Закон инерции Сильвестра - Sylvester's law of inertia

Закон Сильвестра инерции является теорема в алгебре матриц о некоторых свойствах матрицы коэффициентов в виде вещественной квадратичной формы , которые остаются инвариантны при изменении базиса . А именно, если A - симметричная матрица , определяющая квадратичную форму, а S - любая обратимая матрица, такая что D  =  SAS ^T диагональна, то количество отрицательных элементов в диагонали D всегда одинаково для всех таких S ; То же самое и с количеством положительных элементов.

Это свойство названо в честь Джеймса Джозефа Сильвестра , опубликовавшего свое доказательство в 1852 году.

Заявление

Пусть A - симметричная квадратная матрица порядка n с действительными элементами. Любая невырожденная матрица S такого же размера , как говорят , чтобы преобразовать А в другой симметричной матрицы B = SAS ^T , а также порядка п , где S ^T представляет транспонированная S . Также говорят, что матрицы A и B конгруэнтны. Если является матрицей коэффициентов некоторой квадратичной формы R ^п , то B является матрицей для одной и той же формы после изменения базиса , определяемого S .

Симметричная матрица A всегда может быть преобразована таким образом в диагональную матрицу D, которая имеет только элементы 0, +1 и -1 по диагонали. Закон Сильвестра инерции гласит , что число диагональных элементов каждого вида есть инвариант А , т.е. не зависит от матрицы S используется.

Количество + 1s, обозначается п ₊ , называется положительный индекс инерции из А , и число -1S, обозначаемый п _- , называется отрицательный индекс инерции . Количество 0s, обозначается п ₀ , является размерность нуль - пространства из A , известный как недействительности А . Эти числа удовлетворяют очевидному соотношению

${\ displaystyle n_ {0} + n _ {+} + n _ {-} = n.}$

Разница, SGN ( ) = п ₊ - п _- , обычно называется подпись из A . (Однако некоторые авторы используют этот термин для тройки ( n ₀ , n ₊ , n _- ), состоящей из нуль, а также положительных и отрицательных индексов инерции A ; для невырожденной формы данного измерения это эквивалентные данные , но в целом тройка дает больше данных.)

Если матрица A обладает тем свойством, что каждый главный верхний левый k × k минор Δ _k отличен от нуля, то отрицательный индекс инерции равен количеству смен знака в последовательности

${\ Displaystyle \ Delta _ {0} = 1, \ Delta _ {1}, \ ldots, \ Delta _ {n} = \ det A.}$

Заявление в терминах собственных значений

Закон также можно сформулировать следующим образом: две симметричные квадратные матрицы одинакового размера имеют одинаковое количество положительных, отрицательных и нулевых собственных значений тогда и только тогда, когда они конгруэнтны ( для некоторых неособых ). ${\ displaystyle B = SAS ^ {T}}$${\ displaystyle S}$

Положительные и отрицательные показатели симметричной матрицы А также число положительных и отрицательных собственных значений от A . Любая симметричная вещественная матрица A имеет собственное разложение вида QEQ ^T, где E - диагональная матрица, содержащая собственные значения A , а Q - ортонормированная квадратная матрица, содержащая собственные векторы. Матрица E может быть записана E  =  WDW ^T, где D диагональна с элементами 0, +1 или −1, а W диагональна с W _ii  = √ | E _ii |. Матрица S  =  КЯ преобразует D к  A .

Закон инерции квадратичных форм

В контексте квадратичных форм , вещественный квадратичной форма Q в п переменных (или на п - мерное векторное пространстве реального) можно с помощью соответствующего изменения базиса (по невырожденному линейному преобразованию от й к у) приводятся к диагонали форма

${\ Displaystyle Q (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} x_ {i} ^ {2}}$

с каждым a _i  ∈ {0, 1, −1}. Закон инерции Сильвестра гласит, что количество коэффициентов данного знака является инвариантом Q , т. Е. Не зависит от конкретного выбора диагонализирующего базиса. Выражаясь геометрически, закон инерции гласит, что все максимальные подпространства, на которых ограничение квадратичной формы положительно определено (соответственно отрицательно определено), имеют одинаковую размерность . Эти размеры являются положительными и отрицательными показателями инерции.

Обобщения

Закон инерции Сильвестра также применим, если A и B имеют сложные записи. В этом случае говорят, что A и B * -конгруэнтны тогда и только тогда, когда существует невырожденная комплексная матрица S такая, что B = SAS ^∗ . В сложном сценарии способ сформулировать закон инерции Сильвестра состоит в том, что если A и B - эрмитовы матрицы , то A и B * -конгруэнтны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую инерцию.

Островский доказал количественное обобщение закона инерции Сильвестра: если A и B * -конгруэнтны с B = SAS ^∗ , то их собственные значения λ _i связаны соотношением

.${\ displaystyle \ lambda _ {i} (B) = \ theta _ {i} \ lambda _ {i} (A), \ quad i = 1, \ ldots, n}$

где θ _i такие, что λ _n ( SS ^* ) ≤ θ _i ≤ λ ₁ ( SS ^* ).

Теорема Икрамова обобщает закон инерции на любые нормальные матрицы A и B : если A и B - нормальные матрицы , то A и B конгруэнтны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое количество собственных значений на каждом открытом луче из начала координат. в комплексной плоскости.

Смотрите также

• Подпись метрики
• Теория Морса
• Разложение Холецкого
• Формула аддитивности инерции Хейнсворта

Рекомендации

• Гарлинг, DJH (2011). Алгебры Клиффорда. Введение . Тексты студентов Лондонского математического общества. 78 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-1-107-09638-7. Zbl  1235.15025 .

Внешние ссылки

• Закон Сильвестра в PlanetMath .
• Закон инерции и * -конгруэнтности Сильвестра