Атлас (топология) - Atlas (topology)

В математике , особенно в топологии , многообразие описывается с помощью атласа . Атлас состоит из отдельных карт, которые, грубо говоря, описывают отдельные области многообразия. Если многообразие - это поверхность Земли, то атлас имеет более общее значение. В общем, понятие атласа лежит в основе формального определения многообразия и связанных структур, таких как векторные расслоения и другие расслоения слоев .

Диаграммы

Определение атласа зависит от понятия диаграммы . Диаграмма для топологического пространства M (также называется координатной диаграммой , координаты патча , координаты карты , или локальный кадр ) является гомеоморфизмом из открытого подмножества U из M на открытое подмножество евклидова пространства . График традиционно записывается как упорядоченная пара . ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle (U, \ varphi)}$

Формальное определение атласа

An атлас для топологического пространства является индексированным семейством графиков на котором обложку (то есть ). Если кообластью каждой карты является n- мерное евклидово пространство , то говорят, что это n -мерное многообразие . ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ {(U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alpha}): \ alpha \ in I \}}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ textstyle \ bigcup _ {\ alpha \ in I} U _ {\ alpha} = M}$${\ displaystyle M}$

Множественное число атласа - это атласы , хотя некоторые авторы используют атланты .

Атлас на -мерном многообразии называется адекватным атласом, если образ каждой карты является либо, либо , является локально конечным открытым покрытием , и , где - открытый шар радиуса 1 с центром в начале координат, а - замкнутое полупространство . Каждое второе счетное многообразие допускает адекватный атлас. Кроме того, если есть открытое покрытие второго счетного многообразия , то имеется достаточный атлас на таким образом, что является усовершенствованием . ${\ displaystyle \ left (U_ {i}, \ varphi _ {i} \ right) _ {i \ in I}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {п}}$${\ displaystyle \ left (U_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle M = \ bigcup _ {я \ in I} \ varphi _ {я} ^ {- 1} \ left (B_ {1} \ right)}$${\ displaystyle B_ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {п}}$${\ displaystyle {\ mathcal {V}} = \ left (V_ {j} \ right) _ {j \ in J}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ left (U_ {i}, \ varphi _ {i} \ right) _ {i \ in I}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ left (U_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$

Карты переходов

${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle U _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle U _ {\ beta}}$

${\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle \ varphi _ {\ beta}}$

${\ Displaystyle \ тау _ {\ альфа, \ бета}}$

${\ Displaystyle \ тау _ {\ бета, \ альфа}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {п}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {п}}$

Две диаграммы на многообразии и соответствующие им карты переходов

Карта перехода позволяет сравнить две диаграммы атласа. Чтобы сделать это сравнение, мы рассматриваем состав одной диаграммы с инверсией другой. Эта композиция не является четко определенной, если мы не ограничиваем обе карты пересечением их областей определения. (Например, если у нас есть карта Европы и карта России, то мы можем сравнить эти две карты на их пересечении, а именно европейскую часть России.)

Чтобы быть более точным, предположим , что и две карты для многообразия М такое , что является непустым . Карта перехода - это карта, определяемая ${\ displaystyle (U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alpha})}$${\ displaystyle (U _ {\ beta}, \ varphi _ {\ beta})}$${\ Displaystyle U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ alpha, \ beta}: \ varphi _ {\ alpha} (U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta}) \ to \ varphi _ {\ beta} (U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta})}$

${\ displaystyle \ tau _ {\ alpha, \ beta} = \ varphi _ {\ beta} \ circ \ varphi _ {\ alpha} ^ {- 1}.}$

Обратите внимание, что поскольку и являются гомеоморфизмами, отображение перехода также является гомеоморфизмом. ${\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ beta}}$${\ Displaystyle \ тау _ {\ альфа, \ бета}}$

Больше структуры

Часто на многообразии требуется больше структуры, чем просто топологическая структура. Например, если нужно однозначное понятие дифференцирования функций на многообразии, необходимо построить атлас, функции переходов которого дифференцируемы . Такое многообразие называется дифференцируемым . Для дифференцируемого многообразия можно однозначно определить понятие касательных векторов, а затем производных по направлениям .

Если каждая функция перехода является гладким отображением , то атлас называется гладким атласом , а само многообразие называется гладким . В качестве альтернативы можно было бы потребовать, чтобы карты переходов имели только k непрерывных производных, и в этом случае называется атлас . ${\ displaystyle C ^ {k}}$

В общем случае, если каждая функция перехода принадлежит псевдогруппе гомеоморфизмов евклидова пространства, то атлас называется -атласом. Если карты переходов между картами атласа сохраняют локальную тривиализацию , то атлас определяет структуру пучка волокон. ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$

Смотрите также

• Гладкий атлас
• Гладкая рама

Рекомендации

Внешние ссылки

• Атлас Роуленда, Тодда