Характеристический класс - Characteristic class

В математике , А характеристический класс представляет собой способ связывания к каждому главному расслоению из X когомологий класса X . Класс когомологий измеряет степень "скрученности" расслоения и наличие в нем секций . Классы характеристик - это глобальные инварианты, которые измеряют отклонение локальной структуры продукта от глобальной структуры продукта. Они являются одним из объединяющих геометрических понятий в алгебраической топологии , дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии .

Понятие характеристического класса возникло в 1935 г. в работе Эдуарда Штифеля и Хасслера Уитни о векторных полях на многообразиях.

Определение

Пусть G является топологической группой , и для топологического пространства , записи для множества классов изоморфизма в основном G -расслоения над . Это является контравариантный функтор из Top (в категории топологических пространств и непрерывных функций ) в Set (категория множеств и функций ), посылая карту к вытягиванию операции . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle b_ {G} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle b_ {G}}$${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$${\ displaystyle f ^ {*} \ двоеточие b_ {G} (Y) \ to b_ {G} (X)}$

Тогда характеристический класс c главных G -расслоений является естественным преобразованием из в функтор когомологий , рассматриваемый также как функтор в Set . ${\ displaystyle b_ {G}}$${\ displaystyle H ^ {*}}$

Другими словами, характеристический класс сопоставляется каждому главному G- расслоению в элементе c ( P ) в H * ( X ) такой, что если f  : Y → X - непрерывное отображение, то c ( f * P ) = f * c ( P ). Слева - класс отката P к Y ; справа - образ класса P при индуцированном отображении в когомологиях. ${\ displaystyle P \ to X}$${\ displaystyle b_ {G} (X)}$

Характерные числа

Характеристические классы - это элементы групп когомологий; целые числа можно получить из характеристических классов, называемых характеристическими числами . Некоторые важные примеры характеристических чисел являются числа Штифеля-Уитни , числа Черна , числа Понтрягина , и характеристикой Эйлера .

Для ориентированного многообразия M размерности n с фундаментальным классом и G- расслоения с характеристическими классами можно спарить произведение характеристических классов полной степени n с фундаментальным классом. Количество различных характеристических чисел - это количество одночленов степени n в характеристических классах или, что то же самое, разбиение n на . ${\ Displaystyle [M] \ в H_ {n} (M)}$${\ displaystyle c_ {1}, \ dots, c_ {k}}$${\ displaystyle {\ mbox {deg}} \, c_ {i}}$

Формально при условии , что соответствующее характеристическое число равно: ${\ displaystyle i_ {1}, \ dots, i_ {l}}$${\ displaystyle \ sum {\ mbox {deg}} \, c_ {i_ {j}} = n}$

${\ displaystyle c_ {i_ {1}} \ smile c_ {i_ {2}} \ smile \ dots \ smile c_ {i_ {l}} ([M])}$

где обозначает чашечное произведение классов когомологий. Они обозначаются различными как произведения характеристических классов, например, или с помощью некоторых альтернативных обозначений, например, для числа Понтрягина, соответствующего характеристике Эйлера , или для характеристики Эйлера. ${\ displaystyle \ smile}$${\ displaystyle c_ {1} ^ {2}}$${\ displaystyle P_ {1,1}}$${\ displaystyle p_ {1} ^ {2}}$${\ displaystyle \ chi}$

С точки зрения когомологий де Рама , можно взять дифференциальные формы, представляющие характеристические классы, взять произведение клина так, чтобы получить форму высшей размерности, а затем интегрировать по многообразию; это аналогично взятию произведения в когомологиях и спариванию с фундаментальным классом.

Это также работает для неориентируемых многообразий, которые имеют -ориентацию, и в этом случае можно получить -значные характеристические числа, такие как числа Штифеля-Уитни. ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$

Характеристические числа решают вопросы ориентированного и неориентированного бордизма : два многообразия (соответственно ориентированные или неориентированные) кобордантны тогда и только тогда, когда их характеристические числа равны.

Мотивация

Характеристические классы являются феноменами теории когомологий по существу - они представляют собой контравариантные конструкции в том смысле, что секция является своего рода функцией на пространстве, и чтобы привести к противоречию из-за существования секции, нам действительно нужна эта дисперсия. Фактически теория когомологий выросла после гомологии и теории гомотопии , которые являются ковариантными теориями, основанными на отображении в пространство; и теория характеристических классов, зарождающаяся в 1930-х годах (как часть теории препятствий ), была одной из основных причин, по которым искали «двойственную» теорию гомологии. Подход характеристического класса к инвариантам кривизны был особой причиной для создания теории, для доказательства общей теоремы Гаусса – Бонне .

Когда теория была введена на организованной основе около 1950 (с определениями , сводится к теории гомотопий) стало ясно , что наиболее фундаментальные характеристические классы известных в то время ( класс Штифеля-Уитни , то класс Черна , и классы Понтрягина ) были отражения классических линейных групп и их максимальная торическая структура. Более того, класс Черна сам по себе не был таким новым, поскольку он нашел отражение в исчислении Шуберта по грассманианам и в работах итальянской школы алгебраической геометрии . С другой стороны, теперь существовала структура, которая производила семейства классов всякий раз, когда задействовалось векторное расслоение .

Премьер механизм затем оказался следующим образом : Учитывая пространство X , несущий векторное расслоение, что подразумевается в гомотопической категории отображение из X в классифицирующем пространстве BG для соответствующей линейной группы G . Для гомотопической теории соответствующей информации переносятся компактными подгруппами , такие как ортогональные группы и унитарные группы в G . После того, как когомологии были вычислены раз и навсегда, свойство контравариантности когомологий означало, что характеристические классы для связки будут определены в тех же измерениях. Например, класс Черна - это действительно один класс с градуированными компонентами в каждом четном измерении. ${\ displaystyle H ^ {*} (BG)}$${\ displaystyle H ^ {*} (X)}$

Это по-прежнему классическое объяснение, хотя в данной геометрической теории полезно учитывать дополнительную структуру. Когда когомологии стали «экстраординарными» с появлением K-теории и теории кобордизмов, начиная с 1955 года, на самом деле было необходимо только повсюду менять букву H, чтобы указать, каковы были характеристические классы.

Характеристические классы были позже найдены слоениями из коллекторов ; они имеют (в модифицированном смысле для слоений с некоторыми разрешенными особенностями) классифицирующую теорию пространств в теории гомотопий .

В более поздних работах после сближения математики и физики Саймоном Дональдсоном и Дитером Кочиком были обнаружены новые характеристические классы в теории инстантонов . Работа и точка зрения Черна также оказались важными: см. Теорию Черна – Саймонса .

Стабильность

На языке теории стабильных гомотопий , то класс Черна , класс Штифеля-Уитни , и класс Понтрягина являются стабильными , в то время как класс Эйлера является неустойчивым .

В частности, класс устойчивее один , который не меняется , когда один добавляет тривиальное расслоение: . Более абстрактно это означает, что класс когомологий в классифицирующем пространстве для отступает от класса когомологий во включении (которое соответствует включению и т.п.). Точно так же все конечные характеристические классы отступают от стабильного класса в . ${\ Displaystyle с (V \ oplus 1) = с (V)}$${\ Displaystyle BG (п)}$${\ Displaystyle BG (п + 1)}$${\ Displaystyle BG (п) \ в BG (п + 1)}$${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n} \ to \ mathbf {R} ^ {n + 1}}$${\ displaystyle BG}$

Это не относится к классу Эйлера, как подробно описано там, не в последнюю очередь потому, что класс Эйлера k -мерного пучка живет в (следовательно, откатывается от него , поэтому он не может откатиться от класса в , поскольку размеры различаются. . ${\ Displaystyle Н ^ {к} (Х)}$${\ Displaystyle Н ^ {к} (БО (к))}$${\ displaystyle H ^ {k + 1}}$

Смотрите также

• Сегре класс
• Эйлерова характеристика
• Черн класс

Заметки

Рекомендации

• Черн, Шиинг-Шен (1995). Комплексные многообразия без теории потенциала . Springer-Verlag Press. ISBN   0-387-90422-0 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ) ISBN   3-540-90422-0 .

  Приложение к этой книге: «Геометрия характеристических классов» - очень аккуратное и глубокое введение в развитие идей характеристических классов.

• Хэтчер, Аллен , векторные расслоения и K-теория CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
• Хусемоллер, Дейл (1966). Пучки волокон (3-е издание, издание Springer 1993 г.). Макгроу Хилл. ISBN   0387940871 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
• Милнор, Джон В .; Сташеф, Джим (1974). Характерные классы . Анналы математических исследований. 76 . Princeton University Press , Принстон, Нью-Джерси; Токийский университет прессы , Токио. ISBN   0-691-08122-0 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )