Тавтологический пучок - Tautological bundle

В математике , то тавтологическое расслоение является векторным расслоением происходит над грассманиан в естественном тавтологического образом: для грассманиана - мерное подпространство из , учитывая точку в грассманиане , соответствующую n - мерное векторное подпространство , слой над -подпространством сам по себе . В случае проективного пространства тавтологическое расслоение называется тавтологическим линейным расслоением.${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle W \ substeq V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W}$

Тавтологическое расслоение также называется универсальным расслоением, поскольку любое векторное расслоение (над компактным пространством) является обратным отсчетом тавтологического расслоения; это означает, что грассманиан является классифицирующим пространством для векторных расслоений. В связи с этим тавтологическое расслоение важно при изучении характеристических классов .

Тавтологические расслоения строятся как в алгебраической топологии, так и в алгебраической геометрии. В алгебраической геометрии тавтологическое линейное расслоение (как обратимый пучок ) есть

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (- 1),}$

двойной из пучка гиперплоскости или скручивание пучка Серра . Гиперплоское расслоение - это линейное расслоение, соответствующее гиперплоскости ( дивизору ) в . Тавтологическое линейное расслоение и гиперплоское расслоение - это в точности два образующих группы Пикара проективного пространства. ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (1)}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n-1}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

В «K-теории» Майкла Атьи тавтологическое линейное расслоение над комплексным проективным пространством называется стандартным линейным расслоением . Расслоение сфер стандартного расслоения обычно называют расслоением Хопфа . (см. генератор Ботта .)

В более общем смысле, существуют также тавтологические расслоения на проективном расслоении векторного расслоения, а также на расслоении Грассмана .

Старый термин « канонический пучок » потерял популярность на том основании, что канонический и так сильно перегружен математической терминологией и (что еще хуже) путаницы с каноническим классом в алгебраической геометрии вряд ли можно избежать.

Интуитивное определение

Грассманианы по определению - это пространства параметров для линейных подпространств заданной размерности в заданном векторном пространстве . Если является грассманианом и является подпространством, соответствующим in , это уже почти данные, необходимые для векторного расслоения: а именно векторное пространство для каждой точки , непрерывно меняющееся. Все, что может остановить определение тавтологического пучка от этого указания, - это сложность, с которой они собираются пересечься. Исправление этого - обычное применение устройства дизъюнктного объединения , так что проекция связки происходит из общего пространства, составленного из идентичных копий , которые теперь не пересекаются. С этим у нас есть связка. ${\ displaystyle W}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V_ {g}}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle V_ {g}}$${\ displaystyle V_ {g}}$

Включен случай проективного пространства. По соглашению может быть полезно нести тавтологическое расслоение в смысле двойственного пространства . То есть в двойственном пространстве точки переноса векторных подпространств являются их ядрами, если рассматривать их как (лучи) линейных функционалов на . Если имеет размерность , тавтологическое линейное расслоение является одним тавтологическим расслоением, а другое, только что описанное, имеет ранг . ${\ Displaystyle P (V)}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ Displaystyle P (V)}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle n + 1}$${\ displaystyle n}$

Формальное определение

Пусть будут грассманиан из п - мерные векторные подпространства в виде множества этого множество всех п - мерных векторных подпространств , например, если п = 1, то вещественное проективное к -пространству. ${\ Displaystyle G_ {п} (\ mathbb {R} ^ {п + к})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п + к};}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + k}.}$

Определим тавтологическое расслоение γ _{n , k} над следующим образом. Общее пространство расслоения - это множество всех пар ( V , v ), состоящих из точки V грассманиана и вектора v в V ; оно дано топология подпространства декартово произведение Проекции отображения π задается n ( V , V ) = V . Если F является прообразом V под π, ему задается структура векторного пространства как a ( V , v ) + b ( V , w ) = ( V , av + bw ). Наконец, чтобы увидеть локальную тривиальность, для данной точки X в грассманиане пусть U будет множеством всех V таких, что ортогональная проекция p на X изоморфно отображает V на X , а затем определим ${\ Displaystyle G_ {п} (\ mathbb {R} ^ {п + к})}$${\ displaystyle G_ {n} (\ mathbb {R} ^ {n + k}) \ times \ mathbb {R} ^ {n + k}.}$

${\ displaystyle {\ begin {case} \ phi: \ pi ^ {- 1} (U) \ to G_ {n} (\ mathbb {R} ^ {n + k}) \ times X \\\ phi (V , v) = (V, p (v)) \ end {case}}}$

что, очевидно, является гомеоморфизмом. Следовательно, результатом является векторное расслоение ранга n .

Приведенное выше определение продолжает иметь смысл , если мы заменим с комплексным полем${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$

По определению, бесконечное грассманиан является прямым пределом в качестве Принимая прямой предел расслоения Г _{п , к} дают тавтологическое пучок γ _п о является универсальным расслоением в смысле: для каждого компактного пространства X , существует естественная биекция ${\ displaystyle G_ {n}}$${\ Displaystyle G_ {п} (\ mathbb {R} ^ {п + к})}$${\ displaystyle k \ to \ infty.}$${\ displaystyle G_ {n}.}$

${\ displaystyle {\ begin {case} [X, G_ {n}] \ to \ operatorname {Vect} _ {n} ^ {\ mathbb {R}} (X) \\ f \ mapsto f ^ {*} ( \ gamma _ {n}) \ end {case}}}$

где слева скобка означает гомотопический класс, а справа - множество классов изоморфизма вещественных векторных расслоений ранга n . Обратное отображение задается следующим образом: поскольку X компактно, любое векторное расслоение E является подрасслоением тривиального расслоения: для некоторого k, поэтому E определяет отображение ${\ displaystyle E \ hookrightarrow X \ times \ mathbb {R} ^ {n + k}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} f_ {E}: X \ to G_ {n} \\ x \ mapsto E_ {x} \ end {cases}}}$

уникален до гомотопии.

Замечание : В свою очередь, можно определить тавтологическое расслоение как универсальное; предположим, что существует естественная биекция

${\ displaystyle [X, G_ {n}] = \ operatorname {Vect} _ {n} ^ {\ mathbb {R}} (X)}$

для любого паракомпакта X . Поскольку это прямой предел компактных пространств, он паракомпактен, и поэтому существует единственное векторное расслоение над, которое соответствует тождественному отображению на. Это в точности тавтологическое расслоение, и, с ограничением, можно получить тавтологические расслоения над всеми${\ displaystyle G_ {n}}$${\ displaystyle G_ {n}}$${\ displaystyle G_ {n}.}$${\ displaystyle G_ {n} (\ mathbb {R} ^ {n + k}).}$

Комплект гиперплоскости

Расслоение гиперплоскости H на вещественной проективной K - пространства определяется следующим образом . Общая площадь H есть множество всех пар ( L , F ) , состоящие из линии L через начало координат в и е линейного функционала на L . Отображение проекции π задается формулой π ( L , f ) = L (так что слой над L является двойственным векторным пространством к L ). Остальное в точности похоже на тавтологическое линейное расслоение. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {к + 1}}$

Другими словами, H - двойственное расслоение к тавтологическому линейному расслоению.

В алгебраической геометрии расслоение гиперплоскостей - это линейное расслоение (как обратимый пучок ), соответствующее дивизору гиперплоскости

${\ displaystyle H = \ mathbb {P} ^ {n-1} \ subset \ mathbb {P} ^ {n}}$

задано как, скажем, x ₀ = 0, когда x _i - однородные координаты . В этом можно убедиться следующим образом. Если D является дивизором (Вейля) на одном, определяет соответствующее линейное расслоение O ( D ) на X следующим образом: ${\ Displaystyle X = \ mathbb {P} ^ {n},}$

${\ Displaystyle \ Гамма (U, О (D)) = \ {е \ в К | (е) + D \ geq 0 {\ текст {on}} U \}}$

где K является полем рациональных функций на X . Принимая D за H , мы имеем:

${\ displaystyle {\ begin {cases} O (H) \ simeq O (1) \\ f \ mapsto fx_ {0} \ end {cases}}}$

где x ₀ , как обычно, рассматривается как глобальное сечение скручивающего пучка O (1). (Фактически, указанный выше изоморфизм является частью обычного соответствия между дивизорами Вейля и дивизорами Картье.) Наконец, двойственный к скручивающему пучку соответствует тавтологическому линейному расслоению (см. Ниже).

Тавтологическое линейное расслоение в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии это понятие существует над любым полем k . Конкретное определение выглядит следующим образом. Пусть и . Обратите внимание, что у нас есть: ${\ Displaystyle А = К [y_ {0}, \ dots, y_ {n}]}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} = \ operatorname {Proj} A}$

${\ displaystyle \ mathbf {Spec} \ left ({\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}] \ right) = \ mathbb {A} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} ^ {n + 1} = \ mathbb {A} ^ {n + 1} \ times _ {k} {\ mathbb {P} ^ {n}} }$

где Spec - относительный Spec . Теперь положите:

${\ displaystyle L = \ mathbf {Spec} \ left ({\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] / I \ right )}$

где I - идеальный пучок, порожденный глобальными сечениями . Тогда L - замкнутая подсхема над той же базовой схемой ; более того, замкнутые точки L - это в точности те точки ( x , y ) из таких, что либо x равен нулю, либо образ x в равен y . Таким образом, L - это тавтологическое линейное расслоение, как определено ранее, если k - поле действительных или комплексных чисел. ${\ displaystyle x_ {i} y_ {j} -x_ {j} y_ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} ^ {n + 1}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n + 1} \ times _ {k} \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

Если говорить более кратко, L - это раздутие начала аффинного пространства , где геометрическое место x = 0 в L - исключительный дивизор . (см. Хартсхорн, гл. I, конец § 4.) ${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {п + 1}}$

В общем случае - это алгебраическое векторное расслоение, соответствующее локально свободному пучку E конечного ранга. Поскольку у нас есть точная последовательность: ${\ displaystyle \ mathbf {Spec} (\ operatorname {Sym} {\ check {E}})}$

${\ displaystyle 0 \ to I \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}] {\ overset {x_ {i} \ mapsto y_ {i}} {\ longrightarrow}} \ operatorname {Sym} {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (1) \ to 0,}$

тавтологическое линейное расслоение L , как определено выше, соответствует двойственной из скручивание пучка Серра . На практике оба понятия (тавтологический пучок и двойник скручивающего пучка) используются как взаимозаменяемые. ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (- 1)}$

Над полем его двойное линейное расслоение - это линейное расслоение, связанное с делителем гиперплоскости H , глобальные сечения которого являются линейными формами . Его класс Черна является - H . Это пример анти- обильного линейного пучка . Более того, это равносильно утверждению, что это отрицательное линейное расслоение, означающее, что минус его класс Черна - это класс де Рама стандартной кэлеровой формы. ${\ displaystyle \ mathbb {C},}$

Факты

• Тавтологическое линейное расслоение γ _{1, к} является локально тривиальным , но не тривиально , для к ^ 1. Это справедливо по отношению к другим полям.

Фактически, несложно показать, что при k = 1 вещественное тавтологическое линейное расслоение есть не что иное, как хорошо известное расслоение, полное пространство которого является лентой Мёбиуса . Полное доказательство этого факта см.

• Группа Пикара линейных расслоений на это бесконечная циклическая , а линейное расслоение тавтологическое представляет собой генератор.${\ Displaystyle \ mathbb {P} (V)}$

• В случае проективного пространства, где тавтологическое расслоение является линейным расслоением , связанный обратимый пучок сечений является тензорным обратным ( т. Е. Двойственным векторным расслоением) гиперплоского расслоения или твист-пучка Серра ; другими словами, гиперплоское расслоение является образующей группы Пикара, имеющей положительную степень (как дивизор ), а тавтологическое расслоение является ее противоположностью: образующей отрицательной степени.${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (- 1)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$

Смотрите также

• Набор хопфа
• Класс Штифеля-Уитни
• Последовательность Эйлера
• Класс Черна (классы Черна тавтологических расслоений - это алгебраически независимые образующие кольца когомологий бесконечного грассманиана.)
• Теорема Бореля
• Пространство Тома (пространства Тома тавтологических расслоений γ _n при n → ∞ называются спектром Тома .)
• Расслоение Грассмана

использованная литература

Источники

• Атья, Майкл Фрэнсис (1989), K-теория , Advanced Book Classics (2-е изд.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-09394-0, Руководство по ремонту  1043170
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), принципы алгебраической геометрии , библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , DOI : 10.1002 / 9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, MR  1288523.
• Хартсхорн, Робин (1977), алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157 , OCLC  13348052.
• [M + S] Джон Милнор и Джим Сташефф , Характеристические классы , Принстон, 1974.
• Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь , Берлин / Бостон: Вальтер Де Грюйтер, ISBN 978-3-11-031622-3