Е _я = (0, ..., е _я , ..., 0) идемпотентные элементы в A , и они лежат в центре А . Кроме того, Е _я = _я , Е _я Е _J = 0 для я ≠ J и Е Е _я = 1, мультипликативной идентичности в A .

Следовательно, для любой полупростой алгебры A существуют идемпотенты { E _i } в центре A такие, что

1. E _i E _j = 0 для i ≠ j (такой набор идемпотентов называется центрально-ортогональным ),
2. Σ E _i = 1,
3. Изоморфна прямому произведению простых алгебр E ₁ A × ... × E _п A .

Классификация

Теорема Джозефа Веддерберна полностью классифицирует конечномерные полупростые алгебры над полем . Любая такая алгебра изоморфна конечному произведению, где - натуральные числа, - алгебры с делением над и алгебра матриц над . Этот продукт уникален до перестановки факторов. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ prod M_ {n_ {i}} (D_ {i})}$${\ displaystyle n_ {i}}$${\ displaystyle D_ {i}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M_ {n_ {i}} (D_ {i})}$${\ displaystyle n_ {i} \ times n_ {i}}$${\ displaystyle D_ {i}}$

Позднее Эмиль Артин обобщил эту теорему на полупростые кольца. Этот более общий результат называется теоремой Артина-Веддерберна .

использованная литература

Энциклопедия математики Спрингера