Расширение Alexandroff - Alexandroff extension

В математической области топологии , то расширение Alexandroff способ расширить некомпактное топологическое пространство , присоединяя одну точку таким образом , что полученное пространство является компактным . Он назван в честь русского математика Павла Александрова . Точнее, пусть X - топологическое пространство. Тогда расширение Александрова X - это некоторый компакт X * вместе с открытым вложением c  :  X  →  X *, такое что дополнение X в X * состоит из одной точки, обычно обозначаемой ∞. Отображение c является компактификацией Хаусдорфа тогда и только тогда, когда X - локально компактное некомпактное хаусдорфово пространство . Для таких пространств расширение Александрова называется одноточечной компактификацией или компактификацией Александрова . Преимущества компактификации Александрова заключаются в ее простой, часто геометрически значимой структуре и в том факте, что она в точном смысле минимальна среди всех компактификаций; недостаток заключается в том, что он дает компактификацию Хаусдорфа только на классе локально компактных, некомпактных хаусдорфовых пространств, в отличие от компактификации Стоуна – Чеха, которая существует для любого топологического пространства (но обеспечивает вложение именно для тихоновских пространств ).

Пример: обратная стереографическая проекция

Геометрически привлекательный пример одноточечной компактификации дает обратная стереографическая проекция . Напомним, что стереографическая проекция S дает явный гомеоморфизм единичной сферы за вычетом северного полюса (0,0,1) на евклидову плоскость. Обратная стереографическая проекция - это открытое плотное вложение в компактное хаусдорфово пространство, полученное присоединением дополнительной точки . В стереографической проекции широтные круги переходят в плоские окружности . Отсюда следует, что удаленный базис окрестности, заданный проколотыми сферическими шапками, соответствует дополнениям замкнутых плоских дисков . Более качественно, базис окрестности в обеспечивается наборами, поскольку K пробегает компактные подмножества . Этот пример уже содержит ключевые понятия общего случая.

Мотивация

Пусть - вложение топологического пространства X в компактное хаусдорфово топологическое пространство Y с плотным образом и одноточечным остатком . Тогда c ( X ) открыто в компактном хаусдорфовом пространстве, поэтому является локально компактным хаусдорфовым, следовательно, его гомеоморфный прообраз X также является локально компактным хаусдорфовым. Более того, если бы X было компактно, то c ( X ) было бы замкнуто в Y и, следовательно, не было бы плотным. Таким образом, пространство может допускать хаусдорфову одноточечную компактификацию только в том случае, если оно локально компактно, некомпактно и хаусдорфово. Более того, в такой одноточечной компактификации образ базиса окрестности для x в X дает базис окрестности для c ( x ) в c ( X ), и - поскольку подмножество компактного хаусдорфового пространства компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто - открытыми окрестностями должны быть все множества, полученные присоединением к образу под с подмножества X с компактным дополнением.

Расширение Александрова

Помещенный и топологизирует , взяв в качестве открытых множеств всех открытых подмножеств U из X вместе со всеми наборами , где C замкнуто и компактно в X . Здесь обозначает setminus . Обратите внимание , что открытая окрестность , и , таким образом, любое открытое покрытие будет содержать все , кроме компактного подмножества из , подразумевая , что компактно ( Келли 1975 , стр. 150).

Отображение включения называется расширение Alexandroff из X (Willard, 19А).

Все нижеприведенные свойства вытекают из приведенного выше обсуждения:

  • Отображение c непрерывно и открыто: оно включает X как открытое подмножество .
  • Пространство компактное.
  • Образ c ( X ) плотен в , если X некомпактно.
  • Пространство является Хаусдорфом тогда и только тогда , когда X хаусдорфов и локально компактно .
  • Пространство равно T 1 тогда и только тогда, когда X равно T 1 .

Компактификация по одной точке

В частности, расширение Александрова является хаусдорфовой компактификацией X тогда и только тогда, когда X хаусдорфово, некомпактно и локально компактно. В этом случае она называется одноточечной компактификацией или Alexandroff компактификацией из X .

Напомним из приведенного выше обсуждения, что любая компактификация Хаусдорфа с одним остаточным остатком обязательно (изоморфна) компактификации Александрова. В частности, если это Бикомпакт и является предельной точкой из (т.е. не изолированной точки ), является Alexandroff компактификацией .

Пусть X - любое некомпактное тихоновское пространство . При естественном частичном упорядочении на множестве классов эквивалентности компактификаций любой минимальный элемент эквивалентен расширению Александрова (Энгелькинг, теорема 3.5.12). Отсюда следует, что некомпактное тихоновское пространство допускает минимальную компактификацию тогда и только тогда, когда оно локально компактно.

Нехаусдорфовы одноточечные компактификации

Пусть - произвольное некомпактное топологическое пространство. Кто-то может захотеть определить все компактификации (не обязательно по Хаусдорфу), полученные путем добавления единственной точки, которые в этом контексте также можно назвать одноточечными компактификациями . Таким образом, каждый хочет определить все возможные способы дать компактную топологию, которая будет плотной в ней, а топология подпространства на индуцированной из такой же, как исходная топология. Последнее условие совместимости топологии автоматически означает, что она плотна в , потому что не компактна, поэтому она не может быть замкнута в компактном пространстве. Кроме того, это факт, что карта включения обязательно является открытым вложением, то есть должна быть открыта в, а топология на должна содержать каждый член . Таким образом, топология на определяется окрестностями . Любая окрестность обязательно является дополнением к замкнутому компактному подмножеству , как обсуждалось ранее.

Топологии, которые делают его компактификацией , следующие:

  • Александровское расширение определенного выше. Здесь мы берем дополнения ко всем замкнутым компактным подмножествам в качестве окрестностей . Это самая большая топология, обеспечивающая одноточечную компактификацию .
  • Открытая топология расширения . Здесь мы добавляем одну окрестность , а именно все пространство . Это наименьшая топология, обеспечивающая одноточечную компактификацию .
  • Любая промежуточная топология между двумя вышеперечисленными топологиями. Для окрестностей нужно выбрать подходящее подсемейство дополнений всех замкнутых компактных подмножеств ; например, дополнения ко всем конечным замкнутым компактным подмножествам или дополнения ко всем счетным замкнутым компактным подмножествам.

Дальнейшие примеры

Компактификации дискретных пространств

  • Одноточечная компактификация множества натуральных чисел гомеоморфна пространству, состоящему из K = {0} U {1 / n | n - положительное целое число} с топологией порядка.
  • Последовательность в топологическом пространстве сходится к точке in тогда и только тогда, когда отображение, заданное for in и, является непрерывным. Здесь есть дискретная топология .
  • Полиадические пространства определяются как топологические пространства, являющиеся непрерывным образом мощности одноточечной компактификации дискретного локально компактного хаусдорфового пространства.

Компактификации непрерывных пространств

  • Одноточечная компактификация n -мерного евклидова пространства R n гомеоморфна n- сфере S n . Как и выше, карта может быть явно задана как n- мерная обратная стереографическая проекция.
  • Одноточечная компактификация произведения копий полузакрытого интервала [0,1), то есть , является (гомеоморфной) .
  • Поскольку замыкание связного подмножества связно, связное расширение Александрова некомпактного связного пространства. Однако одноточечная компактификация может «соединить» разъединенное пространство: например, одноточечная компактификация несвязного объединения конечного числа копий интервала (0,1) представляет собой клин окружностей .
  • Одноточечная компактификация непересекающегося объединения счетного числа копий отрезка (0,1) - это гавайская серьга . Это отличается от клина из счетного числа окружностей, который не компактен.
  • Учитывая компактный Хаусдорф и любое замкнутое подмножество , одноточечная компактификация является , где косая черта обозначает фактор-пространство .
  • Если и являются локально компактными по Хаусдорфу, то где же произведение разбиения . Напомним, что определение разбивающего продукта: где - сумма клина , и снова / обозначает фактор-пространство.

Как функтор

Расширение Александрова можно рассматривать как функтор из категории топологических пространств с собственными непрерывными отображениями как морфизмы в категорию, объекты которой являются непрерывными отображениями и для которой морфизмы из в являются парами непрерывных отображений, таких что . В частности, гомеоморфные пространства имеют изоморфные расширения Александрова.

Смотрите также

Примечания

использованная литература