Теория Морса - Morse theory

В математике , в частности , в дифференциальной топологии , теории Морса дает возможность анализировать топологию в виде многообразия при изучении дифференцируемых функций на этом многообразии. Согласно основным идеям Марстона Морса , типичная дифференцируемая функция на многообразии будет отражать топологию совершенно напрямую. Теория Морса позволяет находить CW-структуры и обрабатывать разложения на многообразиях, а также получать существенную информацию об их гомологиях .

До Морса Артур Кэли и Джеймс Клерк Максвелл развили некоторые идеи теории Морса в контексте топографии . Морс первоначально применил свою теорию к геодезическим ( критическим точкам на энергии функциональных по дорожкам). Эти методы были использованы в доказательстве Рауля Ботта его теоремы о периодичности .

Аналогом теории Морса для комплексных многообразий является теория Пикара – Лефшеца .

Основные понятия

Рассмотрим в целях иллюстрации горный пейзаж. Если это функция, отправляющая каждую точку на ее отметку, то обратное изображение точки на ней представляет собой контурную линию (в более общем смысле, набор уровней ). Каждый компонент связности контурной линии является либо точкой, либо простой замкнутой кривой , либо замкнутой кривой с двойной точкой . Контурные линии также могут иметь точки более высокого порядка (тройные точки и т. Д.), Но они нестабильны и могут быть удалены небольшой деформацией ландшафта. Двойные точки на контурных линиях встречаются в седловых точках или переходах. Седловые точки - это точки, где окружающий ландшафт изгибается вверх в одном направлении и опускается в другом. ${\ displaystyle M.}$${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle M \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Представьте себе, что этот пейзаж заливает водой. Затем область покрыта водой , когда вода достигает возвышения находится , или точки с высоты меньше или равна Рассмотрим , как топология этого региона меняется по мере роста воды. Интуитивно кажется, что она не меняется, кроме тех случаев, когда она превышает высоту критической точки ; то есть точка , в которой градиент от это (то есть матрица Якоби действует как линейное отображение из касательного пространства в этой точке в касательном пространстве в его образ при отображении не имеет максимальный ранг). Другими словами, он не меняется, за исключением случаев, когда вода (1) начинает заполнять бассейн, (2) покрывает седловину ( горный перевал ) или (3) погружает вершину. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (- \ infty, a]}$${\ displaystyle a.}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle f}$

Каждой из этих трех типов критических точек - впадин, проходов и пиков (также называемых минимумами, седлами и максимумами) - сопоставляется число, называемое индексом. Интуитивно говоря, индекс критической точки - это количество независимых направлений, вокруг которых уменьшается. Точнее индекс невырожденной критической точки на размерность наибольшего подпространства касательного пространства в , на которой Hessian из отрицательно определена. Следовательно, индексы бассейнов, перевалов и пиков равны и соответственно. ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle 0,1,}$${\ displaystyle 2,}$

Определите как . Оставляя контекст топографии, можно сделать подобный анализ того , как топология изменяется , как увеличивается , когда является тор , ориентированные как в изображении и является проекцией на вертикальной оси, принимая точку к его высоте над плоскостью. ${\ displaystyle M ^ {a}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (- \ infty, a]}$${\ displaystyle M ^ {a}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle f}$

Начиная с нижней части тора, пусть и будут четырьмя критическими точками индекса и соответственно. Когда меньше, чем то - пустой набор. After проходит уровень, когда then является диском , который гомотопически эквивалентен точке (0-ячейке), которая была «привязана» к пустому множеству. Затем, когда превышает уровень, а затем представляет собой цилиндр и гомотопически эквивалентен диску с присоединенной 1-ячейкой (изображение слева). После прохождения уровня, а затем - тор с удаленным диском, который гомотопически эквивалентен цилиндру с присоединенной 1-ячейкой (изображение справа). Наконец, когда больше критического уровня - это тор. Тор, конечно, то же самое, что тор с удаленным диском и прикрепленным диском (2-ячейкой). ${\ displaystyle p, q, r,}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle 0,1,1,}$${\ displaystyle 2,}$${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle f (p) = 0,}$${\ displaystyle M ^ {a}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle p,}$${\ Displaystyle 0 <а <е (д),}$${\ displaystyle M ^ {a}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle q,}$${\ Displaystyle е (д) <а <е (г),}$${\ displaystyle M ^ {a}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle r,}$${\ Displaystyle f (r) <a <f (s),}$${\ displaystyle M ^ {1}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle s,}$ ${\ displaystyle M ^ {a}}$

Таким образом, кажется, что существует следующее правило: топология не изменяется, за исключением тех случаев, когда проходит высота критической точки, а когда проходит высота критической точки индекса , -ячейка присоединяется к. Это не решает вопрос о что происходит, когда две критические точки находятся на одной высоте. Эту ситуацию можно разрешить с помощью небольшого возмущения. В случае ландшафта (или многообразия, встроенного в евклидово пространство ), это возмущение может быть просто небольшим наклоном ландшафта или поворотом системы координат. ${\ displaystyle M ^ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle M ^ {\ alpha}.}$${\ displaystyle f.}$

Следует проявлять осторожность и проверять невырожденность критических точек. Для того, чтобы увидеть , что может вызвать проблемы, пусть и пусть Тогда это критическая точка , но топология не изменяется при прохождении Проблема в том , что вторая производная также в том , что есть, Мешковина из обращается в нуль , и это критическая точка является вырожденной . Отметим, что эта ситуация нестабильна: при незначительной деформации вырожденная критическая точка либо удаляется, либо распадается на две невырожденные критические точки. ${\ Displaystyle M = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f (x) = x ^ {3}.}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle M ^ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle 0.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 0,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f,}$

Формальное развитие

Для вещественной гладкой функции на дифференцируемом многообразии точек , где дифференциал из обращается в нуль, называются критическими точками из и их образы под называются критическими значениями . Если в критической точке матрица вторых частных производных ( матрица Гессе ) невырождена, то называется${\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle M,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle b,}$${\ displaystyle b}$ невырожденная критическая точка ; если гессиан особый, тоявляется${\ displaystyle b}$вырожденная критическая точка .

Для функций

от до имеет критическую точку в нуле, если она невырожденная, если (то есть имеет форму ), и вырожденная, если (то есть имеет форму ). Менее тривиальный пример вырожденной критической точки - начало седла обезьяны . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle b = 0,}$${\ displaystyle c \ neq 0}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle а + cx ^ {2} + \ cdots}$${\ displaystyle c = 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a + dx ^ {3} + \ cdots}$

Индекс из невырожденной критической точки в размерности наибольшего подпространства

касательного пространства к в , на котором гессиан отрицательно определен . Это соответствует интуитивному представлению о том, что индекс - это количество направлений, в которых уменьшается. Вырождение и индекс критической точки не зависят от выбора используемой локальной системы координат, как показывает закон Сильвестра . ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle f}$

Лемма Морса

Пусть будет невырожденной критической точкой Тогда существует

диаграмма в окрестности из таких , что для всех и ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle f: M \ to R.}$ ${\ displaystyle \ left (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} \ right)}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle x_ {i} (b) = 0}$${\ displaystyle i}$

$${\ displaystyle f (x) = f (b) -x_ {1} ^ {2} - \ cdots -x _ {\ alpha} ^ {2} + x _ {\ alpha +1} ^ {2} + \ cdots + х_ {п} ^ {2}}$$

всюду Здесь равен индексу at. Как следствие леммы Морса, видно, что невырожденные критические точки изолированы . (Относительно расширения на комплексную область см. Комплексную лемму Морса . Обобщение см. В лемме Морса – Пале ). ${\ displaystyle U.}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle b.}$

Основные теоремы

Гладкая вещественнозначная функция на многообразии называется

функцией Морса, если она не имеет вырожденных критических точек. Основной результат теории Морса гласит, что почти все функции являются функциями Морса. Технически функции Морса образуют открытое плотное подмножество всех гладких функций в топологии. Иногда это выражается как «типичная функция - это функция Морса» или « общая функция - это функция Морса». ${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle M \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle C ^ {2}}$

Как указывалось ранее, нас интересует вопрос, когда меняется топология as . Половину ответа на этот вопрос дает следующая теорема. ${\ Displaystyle М ^ {а} = е ^ {- 1} (- \ infty, а]}$${\ displaystyle a}$

Теорема. Пусть гладкая вещественная функция на это

компактно , и нет критических значений между и Тогда это диффеоморфен к и деформации втягивается на${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M,}$ ${\ displaystyle a <b,}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} [а, б]}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b.}$${\ displaystyle M ^ {a}}$${\ displaystyle M ^ {b},}$${\ displaystyle M ^ {b}}$ ${\ displaystyle M ^ {a}.}$

Также интересно знать, как меняется топология при прохождении критической точки. Следующая теорема дает ответ на этот вопрос. ${\ displaystyle M ^ {a}}$${\ displaystyle a}$

Теорема. Пусть гладкая вещественная функция на и является невырожденной критической точкой индекса и что Пусть компактно и не содержит критических точек , кроме Тогда это

гомотопически эквивалентно , чтобы с -клетка прилагается.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ gamma,}$${\ Displaystyle f (p) = q.}$${\ displaystyle f ^ {- 1} [q- \ varepsilon, q + \ varepsilon]}$${\ displaystyle p.}$${\ Displaystyle М ^ {д + \ varepsilon}}$${\ Displaystyle М ^ {д- \ varepsilon}}$${\ displaystyle \ gamma}$

Эти результаты обобщают и формализуют «правило», изложенное в предыдущем разделе.

Используя два предыдущих результата и тот факт, что функция Морса существует на любом дифференцируемом многообразии, можно доказать, что любое дифференцируемое многообразие является комплексом CW с -клеткой для каждой критической точки индекса.Для этого необходим технический факт, что можно организовать одну критическую точку на каждом критическом уровне, что обычно подтверждается использованием

градиентных векторных полей для перегруппировки критических точек. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n.}$

Неравенства Морса

Теория Морса может быть использована для доказательства некоторых сильных результатов о гомологиях многообразий. Число критических точек индекса по равно число клеток в структуре CW на полученных из «лазания» Пользуясь тем , что переменная сумма рангов групп гомологии топологического пространства равна знакопеременной сумме ранги цепных групп, из которых вычисляются гомологии, то с помощью клеточных цепных групп (см.

клеточные гомологии ) ясно, что эйлерова характеристика равна сумме ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle f.}$ ${\ Displaystyle \ чи (М)}$

$${\ Displaystyle \ сумма (-1) ^ {\ гамма} С ^ {\ гамма} \, = \ чи (М)}$$

где - количество критических точек индекса. Также по клеточным гомологиям ранг ^th группы гомологий комплекса CW меньше или равен количеству -клеток в Следовательно, ранг ^th группы гомологий, т. е. число Бетти меньше или равно количеству критических точек индекса функции Морса на. Эти факты можно усилить, чтобы получить${\ displaystyle C ^ {\ gamma}}$${\ displaystyle \ gamma.}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle M.}$${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle b _ {\ gamma} (М)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle M.}$Неравенства Морзе :

$${\ Displaystyle C ^ {\ gamma} -C ^ {\ gamma -1} \ pm \ cdots + (- 1) ^ {\ gamma} C ^ {0} \ geq b _ {\ gamma} (M) -b_ { \ gamma -1} (M) \ pm \ cdots + (- 1) ^ {\ gamma} b_ {0} (M).}$$

В частности, для любых

$${\ Displaystyle \ гамма \ в \ {0, \ ldots, п = \ тусклый М \},}$$

надо

$${\ displaystyle C ^ {\ gamma} \ geq b _ {\ gamma} (M).}$$

Это дает мощный инструмент для изучения топологии многообразий. Предположим, что на замкнутом многообразии существует функция Морса ровно с

k критическими точками. Каким образом ограничивает существование функции ? Случай был изучен Жоржем Рибом в 1952 году; Риба сферу теорема гласит , что является гомеоморфно сфере Случай возможно только в небольшом числе малых размеров, а М гомеоморфно многообразию Иллс-Койпера . В 1982 году Эдвард Виттен разработал аналитический подход к неравенствам Морса, рассматривая комплекс де Рама для возмущенного оператора ${\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle k = 2}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle S ^ {n}.}$${\ displaystyle k = 3}$${\ displaystyle d_ {t} = e ^ {- tf} de ^ {tf}.}$

Приложение к классификации замкнутых двумерных многообразий

Теория Морса использовалась для классификации замкнутых 2-многообразий с точностью до диффеоморфизма. Если ориентирован, то классифицируется по своему роду и диффеоморфен сфере с ручками: таким образом, if диффеоморфен 2-сфере; и если диффеоморфен

связной суммы из 2-торов. Если неориентируемый, он классифицируется числом и диффеоморфен связной сумме вещественных проективных пространств. В частности, два замкнутых 2-многообразия гомеоморфны тогда и только тогда, когда они диффеоморфны. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g = 0,}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle g> 0,}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle g> 0}$${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle \ mathbf {RP} ^ {2}.}$

Гомологии Морса

Морс гомология является особенно простым способом понять гомологию из гладких многообразий . Он определяется с использованием общего выбора функции Морса и римановой метрики . Основная теорема состоит в том, что полученные гомологии являются инвариантом многообразия (т. Е. Не зависят от функции и метрики) и изоморфны сингулярным гомологиям многообразия; это означает, что числа Морса и сингулярные числа Бетти согласованы, и дает немедленное доказательство неравенств Морса. Бесконечномерный аналог гомологий Морса в симплектической геометрии известен как гомологии Флоера .

Теория Морса – Ботта

Понятие функции Морса можно обобщить для рассмотрения функций, имеющих невырожденные многообразия критических точек. АФункция Морса – Ботта - это гладкая функция на многообразии,критическое множествокоторой является замкнутым подмногообразием, а гессиан невырожден по нормали. (Эквивалентно, ядро ​​гессиана в критической точке равно касательному пространству к критическому подмногообразию.) Функция Морса - это частный случай, когда критические многообразия нульмерны (так что гессиан в критических точках невырожден во всех направление, то есть не имеет ядра).

Индекс наиболее естественно рассматривать как пару

$${\ Displaystyle \ влево (я _ {-}, я _ {+} \ вправо),}$$

где - размерность неустойчивого многообразия в данной точке критического многообразия, и равна плюс размерности критического многообразия. Если функция Морса – Ботта возмущается малой функцией на критическом множестве, индекс всех критических точек возмущенной функции на критическом многообразии невозмущенной функции будет лежать между и${\ displaystyle i _ {-}}$${\ displaystyle i _ {+}}$${\ displaystyle i _ {-}}$${\ displaystyle i _ {-}}$${\ displaystyle i _ {+}.}$

Функции Морса – Ботта полезны, потому что с общими функциями Морса трудно работать; Функции, которые можно визуализировать и с помощью которых можно легко вычислить, обычно имеют симметрии. Они часто приводят к критическим многообразиям положительной размерности. Рауль Ботт использовал теорию Морса – Ботта в своем первоначальном доказательстве теоремы периодичности Ботта .

Круглые функции являются примерами функций Морса – Ботта, где критические множества являются (непересекающимися объединениями) окружностей.

Гомологии Морса также могут быть сформулированы для функций Морса – Ботта; дифференциал в гомологиях Морса – Ботта вычисляется с помощью спектральной последовательности . Фредерик Буржуа набросал подход в ходе своей работы над версией симплектической теории поля Морса – Ботта, но эта работа так и не была опубликована из-за существенных аналитических трудностей.

Смотрите также

• Теория мин-макс Альмгрена – Питтса
• Цифровая теория Морзе
• Дискретная теория Морса
• Набор якоби
• Лагранжев грассманиан
• Категория Люстерника – Шнирельмана
• Система Морса – Смейла
• Теорема о горном перевале
• Лемма Сарда
• Стратифицированная теория Морса

использованная литература

дальнейшее чтение

• Ботт, Рауль (1988). "Неукротимая теория Морса" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 68 : 99–114. DOI : 10.1007 / bf02698544 .
• Ботт, Рауль (1982). «Лекции по теории Морса, старые и новые» . Бюллетень Американского математического общества . (NS). 7 (2): 331–358. DOI : 10,1090 / s0273-0979-1982-15038-8 .
• Кэли, Артур (1859). «По изолинии и наклонным линиям» (PDF) . Философский журнал . 18 (120): 264–268.
• Гость, Мартин (2001). «Теория Морса в 1990-е годы». arXiv : математика / 0104155 . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
• Хирш, М. (1994). Дифференциальная топология (2-е изд.). Springer.
• Косинский, Антони А. (19 октября 2007 г.). Дифференциальные многообразия . Дуврская книга по математике (переиздание 1993 г.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8. OCLC  853621933 .
• Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии . Тексты для выпускников по математике . 191 . Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98593-0. OCLC  39379395 .
• Мацумото, Юкио (2002). Введение в теорию Морса .
• Максвелл, Джеймс Клерк (1870). «На холмах и долинах» (PDF) . Философский журнал . 40 (269): 421–427.
• Милнор, Джон (1963). Теория Морса . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08008-9. Классический расширенный справочник по математике и математической физике.
• Милнор, Джон (1965). Лекции по теореме о h-кобордизме (PDF) .
• Морс, Марстон (1934). Вариационное исчисление в целом . Публикация коллоквиума Американского математического общества. 18 . Нью-Йорк.
• Шварц, Маттиас (1993). Гомологии Морса . Birkhäuser.