Расширение Alexandroff - Alexandroff extension
В математической области топологии , то расширение Alexandroff способ расширить некомпактное топологическое пространство , присоединяя одну точку таким образом , что полученное пространство является компактным . Он назван в честь русского математика Павла Александрова . Точнее, пусть X - топологическое пространство. Тогда расширение Александрова X - это некоторый компакт X * вместе с открытым вложением c : X → X *, такое что дополнение X в X * состоит из одной точки, обычно обозначаемой ∞. Отображение c является компактификацией Хаусдорфа тогда и только тогда, когда X - локально компактное некомпактное хаусдорфово пространство . Для таких пространств расширение Александрова называется одноточечной компактификацией или компактификацией Александрова . Преимущества компактификации Александрова заключаются в ее простой, часто геометрически значимой структуре и в том факте, что она в точном смысле минимальна среди всех компактификаций; недостаток заключается в том, что он дает компактификацию Хаусдорфа только на классе локально компактных, некомпактных хаусдорфовых пространств, в отличие от компактификации Стоуна – Чеха, которая существует для любого топологического пространства (но обеспечивает вложение именно для тихоновских пространств ).
Пример: обратная стереографическая проекция
Геометрически привлекательный пример одноточечной компактификации дает обратная стереографическая проекция . Напомним, что стереографическая проекция S дает явный гомеоморфизм единичной сферы за вычетом северного полюса (0,0,1) на евклидову плоскость. Обратная стереографическая проекция - это открытое плотное вложение в компактное хаусдорфово пространство, полученное присоединением дополнительной точки . В стереографической проекции широтные круги переходят в плоские окружности . Отсюда следует, что удаленный базис окрестности, заданный проколотыми сферическими шапками, соответствует дополнениям замкнутых плоских дисков . Более качественно, базис окрестности в обеспечивается наборами, поскольку K пробегает компактные подмножества . Этот пример уже содержит ключевые понятия общего случая.
Мотивация
Пусть - вложение топологического пространства X в компактное хаусдорфово топологическое пространство Y с плотным образом и одноточечным остатком . Тогда c ( X ) открыто в компактном хаусдорфовом пространстве, поэтому является локально компактным хаусдорфовым, следовательно, его гомеоморфный прообраз X также является локально компактным хаусдорфовым. Более того, если бы X было компактно, то c ( X ) было бы замкнуто в Y и, следовательно, не было бы плотным. Таким образом, пространство может допускать хаусдорфову одноточечную компактификацию только в том случае, если оно локально компактно, некомпактно и хаусдорфово. Более того, в такой одноточечной компактификации образ базиса окрестности для x в X дает базис окрестности для c ( x ) в c ( X ), и - поскольку подмножество компактного хаусдорфового пространства компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто - открытыми окрестностями должны быть все множества, полученные присоединением к образу под с подмножества X с компактным дополнением.
Расширение Александрова
Помещенный и топологизирует , взяв в качестве открытых множеств всех открытых подмножеств U из X вместе со всеми наборами , где C замкнуто и компактно в X . Здесь обозначает setminus . Обратите внимание , что открытая окрестность , и , таким образом, любое открытое покрытие будет содержать все , кроме компактного подмножества из , подразумевая , что компактно ( Келли 1975 , стр. 150).
Отображение включения называется расширение Alexandroff из X (Willard, 19А).
Все нижеприведенные свойства вытекают из приведенного выше обсуждения:
- Отображение c непрерывно и открыто: оно включает X как открытое подмножество .
- Пространство компактное.
- Образ c ( X ) плотен в , если X некомпактно.
- Пространство является Хаусдорфом тогда и только тогда , когда X хаусдорфов и локально компактно .
- Пространство равно T 1 тогда и только тогда, когда X равно T 1 .
Компактификация по одной точке
В частности, расширение Александрова является хаусдорфовой компактификацией X тогда и только тогда, когда X хаусдорфово, некомпактно и локально компактно. В этом случае она называется одноточечной компактификацией или Alexandroff компактификацией из X .
Напомним из приведенного выше обсуждения, что любая компактификация Хаусдорфа с одним остаточным остатком обязательно (изоморфна) компактификации Александрова. В частности, если это Бикомпакт и является предельной точкой из (т.е. не изолированной точки ), является Alexandroff компактификацией .
Пусть X - любое некомпактное тихоновское пространство . При естественном частичном упорядочении на множестве классов эквивалентности компактификаций любой минимальный элемент эквивалентен расширению Александрова (Энгелькинг, теорема 3.5.12). Отсюда следует, что некомпактное тихоновское пространство допускает минимальную компактификацию тогда и только тогда, когда оно локально компактно.
Нехаусдорфовы одноточечные компактификации
Пусть - произвольное некомпактное топологическое пространство. Кто-то может захотеть определить все компактификации (не обязательно по Хаусдорфу), полученные путем добавления единственной точки, которые в этом контексте также можно назвать одноточечными компактификациями . Таким образом, каждый хочет определить все возможные способы дать компактную топологию, которая будет плотной в ней, а топология подпространства на индуцированной из такой же, как исходная топология. Последнее условие совместимости топологии автоматически означает, что она плотна в , потому что не компактна, поэтому она не может быть замкнута в компактном пространстве. Кроме того, это факт, что карта включения обязательно является открытым вложением, то есть должна быть открыта в, а топология на должна содержать каждый член . Таким образом, топология на определяется окрестностями . Любая окрестность обязательно является дополнением к замкнутому компактному подмножеству , как обсуждалось ранее.
Топологии, которые делают его компактификацией , следующие:
- Александровское расширение определенного выше. Здесь мы берем дополнения ко всем замкнутым компактным подмножествам в качестве окрестностей . Это самая большая топология, обеспечивающая одноточечную компактификацию .
- Открытая топология расширения . Здесь мы добавляем одну окрестность , а именно все пространство . Это наименьшая топология, обеспечивающая одноточечную компактификацию .
- Любая промежуточная топология между двумя вышеперечисленными топологиями. Для окрестностей нужно выбрать подходящее подсемейство дополнений всех замкнутых компактных подмножеств ; например, дополнения ко всем конечным замкнутым компактным подмножествам или дополнения ко всем счетным замкнутым компактным подмножествам.
Дальнейшие примеры
Компактификации дискретных пространств
- Одноточечная компактификация множества натуральных чисел гомеоморфна пространству, состоящему из K = {0} U {1 / n | n - положительное целое число} с топологией порядка.
- Последовательность в топологическом пространстве сходится к точке in тогда и только тогда, когда отображение, заданное for in и, является непрерывным. Здесь есть дискретная топология .
- Полиадические пространства определяются как топологические пространства, являющиеся непрерывным образом мощности одноточечной компактификации дискретного локально компактного хаусдорфового пространства.
Компактификации непрерывных пространств
- Одноточечная компактификация n -мерного евклидова пространства R n гомеоморфна n- сфере S n . Как и выше, карта может быть явно задана как n- мерная обратная стереографическая проекция.
- Одноточечная компактификация произведения копий полузакрытого интервала [0,1), то есть , является (гомеоморфной) .
- Поскольку замыкание связного подмножества связно, связное расширение Александрова некомпактного связного пространства. Однако одноточечная компактификация может «соединить» разъединенное пространство: например, одноточечная компактификация несвязного объединения конечного числа копий интервала (0,1) представляет собой клин окружностей .
- Одноточечная компактификация непересекающегося объединения счетного числа копий отрезка (0,1) - это гавайская серьга . Это отличается от клина из счетного числа окружностей, который не компактен.
- Учитывая компактный Хаусдорф и любое замкнутое подмножество , одноточечная компактификация является , где косая черта обозначает фактор-пространство .
- Если и являются локально компактными по Хаусдорфу, то где же произведение разбиения . Напомним, что определение разбивающего продукта: где - сумма клина , и снова / обозначает фактор-пространство.
Как функтор
Расширение Александрова можно рассматривать как функтор из категории топологических пространств с собственными непрерывными отображениями как морфизмы в категорию, объекты которой являются непрерывными отображениями и для которой морфизмы из в являются парами непрерывных отображений, таких что . В частности, гомеоморфные пространства имеют изоморфные расширения Александрова.
Смотрите также
- Компактификация Бора
- Компактное пространство - Топологические представления о том, что все точки "близки"
- Компактификация (математика) - вложение топологического пространства в компактное пространство как плотное подмножество.
- Конец (топология)
- Строка с расширенными действительными числами - расширение вещественных чисел на + ∞ и −∞.
- Нормальное пространство
- Остроконечный набор
- Сфера Римана - Модель расширенной комплексной плоскости плюс бесконечно удаленная точка
- Стереографическая проекция - особое отображение, которое проецирует сферу на плоскость.
- Каменно-чешская компактификация
- Компактификация Уоллмана
Примечания
использованная литература
- Alexandroff, Павел С. (1924), "Убер умереть Metrisation дер - им Kleinen kompakten topologischen Räume" , Mathematische Annalen , 92 (3-4): 294-301, DOI : 10.1007 / BF01448011 , СУЛ 50.0128.04 , S2CID 121699713
- Браун, Рональд (1973), "Секвенциально собственные карты и последовательная компактификация", журнал Лондонского математического общества , Series 2, 7 (3): 515-522, DOI : 10,1112 / jlms / s2-7.3.515 , Zbl 0269,54015
- Энгелькинг, Рышард (1989), Общая топология , Helderman Verlag Berlin , ISBN 978-0-201-08707-9, MR 1039321
- Федорчук, В.В. (2001) [1994], "Александровская компактификация" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Келли, Джон Л. (1975), Общая топология , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90125-1, Руководство по ремонту 0370454
- Манкрес, Джеймс (1999), Топология (2-е изд.), Прентис Холл , ISBN 0-13-181629-2, Zbl 0951,54001
- Уиллард, Стивен (1970), Общая топология , Addison-Wesley , ISBN 3-88538-006-4, Руководство по ремонту 0264581 , Zbl 0205.26601