Кристаллическая система - Crystal system

Структура кристалла алмаза принадлежит к гранецентрированной кубической решетке , с повторяющимся рисунком два атома.

В кристаллографии термины « кристаллическая система» , « семейство кристаллов» и « система решеток» относятся к одному из нескольких классов пространственных групп , решеток , точечных групп или кристаллов . Неформально, два кристалла находятся в одной и той же кристаллической системе, если они имеют одинаковую симметрию, хотя есть много исключений из этого.

Кристаллические системы, семейства кристаллов и системы решеток похожи, но немного отличаются, и между ними существует широко распространенная путаница: в частности, тригональную кристаллическую систему часто путают с системой ромбоэдрической решетки , а термин «кристаллическая система» иногда используется для обозначения «решетчатая система» или «кристаллическое семейство».

Пространственные группы и кристаллы разделены на семь кристаллических систем в соответствии с их точечными группами и на семь систем решеток в соответствии с их решетками Браве . Пять из кристаллических систем по существу такие же, как пять из систем решеток, но гексагональные и тригональные кристаллические системы отличаются от гексагональных и ромбоэдрических систем решетки. Шесть семейств кристаллов образуются путем объединения гексагональной и тригональной кристаллических систем в одно гексагональное семейство , чтобы устранить эту путаницу.

Обзор

Гексагональный кристалл ханксита с тройной симметрией оси c

Решетки система представляет собой класс решеток с тем же набором решеткой точечных групп , которые являются подгруппами арифметических кристаллических классов . 14 решеток Браве сгруппированы в семь систем решеток: триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, ромбоэдрическую, гексагональную и кубическую.

В кристаллической системе набор точечных групп и соответствующие им пространственные группы назначаются решеточной системе. Из 32 точечных групп, существующих в трех измерениях, большинство относятся только к одной решеточной системе, и в этом случае и кристаллическая, и решеточная системы имеют одно и то же имя. Однако пять точечных групп относятся к двум системам решеток, ромбоэдрической и гексагональной, поскольку обе обладают трехуровневой вращательной симметрией. Эти точечные группы относятся к тригональной кристаллической системе. Всего существует семь кристаллических систем: триклинная, моноклинная, ромбическая, тетрагональная, тригональная, гексагональная и кубическая.

Кристалл семьи определяется решеток и точечных групп. Он формируется путем объединения кристаллических систем, пространственные группы которых относятся к общей решетчатой ​​системе. В трех измерениях кристаллические семейства и системы идентичны, за исключением гексагональной и тригональной кристаллических систем, которые объединены в одно гексагональное кристаллическое семейство. Всего существует шесть семейств кристаллов: триклинные, моноклинные, ромбические, тетрагональные, гексагональные и кубические.

Пространства с менее чем тремя измерениями имеют одинаковое количество кристаллических систем, семейств кристаллов и систем решеток. В одномерном пространстве есть одна кристаллическая система. В 2D-пространстве есть четыре кристаллические системы: наклонная, прямоугольная, квадратная и шестиугольная.

Связь между трехмерными кристаллическими семействами, кристаллическими системами и системами решеток показана в следующей таблице:

Кристальная семья Кристаллическая система Требуемые симметрии точечной группы Группы точек Космические группы Решетки Браве Решетчатая система
Триклиник Триклиник Никто 2 2 1 Триклиник
Моноклиника Моноклиника 1 двойная ось вращения или 1 зеркальная плоскость 3 13 2 Моноклиника
Орторомбический Орторомбический 3 двойные оси вращения или 1 двойная ось вращения и 2 зеркальные плоскости 3 59 4 Орторомбический
Тетрагональный Тетрагональный 1 четырехкратная ось вращения 7 68 2 Тетрагональный
Шестиугольный Тригональный 1 тройная ось вращения 5 7 1 Ромбоэдрический
18 1 Шестиугольный
Шестиугольный 1 шестикратная ось вращения 7 27
Кубический Кубический 4 тройных оси вращения 5 36 3 Кубический
6 7 Общий 32 230 14 7
Примечание: не существует «тригональной» решетчатой ​​системы. Чтобы избежать путаницы в терминологии, термин «тригональная решетка» не используется.

Кристалл классы

7 кристаллических систем состоят из 32 кристаллических классов (соответствующих 32 кристаллографическим точечным группам), как показано в следующей таблице ниже:

Кристальная семья Кристаллическая система Группа точек / класс кристалла Schönflies Герман-Моген Орбифолд Coxeter Точечная симметрия порядок Абстрактная группа
триклинический педальный C 1 1 11 [] + энантиоморфный полярный 1 банальный
пинакоидальный C i (S 2 ) 1 1x [2,1 + ] центросимметричный 2 циклический
моноклинический клиновидный C 2 2 22 [2,2] + энантиоморфный полярный 2 циклический
домический C s (C 1h ) м * 11 [] полярный 2 циклический
призматический C 2 ч 2 / м 2 * [2,2 + ] центросимметричный 4 Кляйн четыре
ромбический ромбико-дисфеноидальный D 2 (В) 222 222 [2,2] + энантиоморфный 4 Кляйн четыре
ромбовидно- пирамидальный C 2v мм2 * 22 [2] полярный 4 Кляйн четыре
ромбико- дипирамидальный Д 2 чч ) М-м-м * 222 [2,2] центросимметричный 8
четырехугольный тетрагонально-пирамидальный C 4 4 44 год [4] + энантиоморфный полярный 4 циклический
тетрагонально-дисфеноидальный S 4 4 2x [ 2+ , 2] нецентросимметричный 4 циклический
тетрагонально-дипирамидальный C 4 / м 4 * [2,4 + ] центросимметричный 8
тетрагонально-трапецоэдрический D 4 422 422 [2,4] + энантиоморфный 8 двугранный
дитетрагонально-пирамидальный C 4v 4мм * 44 [4] полярный 8 двугранный
тетрагонально-скаленоэдрический D 2d (V d ) 4 2м или 4 м2 2 * 2 [ 2+ , 4] нецентросимметричный 8 двугранный
дитетрагонально-дипирамидальный Д 4 / ммм * 422 [2,4] центросимметричный 16
шестиугольный тригональный тригонально-пирамидальный C 3 3 33 [3] + энантиоморфный полярный 3 циклический
ромбоэдрический C 3i (S 6 ) 3 3x [2 + , 3 + ] центросимметричный 6 циклический
тригонально-трапецоэдрический D 3 32 или 321 или 312 322 [3,2] + энантиоморфный 6 двугранный
дитригонально-пирамидальный C 3v 3м или 3м1 или 31м * 33 [3] полярный 6 двугранный
дитригонально-чешуйчатый D 3d 3 м или 3 м 1 или 3 1 м 2 * 3 [ 2+ , 6] центросимметричный 12 двугранный
шестиугольный гексагонально-пирамидальный С 6 6 66 [6] + энантиоморфный полярный 6 циклический
тригонально-дипирамидальный C 6 3 * [2,3 + ] нецентросимметричный 6 циклический
гексагонально-дипирамидальный C 6h 6 / м 6 * [2,6 + ] центросимметричный 12
гексагонально-трапециевидный D 6 622 622 [2,6] + энантиоморфный 12 двугранный
дигексагонально-пирамидальный C 6v 6мм * 66 [6] полярный 12 двугранный
дитригонально-дипирамидный Д 6 м2 или 6 2 м * 322 [2,3] нецентросимметричный 12 двугранный
дигексагонально-дипирамидальный Д 6 / ммм * 622 [2,6] центросимметричный 24
кубический тетартоидный Т 23 332 [3,3] + энантиоморфный 12 чередование
диплоидный Т ч м 3 3 * 2 [ 3+ , 4] центросимметричный 24
гироидный О 432 432 [4,3] + энантиоморфный 24 симметричный
шестигранный Т д 4 3 мес. * 332 [3,3] нецентросимметричный 24 симметричный
гексоктаэдрический О ч м 3 м * 432 [4,3] центросимметричный 48

Точечную симметрию конструкции можно далее описать следующим образом. Рассмотрим точки, составляющие структуру, и отразим их все через одну точку, так что ( x , y , z ) становится (- x , - y , - z ). Это «перевернутая структура». Если исходная структура и перевернутая структура идентичны, то структура центросимметрична . В противном случае он нецентросимметричный . Тем не менее, даже в нецентросимметричном случае перевернутая структура в некоторых случаях может быть повернута для выравнивания с исходной структурой. Это нецентросимметричная ахиральная структура. Если перевернутая структура не может быть повернута для выравнивания с исходной структурой, то структура является хиральной или энантиоморфной, а ее группа симметрии энантиоморфна .

Направление (то есть линия без стрелки) называется полярным, если его двунаправленные значения геометрически или физически различны. Направление симметрии кристалла, которое является полярным, называется полярной осью . Группы, содержащие полярную ось, называются полярными . Полярный кристалл обладает уникальной полярной осью (точнее, все полярные оси параллельны). Некоторые геометрические или физические свойства отличаются на двух концах этой оси: например, может развиться диэлектрическая поляризация, как в пироэлектрических кристаллах . Полярная ось может встречаться только в нецентросимметричных структурах. Не может быть зеркальной плоскости или двойной оси, перпендикулярной полярной оси, потому что они сделали бы два направления оси эквивалентными.

В кристаллических структуры хиральных биологических молекул (например, белковые структуры) могут иметь место только в 65 энантиоморфных пространственных группах (биологические молекулы, как правило , хиральные ).

Решетки Браве

Существует семь различных типов кристаллических систем, и каждый тип кристаллической системы имеет четыре различных типа центрирования (примитивный, центрированный по основанию, центрированный по телу, центрированный по лицу). Однако не все комбинации уникальны; некоторые комбинации эквивалентны, в то время как другие комбинации невозможны по причинам симметрии. Это уменьшает количество уникальных решеток до 14 решеток Браве.

Распределение 14 решеток Браве по системам решеток и семействам кристаллов приведено в следующей таблице.

Кристальная семья Решетчатая система Точечная группа
( обозначение Шенфлиса )
14 решеток Браве
Примитивный (P) По центру основания (S) По центру тела (I) По центру лица (F)
Триклиник (а) C i Триклиник

AP

Моноклиника (м) C 2 ч Моноклиническая, простая

mP

Моноклиника, центрированная

РС

Орторомбический (о) Д Орторомбический, простой

oP

Орторомбическая, центрированная по основанию

Операционные системы

Орторомбический, телесно-центрированный

oI

Орторомбический, центрированный по лицу

из

Тетрагональный (т) Д Тетрагональный, простой

tP

Тетрагональный, центрированный по телу

tI

Шестиугольный (h) Ромбоэдрический D 3d Ромбоэдрический

час

Шестиугольный Д Шестиугольный

л.с.

Кубический (c) О ч Кубический, простой

cP

Кубический, по центру тела

cI

Кубический, гранецентрированный

cF

В геометрии и кристаллографии , A решетки Бравы является категорией транслятивных групп симметрии (также известная как решетки ) в трех направлениях.

Такие группы симметрии состоят из трансляций на векторы вида

R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 ,

где n 1 , n 2 и n 3 - целые числа, а a 1 , a 2 и a 3 - три некопланарных вектора, называемых примитивными векторами .

Эти решетки классифицируются по пространственной группе самой решетки, рассматриваемой как набор точек; есть 14 решеток Браве в трех измерениях; каждый принадлежит только одной решетчатой ​​системе. Они представляют максимальную симметрию, которую может иметь структура с данной трансляционной симметрией.

Все кристаллические материалы (за исключением квазикристаллов ) должны по определению вписываться в одну из этих схем.

Для удобства решетка Браве изображается элементарной ячейкой, которая в 1, 2, 3 или 4 раза больше, чем примитивная ячейка . В зависимости от симметрии кристалла или другого паттерна фундаментальный домен снова меньше, вплоть до 48 раз.

Решетки Браве были изучены Морицем Людвигом Франкенхаймом в 1842 году, который обнаружил, что существует 15 решеток Браве. Это было исправлено до 14 А. Браве в 1848 г.

В четырехмерном пространстве

‌ Четырехмерная элементарная ячейка определяется четырьмя длинами ребер ( a , b , c , d ) и шестью межосевыми углами ( α , β , γ , δ , ε , ζ ). Следующие условия на параметры решетки определяют 23 семейства кристаллов.

Кристаллические семьи в 4D пространстве
Нет. Семья Длина кромки Межосевые углы
1 Гексаклиника абвг αβγδεζ ≠ 90 °
2 Триклиник абвг αβγ ≠ 90 °
δ = ε = ζ = 90 °
3 Диклиника абвг α ≠ 90 °
β = γ = δ = ε = 90 °
ζ ≠ 90 °
4 Моноклиника абвг α ≠ 90 °
β = γ = δ = ε = ζ = 90 °
5 Ортогональный абвг α = β = γ = δ = ε = ζ = 90 °
6 Тетрагональная моноклиника аб = сг α ≠ 90 °
β = γ = δ = ε = ζ = 90 °
7 Шестиугольная моноклиника аб = сг α ≠ 90 °
β = γ = δ = ε = 90 °
ζ = 120 °
8 Дитетрагональная диклиника а = гЬ = с α = ζ = 90 °
β = ε ≠ 90 °
γ ≠ 90 °
δ = 180 ° - γ
9 Дитригональная (бигексагональная) диклиника а = гЬ = с α = ζ = 120 °
β = ε ≠ 90 °
γδ ≠ 90 °
cos δ = cos β - cos γ
10 Тетрагональный ортогональный аб = сг α = β = γ = δ = ε = ζ = 90 °
11 Гексагональный ортогональный аб = сг α = β = γ = δ = ε = 90 °, ζ = 120 °
12 Дитетрагональная моноклиника а = гЬ = с α = γ = δ = ζ = 90 °
β = ε ≠ 90 °
13 Дитригональная (бигексагональная) моноклинная а = гЬ = с α = ζ = 120 °
β = ε ≠ 90 °
γ = δ ≠ 90 °
cos γ = - 1/2cos β
14 Дитетрагональный ортогональный а = гЬ = с α = β = γ = δ = ε = ζ = 90 °
15 Гексагональный четырехугольный а = гЬ = с α = β = γ = δ = ε = 90 °
ζ = 120 °
16 Бигексагональный ортогональный а = гЬ = с α = ζ = 120 °
β = γ = δ = ε = 90 °
17 Кубический ортогональный а = б = сг α = β = γ = δ = ε = ζ = 90 °
18 Восьмиугольный а = б = с = г α = γ = ζ ≠ 90 °
β = ε = 90 °
δ = 180 ° - α
19 Десятиугольный а = б = с = г α = γ = ζβ = δ = ε
cos β = -1/2- cos α
20 Додекагональный а = б = с = г α = ζ = 90 °
β = ε = 120 °
γ = δ ≠ 90 °
21 год Диизогексагональные ортогональные а = б = с = г α = ζ = 120 °
β = γ = δ = ε = 90 °
22 Икосагональ (икосаэдр) а = б = с = г α = β = γ = δ = ε = ζ
cos α = -1/4
23 Гиперкубический а = б = с = г α = β = γ = δ = ε = ζ = 90 °

Имена здесь даны по Уиттекеру. Они почти такие же, как у Брауна и др. , За исключением названий семейств кристаллов 9, 13 и 22. Названия этих трех семейств, согласно Брауну и др. , Даны в скобках.

Связь между четырехмерными кристаллическими семействами, кристаллическими системами и системами решеток показана в следующей таблице. Энантиоморфные системы отмечены звездочкой. В скобках указано количество энантиоморфных пар. Здесь термин «энантиоморфный» имеет другое значение, чем в таблице для классов трехмерных кристаллов. Последнее означает, что энантиоморфные точечные группы описывают киральные (энантиоморфные) структуры. В текущей таблице «энантиоморфная» означает, что сама группа (рассматриваемая как геометрический объект) является энантиоморфной, как энантиоморфные пары трехмерных пространственных групп P3 1 и P3 2 , P4 1 22 и P4 3 22. Начиная с четырех- В этом смысле точечные группы также могут быть энантиоморфными.

Кристаллические системы в 4D пространстве

кристальной семьи
Кристальная семья Кристаллическая система Номер
кристаллической системы
Группы точек Космические группы Решетки Браве Решетчатая система
я Гексаклиника 1 2 2 1 Гексаклиник П
II Триклиник 2 3 13 2 Триклиник P, S
III Диклиника 3 2 12 3 Диклиника P, S, D
IV Моноклиника 4 4 207 6 Моноклиника P, S, S, I, D, F
V Ортогональный Неосевой ортогональный 5 2 2 1 Ортогональные КУ
112 8 Ортогональные P, S, I, Z, D, F, G, U
Осевой ортогональный 6 3 887
VI Тетрагональная моноклиника 7 7 88 2 Тетрагональная моноклинная P, I
VII Шестиугольная моноклиника Тригональная моноклиника 8 5 9 1 Гексагональная моноклинная R
15 1 Шестиугольная моноклинная P
Шестиугольная моноклиника 9 7 25
VIII Дитетрагональная диклиника * 10 1 (+1) 1 (+1) 1 (+1) Дитетрагональная диклиника P *
IX Дитригональная диклиника * 11 2 (+2) 2 (+2) 1 (+1) Дитригональная диклиника P *
Икс Тетрагональный ортогональный Обратный тетрагональный ортогональный 12 5 7 1 Тетрагональный ортогональный КГ
351 5 Тетрагональные ортогональные P, S, I, Z, G
Правильный тетрагональный ортогональный 13 10 1312
XI Гексагональный ортогональный Тригональный ортогональный 14 10 81 год 2 Гексагональный ортогональный R, RS
150 2 Гексагональный ортогональный P, S
Гексагональный ортогональный 15 12 240
XII Дитетрагональная моноклиника * 16 1 (+1) 6 (+6) 3 (+3) Дитетрагональная моноклинная P *, S *, D *
XIII Дитригональная моноклиника * 17 2 (+2) 5 (+5) 2 (+2) Дитригональный моноклинический P *, RR *
XIV Дитетрагональный ортогональный Крипто-дитетрагональный ортогональный 18 5 10 1 Дитетрагональный ортогональный D
165 (+2) 2 Дитетрагональные ортогональные P, Z
Дитетрагональный ортогональный 19 6 127
XV Гексагональный четырехугольный 20 22 108 1 Гексагональный тетрагональный P
XVI Бигексагональный ортогональный Крипто-дитригональный ортогональный * 21 год 4 (+4) 5 (+5) 1 (+1) Бигексагональный ортогональный G *
5 (+5) 1 Бигексагональный ортогональный P
Бигексагональный ортогональный 23 11 20
Дитригональный ортогональный 22 11 41 год
16 1 Дигексагональный ортогональный RR
XVII Кубический ортогональный Простая кубическая ортогональная 24 5 9 1 Кубический ортогональный KU
96 5 Кубические ортогональные P, I, Z, F, U
Комплексная кубическая ортогональная 25 11 366
XVIII Восьмиугольный * 26 2 (+2) 3 (+3) 1 (+1) Восьмиугольная P *
XIX Десятиугольный 27 4 5 1 Десятиугольная P
XX Додекагональный * 28 год 2 (+2) 2 (+2) 1 (+1) Додекагональная P *
XXI Диизогексагональные ортогональные Простые диизогексагональные ортогональные 29 9 (+2) 19 (+5) 1 Диизогексагональный ортогональный RR
19 (+3) 1 Диизогексагональный ортогональный P
Комплексные диизогексагональные ортогональные 30 13 (+8) 15 (+9)
XXII Икосагональный 31 год 7 20 2 Икосагональ P, SN
XXIII Гиперкубический Восьмигранный гиперкубический 32 21 (+8) 73 (+15) 1 Гиперкубический P
107 (+28) 1 Гиперкубическая Z
Додекагональная гиперкубическая 33 16 (+12) 25 (+20)
Общий 23 (+6) 33 (+7) 227 (+44) 4783 (+111) 64 (+10) 33 (+7)

Смотрите также

использованная литература

Процитированные работы

внешние ссылки