Теорема Шевалле – Предупреждение - Chevalley–Warning theorem

В теории чисел из теоремы Шевалле – Уорнера следует, что некоторые полиномиальные уравнения от достаточно многих переменных над конечным полем имеют решения. Это было доказано Эвальдом Уорнингом ( 1935 ), а несколько более слабая форма теоремы, известная как теорема Шевалле , была доказана Шевалле  ( 1935 ). Из теоремы Шевалле следует гипотеза Артина и Диксона о том, что конечные поля являются квазиалгебраически замкнутыми полями ( Артин 1982 , стр. X).

Формулировка теорем

Позвольте быть конечным полем и быть набором многочленов такой, что количество переменных удовлетворяет ${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle \ {f_ {j} \} _ {j = 1} ^ {r} \ substeq \ mathbb {F} [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$

${\ Displaystyle п> \ сумма _ {j = 1} ^ {r} d_ {j}}$

где есть общая степень из . Эти теоремы представляют собой утверждения о решениях следующей системы полиномиальных уравнений ${\ displaystyle d_ {j}}$${\ displaystyle f_ {j}}$

${\ displaystyle f_ {j} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = 0 \ quad {\ text {for}} \, j = 1, \ ldots, r.}$

• Шевалье-предупреждение теорема гласит , что число общих решений делится на характеристики из . Или, другими словами, мощность исчезающего множества равна по модулю .${\ displaystyle (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ in \ mathbb {F} ^ {n}}$ ${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ Displaystyle \ {е_ {j} \} _ {j = 1} ^ {r}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle p}$
• Теорема Шевалле утверждает, что если система имеет тривиальное решение , т.е. если многочлены не имеют постоянных членов, то система также имеет нетривиальное решение .${\ Displaystyle (0, \ точки, 0) \ в \ mathbb {F} ^ {п}}$${\ displaystyle (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ in \ mathbb {F} ^ {n} \ backslash \ {(0, \ dots, 0) \}}$

Теорема Шевалле является непосредственным следствием теоремы Шевалле – Предупреждения, поскольку не меньше 2. ${\ displaystyle p}$

Обе теоремы являются наилучшими в том смысле, что для любого списка есть полная степень и только тривиальное решение. С другой стороны , используя только один многочлен, мы можем взять е ₁ , чтобы быть степень п многочлена определяется нормой от й _{1 1} + ... + х _{п п} , где элементы образуют базис конечного поля порядка р ^п . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f_ {j} = x_ {j}, j = 1, \ dots, n}$${\ displaystyle n}$

Уординг доказал другую теорему, известную как вторая теорема Уординга, которая утверждает, что если система полиномиальных уравнений имеет тривиальное решение, то она имеет по крайней мере решения, где - размер конечного поля и . Теорема Шевалле также непосредственно следует из этого. ${\ displaystyle q ^ {nd}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle d: = d_ {1} + \ dots + d_ {r}}$

Доказательство теоремы Предупреждения

Реплика: Если то ${\ Displaystyle я <д-1}$

${\ Displaystyle \ сумма _ {х \ in \ mathbb {F}} х ^ {я} = 0}$

поэтому сумма любого многочлена in степени меньше также равна нулю. ${\ Displaystyle \ mathbb {F} ^ {п}}$${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$${\ Displaystyle п (д-1)}$

Общее число общих решений по модулю от равно ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {r} = 0}$

${\ displaystyle \ sum _ {x \ in \ mathbb {F} ^ {n}} (1-f_ {1} ^ {q-1} (x)) \ cdot \ ldots \ cdot (1-f_ {r} ^ {д-1} (х))}$

потому что каждый член равен 1 для решения и 0 в противном случае. Если сумма степеней многочленов меньше n, то по замечанию выше она обращается в нуль. ${\ displaystyle f_ {i}}$

Гипотеза Артина

Квазиалгебраически замкнутость конечных полей является следствием теоремы Шевалле . Об этом предположил Эмиль Артин в 1935 году. Мотивом гипотезы Артина было его наблюдение, что квазиалгебраически замкнутые поля имеют тривиальную группу Брауэра , а также тот факт, что конечные поля имеют тривиальную группу Брауэра по теореме Веддерберна .

Теорема Акс-Каца.

Теорема Ах-Кац , названная в честь Джеймса Ax и Николас Katz , более точно определяет мощность от мощности от деления числа решений; здесь, если является наибольшим из , то показатель степени можно принять как функцию потолка от ${\ displaystyle q ^ {b}}$${\ displaystyle q}$${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d_ {j}}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle {\ frac {n- \ sum _ {j} d_ {j}} {d}}.}$

Результат Акс-Каца интерпретируется в этальных когомологиях как результат делимости (обратных) нулей и полюсов локальной дзета-функции . А именно, одинаковая степень делит каждое из этих целых алгебраических чисел . ${\ displaystyle q}$

Смотрите также

• Комбинаторный Nullstellensatz

использованная литература

• Артин, Эмиль (1982), Ланг, Серж .; Тейт, Джон (ред.), Сборник статей , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90686-7, Руководство по ремонту  0671416
• Ах, Джеймс (1964), "Нули многочленов над конечными полями", Американский журнал математики , 86 : 255-261, DOI : 10,2307 / 2373163 , MR  0160775
• Шевалье, Claude (1935), "ДЕМОНСТРАЦИЯ сГипе hypothèse де М. Артин", Abhandlungen AUS DEM Mathematischen Семинаре дер Universität Hamburg (на французском языке), 11 : 73-75, DOI : 10.1007 / BF02940714 , JFM  61.1043.01 , Zbl  0011.14504
• Кац, Николас М. (1971), "Об одной теореме Ax", Amer. J. Math. , 93 (2): 485-499, DOI : 10,2307 / 2373389
• Внимание, Эвальд (1935), "Bemerkung цур vorstehenden Arbeit фон Herrn Шевалье", Abhandlungen AUS DEM Mathematischen Семинар - дер - Universität Hamburg (на немецком языке ), 11 : 76-83, DOI : 10.1007 / BF02940715 , JFM  61.1043.02 , Zbl  0011,14601
• Серр, Жан-Пьер (1973), Курс арифметики , стр.  5–6 , ISBN 0-387-90040-3

внешние ссылки

• "Доказательства теоремы Шевалле-Предупреждения" .