Комплекс CW - CW complex

Комплекс CW - это разновидность топологического пространства , которое особенно важно в алгебраической топологии . Он был введен Дж. Х. К. Уайтхедом для удовлетворения потребностей теории гомотопии . Этот класс пространств шире и обладает некоторыми лучшими категориальными свойствами, чем симплициальные комплексы , но все же сохраняет комбинаторный характер, позволяющий выполнять вычисления (часто с гораздо меньшим комплексом). C означает «закрывающий-конечный», а W для «слабой» топологии. Комплекс CW можно определить индуктивно.

  • 0- мерный комплекс CW - это просто набор из нуля или более дискретных точек (с дискретной топологией ).
  • А. 1- мерного CW комплекс строится путем взятия несвязного из 0-мерных CW комплекса с одним или более экземплярами единичного интервала . Для каждой копии существует карта, которая « приклеивает » ее границу (два ее конца) к элементам 0-мерного комплекса (точкам). Топология комплекса CW - это топология фактор-пространства, определяемая этими отображениями склейки.
  • В общем случае n-мерный CW-комплекс строится путем несвязного объединения k -мерного CW-комплекса (для некоторых ) с одной или несколькими копиями n -мерного шара . Для каждой копии существует карта, которая «склеивает» ее границу ( -мерную сферу ) с элементами -мерного комплекса. Топология комплекса CW - это фактор-топология, определяемая этими отображениями склейки.
  • Бесконечномерным CW комплекс может быть построен путем повторения вышеуказанного процесса счетно много раз.

В п - мерном CW комплексе, для каждого , A K-клетка представляет собой внутренность K - мерного шара , добавленного в K - м шаге. К остами из комплекса является объединением всех своих K - клеток.

Примеры

Как упоминалось выше, каждый набор дискретных точек является комплексом CW (размерности 0).

1-мерные CW-комплексы

Некоторые примеры одномерных комплексов CW:

  • Интервал . Его можно построить из двух точек ( x и y ) и одномерного шара B (интервала), так что одна конечная точка B приклеена к x, а другая к y . Две точки x и y являются 0-ячейками; внутренность B - это 1-ячейка. В качестве альтернативы его можно построить только из одного интервала без 0-ячеек.
  • Круг . Его можно построить из одной точки x и одномерного шара B , так что оба конца B приклеены к x . В качестве альтернативы его можно построить из двух точек x и y и двух одномерных шаров A и B , так что концы A приклеиваются к x и y , а концы B приклеиваются к x и y .
  • График . Это одномерный комплекс CW, в котором 0-клетки являются вершинами, а 1-клетки - ребрами. Концы каждого ребра отождествляются со смежными с ним вершинами.
    • 3-регулярные графы можно рассматривать как одномерные CW-комплексы общего положения . В частности, если Х представляет собой 1-мерный CW комплекс, прикрепление карты для 1-клеток представляет собой карту от двухточечной пространства к X , . Эта карта может быть возмущенным непересекающейся от 0-остов X тогда и только тогда , когда и не 0-валентных вершины X .
  • Стандартная структура CW на действительных чисел имеет в качестве 0-скелет целых чисел , и как 1-клеток в интервалах . Точно так же стандартная структура CW на имеет кубические ячейки, которые являются продуктами 0 и 1-ячеек из . Это стандартная структура ячеек кубической решетки на .

Многомерные CW-комплексы

Некоторые примеры многомерных комплексов CW:

  • П - мерная сфера . Он допускает структуру CW с двумя ячейками, одной 0-ячейкой и одной n-ячейкой. Здесь n-ячейка прикреплена постоянным отображением от ее границы к единственной 0-ячейке. Альтернативная клеточная декомпозиция имеет одну ( n -1) -мерную сферу (« экватор ») и две n -клетки, которые прикреплены к ней («верхняя полусфера» и «нижняя полусфера»). Индуктивно это дает разложение CW с двумя ячейками в каждой размерности k, такое что .
  • П - мерное вещественное проективное пространство . Он допускает структуру CW с одной ячейкой в ​​каждом измерении.
  • Терминология для общего 2-мерного комплекса CW - тень .
  • Многогранник , естественно , является комплекс CW.
  • Грассмановы многообразия допускают непрерывную структуру, называемую ячейками Шуберта .
  • Дифференцируемые многообразия , алгебраические и проективные многообразия обладают гомотопическим типом CW-комплексов.
  • Одноточечная компактификация из cusped гиперболического многообразия имеет каноническое разложение CW только с одной 0-клетками (точка компактификации) называется Эпштейн-Пеннер разложение . Такие разложения ячеек часто называют идеальными многогранными разложениями и используются в популярном компьютерном программном обеспечении, таком как SnapPea .

Не CW-комплексы

  • Бесконечномерное гильбертово пространство не является комплексом CW: это пространство Бэра и поэтому не может быть записано как счетное объединение n -скелетов, каждый из которых является замкнутым множеством с пустой внутренней частью. Этот аргумент распространяется на многие другие бесконечномерные пространства.
  • Пространство имеет гомотопический тип CW-комплекса (стягиваемо), но не допускает CW-разложения, так как не является локально стягиваемым .
  • Гавайские серьги является примером топологического пространства , которое не имеет гомотопический-типа комплекса CW.

Формулировка

Грубо говоря, комплекс CW состоит из основных строительных блоков, называемых ячейками . Точное определение предписывает, как клетки могут быть склеены вместе топологически .

П - мерный замкнутый клетка является образом п - мерного замкнутого шара под прикрепляя карту . Например, симплекс - это замкнутая ячейка, а в более общем смысле выпуклый многогранник - это замкнутая ячейка. П - мерный открытый элемент является топологическим пространством, гомеоморфно п - мерного открытого шара . 0-мерная открытая (и закрытая) ячейка - это одноэлементное пространство. Конечное замыкание означает, что каждая закрытая ячейка покрывается конечным объединением открытых ячеек (или встречается только с конечным числом других ячеек).

Клеточное комплекс в Хаусдорфа пространство X вместе с перегородкой из X в открытые ячейки (из , возможно , изменяющейся размерности) , что удовлетворяет два дополнительных свойство:

  • Для каждой n -мерной открытой клетки C в разбиении X существует непрерывное отображение f из n -мерного замкнутого шара в X такое, что
    • ограничение f на внутренность замкнутого шара является гомеоморфизмом на клетку C , и
    • образ границы замкнутого шара содержится в объединении конечного числа элементов разбиения, каждый из которых имеет размер ячейки меньше n .
  • Подмножество X является закрытым , если и только если оно соответствует закрытия каждой ячейки в замкнутом множестве.

Перегородка X также называется клеточностью .

Обычные комплексы CW

Клеточное комплекс называется регулярным , если для каждого п - мерного открытой ячейки С в разбиении X , на непрерывное отображение F из п - мерного замкнутого шара в X представляет собой гомеоморфизм на замыкание ячейки C . Соответственно, разбиение X также называется регулярной клеточностью . Loopless граф является регулярным 1-мерным клеточным комплексом. Замкнутого 2-клеточный график , вложение на поверхности является регулярным 2-мерной клеточным комплексом. Наконец, гипотеза о 3-сферной регулярной клеточности утверждает, что каждый 2-связный граф является 1-скелетом регулярного CW-комплекса на 3-мерной сфере ( https://twiki.di.uniroma1.it/pub/Users/ SergioDeAgostino / DeAgostino.pdf ).

Относительные комплексы CW

Грубо говоря, относительный комплекс CW отличается от комплекса CW тем, что мы позволяем ему иметь один дополнительный строительный блок, который не обязательно имеет ячеистую структуру. Этот дополнительный блок можно рассматривать как (-1) -мерную ячейку в предыдущем определении.

Индуктивное построение комплексов CW

Если наибольшая размерность любой из ячеек равна n , то говорят, что комплекс CW имеет размерность n . Если размер ячейки не привязан, то она называется бесконечномерной. П остов комплекса CW является объединением ячеек, размерность которых не больше п . Если объединение набора клеток замкнуто, то это объединение само является комплексом CW, называемым подкомплексом. Таким образом, n -скелет является самым большим подкомплексом размерности n или меньше.

Комплекс CW часто конструируется путем индуктивного определения его скелета путем «присоединения» клеток возрастающей размерности. Под «вложения» в качестве п -клетки к топологического пространства X одно означает присоединенное пространство , где е непрерывное отображение от границы замкнутого п - мерного шара в X . Чтобы построить комплекс CW, начните с 0-мерного комплекса CW, то есть дискретного пространства . Присоедините 1-клетки к, чтобы получить одномерный комплекс CW . Присоедините 2-клетки к, чтобы получить 2-мерный комплекс CW . Продолжая таким образом, мы получаем вложенную последовательность комплексов CW возрастающей размерности, такую ​​что if then является i -скелетом .

С точностью до изоморфизма каждый n -мерный комплекс CW может быть получен из его ( n  - 1) -скелета путем присоединения n -элементов, и, таким образом, любой конечномерный комплекс CW может быть построен описанным выше процессом. Это верно даже для бесконечномерных комплексов, с пониманием того, что результатом бесконечного процесса является прямой предел скелета: множество замкнуто в X тогда и только тогда, когда оно встречается с каждым скелетом в замкнутом множестве.

Гомологии и когомологии комплексов CW.

Сингулярные гомологии и когомологии комплексов CW легко вычислить через клеточные гомологии . Более того, в категории CW-комплексов и клеточных отображений клеточные гомологии можно интерпретировать как теорию гомологий . Чтобы вычислить экстраординарную теорию (ко) гомологий для комплекса CW, спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха является аналогом клеточной гомологии .

Некоторые примеры:

  • Для сферы возьмем разложение на две ячейки: одну 0-ячейку и одну n -ячейку . Комплекс клеточной цепи гомологии и гомологии задаются:
так как все дифференциалы равны нулю.
В качестве альтернативы, если мы используем экваториальное разложение с двумя ячейками в каждом измерении
а дифференциалы представляют собой матрицы вида Это дает то же вычисление гомологии выше, поскольку цепной комплекс точен во всех членах, кроме и
  • Ибо аналогично получаем

Оба приведенных выше примера особенно просты, потому что гомология определяется количеством ячеек, то есть: карты прикрепления ячеек не играют никакой роли в этих вычислениях. Это очень особенное явление, не имеющее отношения к общему случаю.

Модификация конструкций CW

Уайтхед разработал методику замены CW-комплекса гомотопически эквивалентным CW-комплексом, который имеет более простое CW-разложение.

Рассмотрим, например, произвольный комплекс CW. Его 1-скелет может быть довольно сложным, поскольку он является произвольным графом . Теперь рассмотрим максимальный лес F в этом графе. Поскольку это коллекция деревьев, и деревья стягиваемы, рассмотрим пространство , где отношение эквивалентности генерируется , если они содержатся в общем дереве в максимальном лесу F . Фактор-отображение является гомотопической эквивалентностью. Кроме того, естественно , наследует структуру CW, с клетками , соответствующими клетками , которые не содержатся в F . В частности, 1-остов группы представляет собой несвязное объединение клиньев окружностей.

Другой способ сформулировать сказанное выше состоит в том, что связный комплекс CW может быть заменен гомотопически эквивалентным комплексом CW, 0-скелет которого состоит из одной точки.

Рассмотрим подъем по лестнице связности - предположим, что X - односвязный комплекс CW, 0-скелет которого состоит из точки. Можем ли мы путем подходящих модификаций заменить X гомотопически эквивалентным комплексом CW, состоящим из одной точки? Ответ положительный. Первый шаг заключается в наблюдении , что и скрепляющие карты построить из формы в групповой презентацию . Теорема Титце для представления групп утверждает, что существует последовательность действий, которые мы можем выполнить, чтобы свести это представление группы к тривиальному представлению тривиальной группы. Есть два хода Титце:

1) Добавление / удаление генератора. Добавление генератора с точки зрения CW-декомпозиции состоит из добавления 1-ячейки и 2-ячейки, присоединяемая карта которых состоит из новой 1-ячейки, а остальная часть присоединяемой карты находится внутри . Если мы дадим соответствующему CW комплекса , то есть гомотопическая эквивалентность дается сдвинув новую 2-клетку в X .
2) Добавление / удаление отношения. Действие добавления отношения аналогично, только один заменяет X на то, где новая 3 -ячейка имеет присоединяющуюся карту, которая состоит из новой 2-ячейки и отображения остатка в . Аналогичный слайд дает гомотопическую эквивалентность .

Если комплекс CW Х является п -связным можно найти гомотопический-эквивалентно CW комплекс которого п остов состоит из одной точки. Аргумент для аналогичен случаю, только один заменяет ходы Титце для представления фундаментальной группы элементарными матричными операциями для матриц представления для (с использованием матриц представления, происходящих из клеточных гомологий . То есть: аналогично можно реализовать элементарные матричные операции с помощью последовательности добавления / удаления ячеек или подходящих гомотопий прикрепляемых карт.

`` Гомотопическая категория ''

Гомотопическая категория ХИ комплексы, по мнению некоторых экспертов, лучше всего, если не единственный кандидат в гомотопической категории (по техническим причинам версии для остроконечных пространств фактически используется). Вспомогательные конструкции, которые дают пространства, не являющиеся комплексами CW, должны использоваться время от времени. Один из основных результатов состоит в том, что представимые функторы в гомотопической категории имеют простую характеризацию ( теорема Брауна о представимости ).

Характеристики

  • Комплексы CW локально контрактируемы.
  • Комплексы CW удовлетворяют теореме Уайтхеда : отображение между комплексами CW является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно индуцирует изоморфизм на всех гомотопических группах.
  • Продукт двух комплексов CW может быть превращен в комплекс CW. В частности, если X и Y являются комплексами CW, то можно сформировать комплекс CW X × Y, в котором каждая ячейка является произведением ячейки в X и ячейки в Y , наделенной слабой топологией . , Лежащий в основе множество X × Y является то декартово произведение из X и Y , как и следовало ожидать. Кроме того, слабая топология на этом множестве часто согласуется с более известной топологией продукта на X × Y , например, если X или Y конечно. Однако слабая топология может быть более тонкой, чем топология произведения, например, если ни X, ни Y не являются локально компактными . В этом неблагоприятном случае произведение X × Y в топологии продукта не является комплексом CW. С другой стороны, произведение X и Y в категории компактно порожденных пространств согласуется со слабой топологией и, следовательно, определяет комплекс CW.
  • Пусть X и Y - непрерывные комплексы. Тогда функциональные пространства Hom ( X , Y ) (с компактно-открытой топологией ), вообще говоря, не являются CW-комплексами. Если X конечно, то Hom ( X , Y ) гомотопически эквивалентен CW-комплексу по теореме Джона Милнора (1959). Заметим, что X и Y - компактно порожденные хаусдорфовы пространства , поэтому Hom ( X , Y ) часто выбирают с компактно порожденным вариантом компактно-открытой топологии; вышеприведенные утверждения остаются верными.
  • Накрытие комплекса CW также комплекс CW.
  • Комплексы CW паракомпактны . Конечные комплексы CW компактны . Компактное подпространство CW-комплекса всегда содержится в конечном подкомплексе.

Смотрите также

использованная литература

Примечания

Общие ссылки

  • Lundell, AT; Вайнграм, С. (1970). Топология комплексов CW . Серия Университета Ван Ностранда по высшей математике. ISBN 0-442-04910-2.
  • Brown, R .; Хиггинс, П.Дж.; Сивера, Р. (2011). Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды . Трактаты Европейского математического общества по математике, том 15. ISBN 978-3-03719-083-8.Более подробная информация на [1] домашней странице первого автора]