Теорема периодичности Ботта - Bott periodicity theorem

В математике , то периодичность Ботт теорема описывает периодичность в гомотопических группах из классических групп , обнаруженных Рауль Ботт ( 1957 , 1959 ), которые оказались в основополагающем значении для большого количества дальнейших исследований, в частности , в К-теории устойчивого комплексного вектора расслоения , а также стабильные гомотопические группы сфер . Периодичность Ботта может быть сформулирована множеством способов, при этом рассматриваемая периодичность всегда проявляется как явление периода-2 по отношению к размерности для теории, связанной с унитарной группой . См., Например, топологическую K-теорию .

Существуют соответствующие явления периода 8 для теорий согласования, ( реальной ) KO-теории и ( кватернионной ) KSp-теории , связанных с реальной ортогональной группой и кватернионной симплектической группой , соответственно. J-гомоморфизм есть гомоморфизм гомотопических групп ортогональных групп к стабильным гомотопическим группам сфер , что вызывает период 8 периодичность Ботта , чтобы быть видимым в стабильных гомотопических групп сфер.

Заявление о результате

Боттовский показали , что , если определяются как индуктивный предел из ортогональных групп , то его гомотопические группы являются периодическими: ${\ Displaystyle О (\ infty)}$

{\ Displaystyle \ пи _ {п} (О (\ infty)) \ simeq \ pi _ {п + 8} (О (\ infty))}

и первые 8 гомотопических групп следующие:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ pi _ {0} (O (\ infty)) & \ simeq \ mathbb {Z} _ {2} \\\ pi _ {1} (O (\ infty)) & \ simeq \ mathbb {Z} _ {2} \\\ pi _ {2} (O (\ infty)) & \ simeq 0 \\\ pi _ {3} (O (\ infty)) & \ simeq \ mathbb {Z} \\\ pi _ {4} (O (\ infty)) & \ simeq 0 \\\ pi _ {5} (O (\ infty)) & \ simeq 0 \\\ pi _ {6} ( O (\ infty)) & \ simeq 0 \\\ pi _ {7} (O (\ infty)) & \ simeq \ mathbb {Z} \ end {выровнено}}}

Контекст и значение

Контекст периодичности Ботта является то , что гомотопические группы из сфер , которые следовало бы ожидать , чтобы играть основную роль в алгебраической топологии по аналогии с теорией гомологии , оказались неуловимы (и теория усложняется). Предмет устойчивой теории гомотопии был задуман как упрощение, путем введения операции подвешивания ( разбить продукт по кругу ) и наблюдения того, что (грубо говоря) осталось от теории гомотопии, как только можно было приостановить обе части уравнения, а именно: раз, как хотелось бы. Стабильная теория все еще была трудной для практических расчетов.

Периодичность Ботта предлагала понимание некоторых весьма нетривиальных пространств, имеющих центральный статус в топологии из-за связи их когомологий с характеристическими классами , для которых можно было вычислить все ( нестабильные ) гомотопические группы. Эти пространства представляют собой (бесконечные или стабильные ) унитарные, ортогональные и симплектические группы U , O и Sp. В этом контексте стабильный относится к объединению U (также известному как прямой предел ) последовательности включений

{\ Displaystyle U (1) \ подмножество U (2) \ подмножество \ cdots \ подмножество U = \ bigcup _ {k = 1} ^ {\ infty} U (k)}

и аналогично для O и Sp. Обратите внимание, что использование Боттом слова « стабильный» в названии своей основополагающей статьи относится к этим стабильным классическим группам, а не к стабильным гомотопическим группам.

Важная связь периодичности Ботта со стабильными гомотопическими группами сфер происходит через так называемый стабильный J -гомоморфизм от (нестабильных) гомотопических групп (стабильных) классических групп к этим стабильным гомотопическим группам . Первоначально описанный Джорджем Уайтхедом , он стал предметом знаменитой гипотезы Адамса (1963), окончательно разрешенной положительно Дэниелом Квилленом (1971). ${\ Displaystyle \ pi _ {п} ^ {S}}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {п} ^ {S}}$

Первоначальные результаты Ботта можно кратко изложить в:

Следствие: (неустойчивые) гомотопические группы (бесконечных) классических групп периодичны:

{\ Displaystyle {\ begin {align} \ pi _ {k} (U) & = \ pi _ {k + 2} (U) \\\ pi _ {k} (O) & = \ pi _ {k + 4} (\ operatorname {Sp}) \\\ pi _ {k} (\ operatorname {Sp}) & = \ pi _ {k + 4} (O) && k = 0,1, \ ldots \ end {выровнено} }}

Примечание: второй и третий из этих изоморфизмов переплетаются, чтобы получить результаты с 8-кратной периодичностью:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ pi _ {k} (O) & = \ pi _ {k + 8} (O) \\\ pi _ {k} (\ operatorname {Sp}) & = \ pi _ {k + 8} (\ operatorname {Sp}), && k = 0,1, \ ldots \ end {align}}}

Пространства петель и классифицирующие пространства

Для теории, связанной с бесконечной унитарной группой , U , пространство BU является классифицирующим пространством для стабильных комплексных векторных расслоений ( грассманиан в бесконечных измерениях). Одна формулировка периодичности Ботта описывает пространство петель в два раза, в BU . Здесь - функтор пространства петель , сопряженный справа к надстройке и сопряженный слева к конструкции классифицирующего пространства . Периодичность Ботта утверждает, что это пространство двойной петли снова по существу является BU ; точнее, ${\ displaystyle \ Omega ^ {2} BU}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

{\ displaystyle \ Omega ^ {2} BU \ simeq \ mathbb {Z} \ times BU}

по существу (то есть гомотопически эквивалентно ) объединению счетного числа копий BU . Эквивалентная формулировка:

{\ displaystyle \ Omega ^ {2} U \ simeq U.}

Любой из них немедленно показывает, почему (комплексная) топологическая K -теория является двумерной периодической теорией.

В соответствующей теории для бесконечной ортогональной группы , O , пространство BO является классифицирующим пространством для стабильных реальных векторных расслоений . В этом случае периодичность Ботта утверждает, что для 8-кратного пространства петель

{\ displaystyle \ Omega ^ {8} BO \ simeq \ mathbb {Z} \ times BO;}

или эквивалентно,

{\ displaystyle \ Omega ^ {8} O \ simeq O,}

откуда следует, что KO -теория является 8-кратной периодической теорией. Кроме того, для бесконечной симплектической группы Sp пространство BSp является классифицирующим пространством для стабильных кватернионных векторных расслоений , а периодичность Ботта утверждает, что

{\ displaystyle \ Omega ^ {8} \ operatorname {BSp} \ simeq \ mathbb {Z} \ times \ operatorname {BSp};}

или эквивалентно

{\ displaystyle \ Omega ^ {8} \ operatorname {Sp} \ simeq \ operatorname {Sp}.}

Таким образом, как топологическая реальная K -теория (также известная как KO -теория), так и топологическая кватернионная K -теория (также известная как KSp-теория) являются 8-кратными периодическими теориями.

Геометрическая модель петлевых пространств

Одна изящная формулировка периодичности Ботта использует наблюдение, что существуют естественные вложения (как замкнутые подгруппы) между классическими группами. Пространства петель в периодичности Ботт тогда гомотопически эквивалентны симметрические пространства последовательных дробей, с дополнительными дискретными факторами Z .

По комплексным числам:

{\ Displaystyle U \ раз U \ подмножество U \ подмножество U \ раз U.}

По действительным числам и кватернионам:

{\ displaystyle O \ times O \ subset O \ subset U \ subset \ operatorname {Sp} \ subset \ operatorname {Sp} \ times \ operatorname {Sp} \ subset \ operatorname {Sp} \ subset U \ subset O \ subset O \ times O.}

Эти последовательности соответствуют последовательностям в алгебрах Клиффорда - см. Классификацию алгебр Клиффорда ; над комплексными числами:

{\ displaystyle \ mathbb {C} \ oplus \ mathbb {C} \ subset \ mathbb {C} \ subset \ mathbb {C} \ oplus \ mathbb {C}.}

По действительным числам и кватернионам:

{\ displaystyle \ mathbb {R} \ oplus \ mathbb {R} \ subset \ mathbb {R} \ subset \ mathbb {C} \ subset \ mathbb {H} \ subset \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H} \ subset \ mathbb {H} \ subset \ mathbb {C} \ subset \ mathbb {R} \ subset \ mathbb {R} \ oplus \ mathbb {R},}

где алгебры с делением обозначают «матрицы над этой алгеброй».

Поскольку они являются 2-периодическими / 8-периодическими, их можно расположить по кругу, где они называются часами периодичности Ботта и часами алгебры Клиффорда .

Затем результаты периодичности Ботта уточняются до последовательности гомотопических эквивалентностей :

Для комплексной K -теории:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega U & \ simeq \ mathbb {Z} \ times BU = \ mathbb {Z} \ times U / (U \ times U) \\\ Omega (Z \ times BU) & \ simeq U = (U \ times U) / U \ end {выровнено}}}

Для реального и кватернионного KO - и KSP-теории:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega (\ mathbb {Z} \ times BO) & \ simeq O = (O \ times O) / O & \ Omega (\ mathbb {Z} \ times \ operatorname {BSp}) & \ simeq \ operatorname {Sp} = (\ operatorname {Sp} \ times \ operatorname {Sp}) / \ operatorname {Sp} \\\ Omega O & \ simeq O / U & \ Omega \ operatorname {Sp} & \ simeq \ имя оператора {Sp} / U \\\ Omega (O / U) & \ simeq U / \ operatorname {Sp} & \ Omega (\ operatorname {Sp} / U) & \ simeq U / O \\\ Omega (U / \ operatorname {Sp}) & \ simeq \ mathbb {Z} \ times \ operatorname {BSp} = \ mathbb {Z} \ times \ operatorname {Sp} / (\ operatorname {Sp} \ times \ operatorname {Sp}) & \ Omega (U / O) & \ simeq \ mathbb {Z} \ times BO = \ mathbb {Z} \ times O / (O \ times O) \ end {выровнено}}}

Полученные пространства гомотопически эквивалентны классическим редуктивным симметрическим пространствам и являются последовательными частными членов часов периодичности Ботта. Эти эквивалентности немедленно дают теоремы периодичности Ботта.

Конкретные пространства: (для групп также указано главное однородное пространство ):

Пространство петли	Частное	Этикетка Картана	Описание
${\ displaystyle \ Omega ^ {0}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ times O / (O \ times O)}$	BDI	Реальный грассманиан
${\ displaystyle \ Omega ^ {1}}$	${\ Displaystyle О = (О \ раз О) / О}$		Ортогональная группа (вещественное многообразие Штифеля )
${\ displaystyle \ Omega ^ {2}}$	${\ displaystyle O / U}$	DIII	пространство сложных структур, совместимых с данной ортогональной структурой
${\ displaystyle \ Omega ^ {3}}$	${\ Displaystyle U / \ mathrm {Sp}}$	AII	пространство кватернионных структур, совместимых с данной сложной структурой
${\ displaystyle \ Omega ^ {4}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ times \ mathrm {Sp} / (\ mathrm {Sp} \ times \ mathrm {Sp})}$	CII	Кватернионный грассманиан
${\ displaystyle \ Omega ^ {5}}$	${\ Displaystyle \ mathrm {Sp} = (\ mathrm {Sp} \ times \ mathrm {Sp}) / \ mathrm {Sp}}$		Симплектическая группа (кватернионное многообразие Штифеля )
${\ displaystyle \ Omega ^ {6}}$	${\ Displaystyle \ mathrm {Sp} / U}$	CI	комплексный лагранжев грассманиан
${\ displaystyle \ Omega ^ {7}}$	${\ displaystyle U / O}$	AI	Лагранжев грассманиан

Доказательства

Первоначальное доказательство Ботта ( Ботт, 1959 ) использовало теорию Морса , которую Ботт (1956) ранее использовал для изучения гомологии групп Ли. Было дано много разных доказательств.

Примечания

^ Интерпретация и разметка немного неверны и относятся к неприводимым симметрическим пространствам, в то время как это более общие редуктивные пространства. Например, SU / Sp неприводимо, а U / Sp редуктивно. Как они показывают, различие можно интерпретировать как то, включает ли кто-либо ориентацию.

использованная литература

Ботт, Рауль (1956), "Приложение теории Морса к топологии групп Ли", Bulletin de la Société Mathématique de France , 84 : 251–281, doi : 10.24033 / bsmf.1472 , ISSN 0037-9484 , Руководство по ремонту 0087035
Ботт, Рауль (1957), "Стабильная гомотопия классических групп", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 43 (10): 933–5, Bibcode : 1957PNAS ... 43..933B , DOI : 10.1073 / pnas.43.10.933 , JSTOR 89403 , МР 0102802 , КУП 528555 , PMID 16590113
Боттовский, Рауль (1959), "Стабильный Гомотопический классических группы", Annals математики , вторая серия 70 (2): 313-337, DOI : 10,2307 / 1970106 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970106 , МР 0110104 , PMC 528555 , PMID 16590113
Боттовский, Рауль (1970), "Теорема периодичности для классических групп и некоторых его применения", достижений в области математики , 4 (3): 353-411, да : 10,1016 / 0001-8708 (70) 90030-7. Изложение теоремы и математики, окружающей ее.
Giffen, CH (1996), "Периодичность Ботта и Q-конструкция" , в Banaszak, Grzegorz; Гайда, Войцех; Красонь, Петр (ред.), Алгебраическая K-теория , Современная математика, 199 , Американское математическое общество, стр. 107–124, ISBN 978-0-8218-0511-4, Руководство по ремонту 1409620
Милнор, Дж. (1969). Теория Морса . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08008-9.
Баэз, Джон (21 июня 1997 г.). «Неделя 105» . Находки этой недели по математической физике .

[2] Интерпретация и разметка немного неверны и относятся к неприводимым симметрическим пространствам, в то время как это более общие редуктивные пространства. Например, SU / Sp неприводимо, а U / Sp редуктивно. Как они показывают, различие можно интерпретировать как то, включает ли кто-либо ориентацию.

Languages

In other projects