Симплектическая геометрия - Symplectic geometry

Фазовый портрет в Ван - дер - Поля , в одномерной системе. Фазовое пространство было первоначальным объектом изучения симплектической геометрии.

Симплектическая геометрия - это раздел дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии , изучающий симплектические многообразия ; то есть, дифференцируемые многообразия , оснащенные замкнутой , невырожденной 2-формы . Симплектическая геометрия имеет свои истоки в гамильтоновой формулировке из классической механики , где фазовое пространство некоторых классических систем берет на структуру симплектического многообразия.

Термин «симплектический», введенный Вейлем , является исчислением «комплекса»; раньше «симплектическая группа» называлась «линейной комплексной группой». «Комплекс» происходит от латинского com-plexus , что означает «сплетенный вместе» (co- + plexus), а симплектический происходит от соответствующего греческого sym-plektikos (συμπλεκτικός); в обоих случаях стебель происходит от индоевропейского корня * плек-. Название отражает глубокую связь между сложными и симплектическими структурами.

По теореме Дарбу симплектические многообразия изоморфны стандартному симплектическому векторному пространству локально, следовательно, имеют только глобальные (топологические) инварианты. Поэтому «симплектическая геометрия» часто используется как синоним термина «симплектическая топология».

Вступление

Симплектическая геометрия определяется на гладком четномерном пространстве, являющемся дифференцируемым многообразием . На этом пространстве определяется геометрический объект симплектической формы , который позволяет измерять размеры двумерных объектов в пространстве . Симплектическая форма в симплектической геометрии играет роль, аналогичную роли метрического тензора в римановой геометрии . Там, где метрический тензор измеряет длину и углы, симплектическая форма измеряет ориентированные области.

Симплектическая геометрия возникла из изучения классической механики, и примером симплектической структуры является движение объекта в одном измерении. Чтобы указать траекторию объекта, требуются как позиция q, так и импульс p , которые образуют точку ( p , q ) в евклидовой плоскости ℝ ² . В этом случае симплектическая форма имеет вид

${\ displaystyle \ omega = dp \ wedge dq}$

и представляет собой форму площади, которая измеряет площадь A области S на плоскости посредством интегрирования:

${\ displaystyle A = \ int _ {S} \ omega.}$

Эта область важна, потому что, поскольку консервативные динамические системы развиваются во времени, эта область остается неизменной.

Аналогично определяются многомерные симплектические геометрии. 2 n -мерная симплектическая геометрия состоит из пар направлений

${\ displaystyle ((x_ {1}, x_ {2}), (x_ {3}, x_ {4}), \ ldots (x_ {2n-1}, x_ {2n}))}$

в 2 n -мерном многообразии вместе с симплектической формой

${\ displaystyle \ omega = dx_ {1} \ wedge dx_ {2} + dx_ {3} \ wedge dx_ {4} + \ cdots + dx_ {2n-1} \ wedge dx_ {2n}.}$

Эта симплектическая форма дает размер 2 n -мерной области V в пространстве как сумму площадей проекций V на каждую из плоскостей, образованных парами направлений

${\ displaystyle A = \ int _ {V} \ omega = \ int _ {V} dx_ {1} \ wedge dx_ {2} + \ int _ {V} dx_ {3} \ wedge dx_ {4} + \ cdots + \ int _ {V} dx_ {2n-1} \ wedge dx_ {2n}.}$

Сравнение с римановой геометрией

Симплектическая геометрия имеет ряд сходств и отличий от римановой геометрии , которая представляет собой изучение дифференцируемых многообразий, снабженных невырожденными симметричными 2-тензорами (называемыми метрическими тензорами ). В отличие от риманова случая симплектические многообразия не имеют локальных инвариантов, таких как кривизна . Это следствие теоремы Дарбу, которая утверждает, что окрестность любой точки 2 n -мерного симплектического многообразия изоморфна стандартной симплектической структуре на открытом множестве ℝ ^{2 n} . Еще одно отличие римановой геометрии состоит в том, что не каждое дифференцируемое многообразие должно допускать симплектическую форму; есть определенные топологические ограничения. Например, всякое симплектическое многообразие четномерно и ориентируемо . Кроме того, если M - замкнутое симплектическое многообразие, то 2-я группа когомологий де Рама H ² ( M ) нетривиальна; это означает, например, что единственная n- сфера , допускающая симплектическую форму, - это 2-сфера . Параллель, которую можно провести между этими двумя предметами, - это аналогия между геодезическими в римановой геометрии и псевдоголоморфными кривыми в симплектической геометрии: геодезические - это кривые наименьшей длины (локально), а псевдоголоморфные кривые - это поверхности минимальной площади. Обе концепции играют фундаментальную роль в своих дисциплинах.

Примеры и конструкции

Каждое кэлерово многообразие также является симплектическим многообразием. Еще в 1970-х годах эксперты по симплектике не были уверены, существуют ли какие-либо компактные некелеровы симплектические многообразия, но с тех пор было построено множество примеров (первый из них принадлежит Уильяму Терстону ); в частности, Роберт Гомпф показал, что каждая конечно представленная группа является фундаментальной группой некоторого симплектического 4-многообразия, что резко контрастирует с кэлеровым случаем.

Можно сказать, что большинство симплектических многообразий не кэлеровы; и поэтому не имеют интегрируемой комплексной структуры, совместимой с симплектической формой. Михаил Грома , однако, сделали важное замечание о том , что симплектические многообразия Признают обилие совместимых почти комплексные структуры , так что они удовлетворяют все аксиомы кэлеровы многообразие , за исключением требования о том , что переход сопоставляет быть голоморфны .

Громов использовал существование почти комплексных структур на симплектических многообразиях для развития теории псевдоголоморфных кривых , которая привела к ряду достижений в симплектической топологии, включая класс симплектических инвариантов, ныне известных как инварианты Громова – Виттена . Позже, используя технику псевдоголоморфных кривых, Андреас Флоер изобрел еще один важный инструмент симплектической геометрии, известный как гомологии Флоера .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

• Авраам, Ральф ; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Бенджамин-Каммингс. ISBN 978-0-8053-0102-1.
• Арнольд В.И. (1986). "Первые шаги симплектической топологии". Успехи математических наук . 41 (6 (252)): 3–18. DOI : 10.1070 / RM1986v041n06ABEH004221 . ISSN  0036-0279 - с помощью России Успехи математических наук , 1986, 41: 6, 1-21.
• Макдафф, Дуса ; Саламон, Д. (1998). Введение в симплектическую топологию . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-850451-1.
• Фоменко АТ (1995). Симплектическая геометрия (2-е изд.). Гордон и Брич. ISBN 978-2-88124-901-3. (Введение на уровне бакалавриата.)
• де Госсон, Морис А. (2006). Симплектическая геометрия и квантовая механика . Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN 978-3-7643-7574-4.
• Вайнштейн, Алан (1981). «Симплектическая геометрия» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 5 (1): 1–13. DOI : 10,1090 / s0273-0979-1981-14911-9 .
• Вейль, Герман (1939). Классические группы. Их инварианты и представления .Перепечатано издательством Princeton University Press (1997). ISBN  0-691-05756-7 . MR 0000255 .

внешние ссылки

• СМИ, связанные с симплектической геометрией на Викискладе?
• "Симплектическая структура" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]