Особая точка кривой - Singular point of a curve

В геометрии , А особая точка на кривой является тот , где кривая не задается гладким вложением параметра. Точное определение особой точки зависит от типа изучаемой кривой.

Алгебраические кривые на плоскости

Алгебраические кривые в плоскости может быть определена как набор точек ( х ,  у ) , удовлетворяющих уравнению вида F ( х ,  у ) = 0, где F является многочленом функция F : R ² → R . Если f раскладывается как

${\ displaystyle f = a_ {0} + b_ {0} x + b_ {1} y + c_ {0} x ^ {2} + 2c_ {1} xy + c_ {2} y ^ {2} + \ точки \,}$

Если начало координат (0, 0) находится на кривой, тогда a ₀ = 0. Если b ₁ ≠ 0, то теорема о неявной функции гарантирует, что существует гладкая функция h, так что кривая имеет вид y = h ( x ) вблизи начала координат. Аналогично, если b ₀ ≠ 0, то существует гладкая функция k, так что кривая имеет вид x = k ( y ) вблизи начала координат. В любом случае существует гладкое отображение из R в плоскость, определяющее кривую в окрестности начала координат. Обратите внимание, что в начале координат

${\ displaystyle b_ {0} = {\ partial f \ over \ partial x}, \, b_ {1} = {\ partial f \ over \ partial y},}$

поэтому кривая несингулярно или регулярно в нуле , если по крайней мере один из частных производных от F отлична от нуля. Особые точки - это те точки на кривой, в которых обе частные производные обращаются в нуль,

${\ displaystyle f (x, y) = {\ partial f \ over \ partial x} = {\ partial f \ over \ partial y} = 0.}$

Обычные очки

Предположим, что кривая проходит через начало координат, и запишем y = mx . Тогда f можно записать

${\ displaystyle f = (b_ {0} + mb_ {1}) x + (c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2}) x ^ {2} + \ dots. \,}$

Если b ₀ + mb ₁ не равно 0, то f = 0 имеет решение кратности 1 при x = 0, а начало координат является точкой единственного контакта с линией y = mx . Если b ₀ + mb ₁ = 0, то f = 0 имеет решение с кратностью 2 или выше, и прямая y = mx , или b ₀ x + b ₁ y = 0, касается кривой. В этом случае, если c ₀ +2 mc ₁ + c ₂ m ² не равно 0, тогда кривая имеет точку двойного контакта с y = mx . Если коэффициент при x ² , c ₀ +2 mc ₁ + c ₂ m ² , равен 0, а коэффициент при x ³ - нет, то начало координат является точкой перегиба кривой. Если коэффициенты x ² и x ³ оба равны 0, то начало координат называется точкой волнистости кривой. Этот анализ может быть применен к любой точке кривой, перемещая оси координат так, чтобы начало координат было в данной точке.

Двойные очки

Три лимасона, иллюстрирующие типы двойной точки. При преобразовании в декартовой системе координат , как левая кривая приобретает acnode в начале координат, которая является изолированной точкой в плоскости. Центральная кривая, кардиоида , имеет острие в начале координат. Правая кривая имеет кранод в начале координат, и кривая пересекает себя, образуя петлю.${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -x) ^ {2} = (1.5) ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}),}$

Если b ₀ и b ₁ оба равны 0 в приведенном выше расширении, но хотя бы один из c ₀ , c ₁ , c ₂ не равен 0, то начало координат называется двойной точкой кривой. Снова положив y = mx , f можно записать

${\ displaystyle f = (c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2}) x ^ {2} + (d_ {0} + 3md_ {1} + 3m ^ {2} d_ { 2} + d_ {3} m ^ {3}) x ^ {3} + \ точки. \,}$

Двойные точки можно классифицировать согласно решениям c ₀ + 2mc ₁ + m ² c ₂ = 0.

Crunodes

Если c ₀ + 2mc ₁ + m ² c ₂ = 0 имеет два действительных решения для m , то есть если c ₀ c ₂ - c ₁ ² <0, то начало координат называется кранодой . Кривая в этом случае пересекает себя в начале координат и имеет две различные касательные, соответствующие двум решениям c ₀ + 2mc ₁ + m ² c ₂ = 0. В этом случае функция f имеет седловую точку в нуле.

Acnodes

Если c ₀ + 2mc ₁ + m ² c ₂ = 0 не имеет вещественных решений для m , то есть если c ₀ c ₂ - c ₁ ² > 0, то начало координат называется узлом . В реальной плоскости начало координат - изолированная точка на кривой; однако, если рассматривать ее как сложную кривую, начало координат не изолировано и имеет две мнимые касательные, соответствующие двум комплексным решениям c ₀ + 2mc ₁ + m ² c ₂ = 0. В этом случае функция f имеет локальный экстремум в нуле.

Куспиды

Если c ₀ + 2mc ₁ + m ² c ₂ = 0 имеет единственное решение кратности 2 для m , то есть если c ₀ c ₂ - c ₁ ² = 0, то начало координат называется куспидом . Кривая в этом случае меняет направление в начале координат, создавая острую точку. Кривая имеет единственную касательную в начале координат, которую можно рассматривать как две совпадающие касательные.

Дальнейшая классификация

Термин узел используется для обозначения либо crunode, либо acnode, другими словами, двойной точки, которая не является куспидом. Число узлов и число выступов на кривой - два инварианта, используемых в формулах Плюккера .

Если одно из решений c ₀ + 2mc ₁ + m ² c ₂ = 0 также является решением d ₀ + 3md ₁ + 3m ² d ₂ + m ³ d ₃ = 0, то соответствующая ветвь кривой имеет точку перегиба в начале координат. В этом случае происхождение называется флекнодом . Если обе касательные обладают этим свойством, поэтому c ₀ + 2mc ₁ + m ² c ₂ является множителем d ₀ + 3md ₁ + 3m ² d ₂ + m ³ d ₃ , то начало координат называется бифлекным узлом .

Несколько точек

Кривая с тройной точкой в ​​начале координат: ${\ Displaystyle х (т) = \ грех 2t + \ соз т, \ квад}$ ${\ Displaystyle у (т) = \ грех т + \ соз 2т}$

В общем, если все члены степени меньше k равны 0, и хотя бы один член степени k не равен 0 в f , то говорят, что кривая имеет кратную точку порядка k или k-точку . Кривая, как правило, будет иметь k касательных в начале координат, хотя некоторые из этих касательных могут быть мнимыми.

Параметрические кривые

Параметризованных кривая в R ² определяется как изображение функции г : R → R ² , г ( т ) = ( г ₁ ( т ), г ₂ ( т )). Особые точки - это те точки, в которых

${\ displaystyle {dg_ {1} \ over dt} = {dg_ {2} \ over dt} = 0.}$

Куспид в полукубической параболе ${\ Displaystyle у ^ {2} = х ^ {3}}$

Многие кривые можно определить любым способом, но эти два определения могут не совпадать. Например, куспид может быть определен на алгебраической кривой x ³ - y ²  = 0 или на параметризованной кривой g ( t ) = ( t ² , t ³ ). Оба определения дают особую точку в начале координат. Однако такой узел , как узел y ² - x ³ - x ²  = 0 в начале координат, является особенностью кривой, рассматриваемой как алгебраическая кривая, но если мы параметризуем ее как g ( t ) = ( t ² −1, t ( t ² −1)), то g '( t ) никогда не обращается в нуль, и, следовательно, узел не является сингулярностью параметризованной кривой, как определено выше.

При выборе параметризации следует соблюдать осторожность. Например, прямая y  = 0 может быть параметризована как g ( t ) = ( t ³ , 0), которая имеет особенность в начале координат. При параметризации g ( t ) = ( t , 0) он неособен. Следовательно, технически более корректно обсуждать особые точки гладкого отображения, а не особую точку кривой.

Приведенные выше определения могут быть расширены для охвата неявных кривых, которые определяются как нулевое множество f ⁻¹ (0) гладкой функции , и нет необходимости просто рассматривать алгебраические многообразия. Определения можно расширить, чтобы охватить кривые в более высоких измерениях.

Теорема Хасслера Уитни утверждает

Теорема . Любое замкнутое множество в R ^п происходит как множества решений F ^-1 (0) для некоторой гладкой функции F : R ^п → R .

Любую параметризованную кривую можно также определить как неявную кривую, а классификацию особых точек кривых можно изучить как классификацию особых точек алгебраического многообразия .

Типы особых точек

Некоторые из возможных особенностей:

• Изолированная точка: x ² + y ²  = 0, узел
• Пересечение двух линий: x ² - y ²  = 0, кранод
• Параболический : х ³ - у ²  = 0, также называемый спинодали
• Точка самоприкосновения : х ⁴ - у ²  = 0
• Бугорок ромфа: x ⁵ - y ²  = 0.

Смотрите также

• Особая точка алгебраического многообразия
• Теория сингулярности
• Теория Морса

Рекомендации

• Хилтон, Гарольд (1920). «Глава II: Особые точки». Плоские алгебраические кривые . Оксфорд.