Физика элементарных частиц и теория представлений - Particle physics and representation theory

Группы Ли
Классические группы
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли
Полупростая алгебра Ли
Теория представлений
Группы Ли в физике
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

Между физикой элементарных частиц и теорией представлений существует естественная связь , как впервые заметил в 1930-х годах Юджин Вигнер . Он связывает свойства элементарных частиц в структуру групп Ли и алгебр Ли . Согласно этой связи, различные квантовые состояния элементарной частицы порождают неприводимое представление группы Пуанкаре . Более того, свойства различных частиц, включая их спектры , могут быть связаны с представлениями алгебр Ли, соответствующими «приблизительным симметриям» Вселенной.

Общая картина

Симметрии квантовой системы

В квантовой механике любое конкретное одночастичное состояние представлено как вектор в гильбертовом пространстве . Чтобы понять , что могут существовать типы частиц, важно классифицировать возможности допускаемых симметрий и их свойства. Позвольте быть гильбертовым пространством, описывающим конкретную квантовую систему, и позвольте быть группой симметрий квантовой системы. В релятивистской квантовой системе, например, это может быть группа Пуанкаре , а для атома водорода - группа вращения SO (3) . Состояние частицы более точно характеризуется соответствующим проективным гильбертовым пространством , также называемым пространством лучей , поскольку два вектора, которые отличаются ненулевым скалярным множителем, соответствуют одному и тому же физическому квантовому состоянию, представленному лучом в гильбертовом пространстве, которое является классом эквивалентности в а под естественной проекцией - элемент . ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {P} {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} \ rightarrow \ mathrm {P} {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle \ mathrm {P} {\ mathcal {H}}}$

По определению симметрии квантовой системы существует групповое действие на . Для каждого , существует соответствующее преобразование из . Более конкретно, если некоторая симметрия системы (например, вращение вокруг оси х на 12 °), то соответствующее преобразование из представляет собой карту на пространстве рентгеновских лучей . Например, при вращении неподвижной (нулевого импульса) частицы со спином 5 вокруг своего центра это вращение в трехмерном пространстве (элемент ), а - оператор, область определения и диапазон каждого из которых являются пространством возможных квантовых состояний этой частицы. , в этом примере проективное пространство, связанное с 11-мерным комплексным гильбертовым пространством . ${\ Displaystyle \ mathrm {P} {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ Displaystyle V (g)}$${\ Displaystyle \ mathrm {P} {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle V (g)}$${\ Displaystyle \ mathrm {P} {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle \ mathrm {SO (3)}}$${\ Displaystyle V (g)}$${\ Displaystyle \ mathrm {P} {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Каждое отображение сохраняет, по определению симметрии, произведение лучей на, индуцированное внутренним произведением на ; согласно теореме Вигнера , это преобразование происходит от унитарного или антиунитарного преобразования из . Обратите внимание, однако, что связанный с данным не уникален, а уникален только с точностью до фазового фактора . Следовательно, состав операторов должен отражать закон состава в , но только с точностью до фазового фактора: ${\ Displaystyle V (g)}$${\ Displaystyle \ mathrm {P} {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle \ mathrm {P} {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle U (g)}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle U (g)}$${\ Displaystyle V (g)}$${\ Displaystyle U (g)}$${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle U (gh) = е ^ {я \ тета} U (g) U (h)}$ ,

где будет зависеть от и . Таким образом, отображение отправки на это проективное унитарное представление о , или , возможно , смесь унитарных и анти-унитарным, если отсоединен. На практике антиунитарные операторы всегда связаны с симметрией обращения времени . ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle U (g)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$

Обычные и проективные представления

Это важно с физической точки зрения, что в целом не обязательно должно быть обычным представлением ; может оказаться невозможным выбрать фазовые факторы в определении, чтобы исключить фазовые факторы в законе их состава. Электрон, например, представляет собой частицу с половинным спином; его гильбертово пространство состоит из волновых функций на со значениями в двумерном спинорном пространстве. Действие функции на спинорном пространстве только проективно: оно не происходит из обычного представления . Существует, однако, связано обычное представление универсальной накрывающей из на спинорном пространстве. ${\ Displaystyle U (\ cdot)}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle U (g)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathrm {SO (3)}}$${\ Displaystyle \ mathrm {SO (3)}}$${\ Displaystyle \ mathrm {СУ (2)}}$${\ Displaystyle \ mathrm {SO (3)}}$

Для многих интересных классов групп , Bargmann это теорема говорит о том , что каждое проективное унитарное представление исходит от обычного представления универсальной крышки из . На самом деле, если оно конечномерно, то, независимо от группы , каждое проективное унитарное представление происходит из обычного унитарного представления . Если является бесконечномерным, то для получения желаемого заключения необходимо сделать некоторые алгебраические предположения (см. Ниже). В этом случае результатом является теорема Баргманна . К счастью, в решающем случае группы Пуанкаре применима теорема Баргмана. (См . Классификацию Вигнера представлений универсального накрытия группы Пуанкаре.) ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle G}$

Упомянутое выше требование состоит в том, чтобы алгебра Ли не допускала нетривиального одномерного центрального расширения. Это тот случай , если и только если вторая группа когомологий из тривиальна. В этом случае все еще может быть верным, что группа допускает центральное расширение с помощью дискретной группы. Но расширения дискретными группами являются покрытиями . Например, универсальное покрытие связано с помощью фактора, при котором центральная подгруппа является центром самой себя, изоморфной фундаментальной группе покрытой группы. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle G \ приблизительно {\ тильда {G}} / \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$

Таким образом, в благоприятных случаях квантовая система будет нести унитарное представление универсальной оболочки группы симметрии . Это желательно, потому что с ним намного проще работать, чем с не-векторным пространством . Если представления могут быть классифицированы, доступно гораздо больше информации о возможностях и свойствах . ${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle \ mathrm {P} {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Дело Гейзенберга

Пример, в котором теорема Баргмана неприменима, исходит из движущейся квантовой частицы . Группа трансляционных симметрий присоединенного фазового пространства является коммутативной группой . В обычной квантовомеханической картине симметрия не реализуется посредством унитарного представления . В конце концов, в квантовой среде трансляции в позиционном пространстве и трансляции в импульсном пространстве не коммутируют. Эта неспособность коммутировать отражает неспособность коммутировать операторов положения и импульса, которые являются бесконечно малыми генераторами перемещений в импульсном и позиционном пространстве соответственно. Тем не менее, переводы в пространстве позиций и переводах в импульсном пространстве делать коммутировать до фазового множителя. Таким образом, у нас есть четко определенное проективное представление , но оно не происходит из обычного представления , хотя и является односвязным. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$

В этом случае, чтобы получить обычное представление, нужно перейти к группе Гейзенберга , которая является нетривиальным одномерным центральным расширением группы . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$

Группа Пуанкаре

Группа трансляций и преобразований Лоренца образуют группу Пуанкаре , и эта группа должна быть симметрией релятивистской квантовой системы (без учета эффектов общей теории относительности или, другими словами, в плоском пространстве ). Представления группы Пуанкаре во многих случаях характеризуются неотрицательной массой и полуцелым спином (см . Классификацию Вигнера ); это можно рассматривать как причину того, что частицы имеют квантованный спин. (Обратите внимание, что на самом деле существуют другие возможные представления, такие как тахионы , инфрачастицы и т. Д., Которые в некоторых случаях не имеют квантованного спина или фиксированной массы.)

Другие симметрии

Схема слабых изоспинов , слабых гиперзарядов и цветовых зарядов (весов) всех известных элементарных частиц в Стандартной модели , повернутых на слабый угол смешивания, чтобы показать электрический заряд примерно по вертикали.

В то время как пространственно-временные симметрии в группе Пуанкаре особенно легко визуализировать и верить, существуют и другие типы симметрий, называемые внутренними симметриями . Одним из примеров является цвет SU (3) , точная симметрия, соответствующая непрерывной смене трех цветов кварков .

Алгебры Ли против групп Ли

Многие (но не все) симметрии или приближенные симметрии образуют группы Ли . Вместо того, чтобы изучать теорию представлений этих групп Ли, часто предпочтительнее изучить тесно связанную теорию представлений соответствующих алгебр Ли, которые обычно проще вычислить.

Теперь представления алгебры Ли соответствуют представлениям универсальной накрытия исходной группы. В конечномерном случае - и бесконечномерном случае, если применима теорема Баргмана, - неприводимые проективные представления исходной группы соответствуют обычным унитарным представлениям универсальной накрытия. В таких случаях уместны вычисления на уровне алгебры Ли. Это касается, в частности, изучения неприводимых проективных представлений группы вращений SO (3). Они находятся во взаимно однозначном соответствии с обычными представлениями универсального покрытия SU (2) группы SO (3) . Тогда представления SU (2) находятся во взаимно однозначном соответствии с представлениями его алгебры Ли su (2), которая изоморфна алгебре Ли so (3) группы SO (3).

Таким образом, подведем итог: неприводимые проективные представления SO (3) находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми обычными представлениями его алгебры Ли so (3). Двумерное представление "спин 1/2" алгебры Ли so (3), например, не соответствует обычному (однозначному) представлению группы SO (3). (Этот факт является источником утверждений о том, что «если вы повернете волновую функцию электрона на 360 градусов, вы получите отрицательную величину исходной волновой функции».) Тем не менее, представление со спином 1/2 действительно приводит к четко определенное проективное представление SO (3), которое является всем, что требуется физически.

Приблизительные симметрии

Хотя указанные выше симметрии считаются точными, другие симметрии являются приблизительными.

Гипотетический пример

В качестве примера того, что означает приблизительная симметрия, предположим, что экспериментатор жил внутри бесконечного ферромагнетика с намагниченностью в определенном направлении. Экспериментатор в этой ситуации обнаружил бы не один, а два различных типа электронов: один со спином вдоль направления намагниченности, с немного меньшей энергией (и, следовательно, с меньшей массой), и один со спином, направленным против направленности, с более высокая масса. Наша обычная вращательная симметрия SO (3) , которая обычно связывает электрон со спином вверх и электрон со спином вниз, в этом гипотетическом случае стала лишь приблизительной симметрией, связывающей различные типы частиц друг с другом.

Общее определение

В общем, приблизительная симметрия возникает, когда есть очень сильные взаимодействия, которые подчиняются этой симметрии, наряду с более слабыми взаимодействиями, которые не подчиняются. В приведенном выше примере с электроном два «типа» электронов ведут себя одинаково под действием сильного и слабого взаимодействий , но по-разному под действием электромагнитного взаимодействия .

Пример: изоспиновая симметрия

Примером из реального мира является изоспиновая симметрия , группа SU (2), соответствующая сходству между верхними и нижними кварками . Это приблизительная симметрия: хотя верхние и нижние кварки идентичны в том, как они взаимодействуют под действием сильного взаимодействия , они имеют разные массы и разные электрослабые взаимодействия. Математически существует абстрактное двумерное векторное пространство

${\ displaystyle {\ text {up quark}} \ rightarrow {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}, \ qquad {\ text {down quark}} \ rightarrow {\ begin {pmatrix} 0 \ \ 1 \ end {pmatrix}}}$

и законы физики приблизительно инвариантны при применении к этому пространству унитарного преобразования определителя-1 :

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} \ mapsto A {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}, \ quad {\ text {где}} A { \ text {is in}} SU (2)}$

Например, превратит все верхние кварки во Вселенной в нижние кварки и наоборот. Некоторые примеры помогают прояснить возможные эффекты этих преобразований: ${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$

• Когда эти унитарные преобразования применяются к протону , он может быть преобразован в нейтрон или в суперпозицию протона и нейтрона, но не в какие-либо другие частицы. Следовательно, преобразования перемещают протон в двумерном пространстве квантовых состояний. Протон и нейтрон называются « изоспиновым дублетом », математически аналогично тому, как частица со спином 1/2 ведет себя при обычном вращении.
• Когда эти унитарные преобразования применяются к любому из трех пионов (
  π ⁰
  ,
  π ⁺
  , и
  π ^-
  ), он может превратить любой из пионов в любой другой, но не в любую непионную частицу. Таким образом, преобразования перемещают пионы в трехмерном пространстве квантовых состояний. Пионы называются « изоспиновым триплетом », математически аналогично тому, как частица со спином 1 ведет себя при обычном вращении.
• Эти преобразования совершенно не влияют на электрон , поскольку он не содержит ни верхних, ни нижних кварков. Электрон называется изоспиновым синглетом, математически аналогично тому, как частица со спином 0 ведет себя при обычном вращении.

В общем случае частицы образуют изоспиновые мультиплеты , которые соответствуют неприводимым представлениям алгебры Ли SU (2) . Частицы в изоспиновом мультиплете имеют очень похожие, но не идентичные массы, потому что верхние и нижние кварки очень похожи, но не идентичны.

Пример: симметрия вкуса

Изоспиновая симметрия может быть обобщена на симметрию аромата , группу SU (3), соответствующую подобию между верхними кварками , нижними кварками и странными кварками . Это, опять же, приблизительная симметрия, нарушаемая разницей масс кварков и электрослабыми взаимодействиями - на самом деле, это более плохое приближение, чем изоспин, из-за заметно большей массы странного кварка.

Тем не менее частицы действительно можно аккуратно разделить на группы, которые образуют неприводимые представления алгебры Ли SU (3) , как впервые заметил Мюррей Гелл-Манн и независимо Ювал Нееман .

Смотрите также

• Заряд (физика)
• Теория представлений :
  • Алгебр Ли
  • Групп Ли
• Проективное представление
• Специальная унитарная группа

Ноты

Рекомендации

• Коулман, Сидней (1985) Аспекты симметрии: Избранные лекции Эриса Сидни Коулмана . Cambridge Univ. Нажмите. ISBN   0-521-26706-4 .
• Джорджи, Ховард (1999) Алгебры Ли в физике элементарных частиц . Чтение, Массачусетс: Книги Персея. ISBN   0-7382-0233-9 .
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN   978-1461471158 .
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN   978-3319134666 .
• Штернберг, Шломо (1994) Теория и физика групп . Cambridge Univ. Нажмите. ISBN   0-521-24870-1 . Особенно стр. 148–150.
• Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей, Том 1: Основы . Cambridge Univ. Нажмите. ISBN   0-521-55001-7 . Особенно приложения A и B к главе 2.

внешние ссылки

• Baez, John C .; Уэрта, Джон (2010). «Алгебра теорий Великого Объединения». Бык. Am. Математика. Soc . 47 (3): 483–552. arXiv : 0904.1556 . DOI : 10.1090 / S0273-0979-10-01294-2 . S2CID   2941843 .