Функтор представлен схемой - Functor represented by a scheme

В алгебраической геометрии функтор, представленный схемой X, является многозначным контравариантным функтором на категории схем, таким что значение функтора в каждой схеме S является (с точностью до естественной биекции) множеством всех морфизмов . Схема Х затем называется представляют функтор и что КЛАССИФИЦИРУЙТЕ геометрические объекты над S , данные F . ${\ displaystyle S \ to X}$

Наиболее известный примером является схемой Гильберта схемы X (по некоторой фиксированной схеме базовой), которое, когда оно существует, представляет собой функтор , посылающие схемы S к плоскому семейству замкнутых подсхем . ${\ Displaystyle X \ раз S}$

В некоторых приложениях может оказаться невозможным найти схему, представляющую данный функтор. Это привело к понятию стека , который не совсем функтор, но его все же можно рассматривать как геометрическое пространство. (Схема Гильберта - это схема, но не стек, потому что, очень грубо говоря, теория деформации проще для замкнутых схем.)

Некоторые проблемы модулей решаются путем предоставления формальных решений (в отличие от полиномиальных алгебраических решений), и в этом случае результирующий функтор представляется формальной схемой . Такая формальная схема тогда называется алгебраизируемой, если существует другая схема, которая может представлять тот же функтор с точностью до некоторых изоморфизмов.

Мотивация

Это понятие является аналогом классифицирующего пространства в алгебраической топологии . В алгебраической топологии основной факт состоит в том, что каждое главное G- расслоение над пространством S является (с точностью до естественных изоморфизмов) обратным движением универсального расслоения вдоль некоторого отображения из S в . Другими слова, чтобы дать основной G -расслоение над пространством S таким же , как дать карту ( так называемую классифицирующее отображением) из пространства S к классифицирующему пространству из G . ${\ displaystyle EG \ to BG}$${\ displaystyle BG}$${\ displaystyle BG}$

Аналогичное явление в алгебраической геометрии задается линейной системой : дать морфизм проективного многообразия в проективное пространство - значит (с точностью до базовых локусов) дать линейную систему на проективном многообразии.

Лемма Йонеды говорит, что схема X определяет и определяется своими точками.

Функтор точек

Пусть X - схема . Его функтором точек является функтор

Hom (-, X ): (Аффинные схемы) ^op  ⟶ Множества

отправка аффинной схемы А к набору схемы карты  →  X .

Схема определяется с точностью до изоморфизма своим функтором точек. Это более сильная версия леммы Йонеды , которая утверждает, что X определяется отображением Hom (-, X ): Schemes ^op  → Sets.

Наоборот, функтор F : (аффинные схемы) ^op  → Sets является функтором точек некоторой схемы тогда и только тогда, когда F является пучком относительно топологии Зарисского на (аффинных схемах), а F допускает открытое покрытие аффинными схемами .

Примеры

Очки как символы

Пусть Й схема над базовым кольцом B . Если х является теоретико-множественной точкой X , то поле вычетов из й представляет собой остаток поле локального кольца (то есть, фактор по максимальному идеалу). Например, если X - аффинная схема Spec ( A ), а x - простой идеал , то поле вычетов x является полем функций замкнутой подсхемы . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, x}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (A / {\ mathfrak {p}})}$

Для простоты предположим . Тогда включение теоретико-множественной точки x в X соответствует гомоморфизму колец: ${\ Displaystyle X = \ OperatorName {Spec} (A)}$

${\ Displaystyle от А \ до К (х)}$

(что если .) ${\ Displaystyle от А \ до А _ {\ mathfrak {p}} \ до к ({\ mathfrak {p}})}$${\ Displaystyle х = {\ mathfrak {p}}}$

Очки как разделы

По универсальному свойству расслоения каждая R- точка схемы X определяет морфизм R -схем

${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R) \ to X_ {R} {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} X \ times _ {\ operatorname {Spec} (B)} \ operatorname {Spec} (Р)}$;

т.е. участок проекции . Если S является подмножеством X ( R ), то одна запись для множества изображений секций определяется элементов в S . ${\ Displaystyle X_ {R} \ to \ operatorname {Spec} (R)}$${\ Displaystyle | S | \ подмножество X_ {R}}$

Спецификация кольца двойных чисел

Пусть Spec кольца двойственных чисел над полем k и X схема над k . Тогда каждый равен касательному вектору к X в точке, которая является изображением замкнутой точки карты. Другими словами, есть множество касательных векторов к X . ${\ displaystyle D = \ operatorname {Spec} (k [t] / (t ^ {2}))}$${\ displaystyle D \ to X}$${\ Displaystyle X (D)}$

Универсальный объект

Пусть F функтор представлена схема X . Под изоморфизмом существует единственный элемент, который соответствует тождественному отображению . Он называется универсальным объектом или универсальным семейством (когда классифицируемые объекты являются семействами). ${\ Displaystyle F (X) \ simeq \ operatorname {Mor} (X, X)}$${\ Displaystyle F (X)}$${\ displaystyle 1_ {X}: от X \ до X}$

Смотрите также

• Ограничение Вейля
• Рациональная точка
• спуск по торсорам .

Примечания

использованная литература

• Дэвид Мамфорд (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает лекции в Мичигане (1974 г.) о кривых и их якобианах (2-е изд.). Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / b62130 . ISBN 3-540-63293-X.
• http://www.math.harvard.edu/~lurie/282ynotes/LectureXIV-Borel.pdf
• Шафаревич, Игорь (1994). Основы алгебраической геометрии, второе, исправленное и дополненное издание, Vol. 2 . Springer-Verlag.

внешние ссылки

• http://www.math.washington.edu/~zhang/Shanghai2011/Slides/ardakov.pdf