Бесконечнозначная логика - Infinite-valued logic

В логике , бесконечно-значная логика (или вещественная логика или бесконечно многозначная логика ) является многозначной логикой , в которой значение истинности содержит непрерывный диапазон. Традиционно, в логике Аристотеля, логика , отличная от бивалентной логики, была ненормальной, поскольку закон исключенного третьего исключал более двух возможных значений (т. Е. «Истинное» и «ложное») для любого предложения . Современная трехзначная логика (тернарная логика) допускает дополнительное возможное значение истинности (т. Е. «Неопределенный») и является примером конечно-значной логики, в которой значения истинности дискретны, а не непрерывны. Бесконечнозначная логика включает в себя непрерывную нечеткую логику , хотя нечеткая логика в некоторых ее формах может дополнительно включать в себя конечнозначную логику. Например, конечнозначная логика может применяться в булевозначном моделировании , логике описания и дефаззификации нечеткой логики.

История

Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц использовали как бесконечности, так и бесконечно малые, чтобы развить дифференциальное и интегральное исчисление в конце 17 века. Дедекинд , которые определены действительные числа в терминах некоторых множеств из рациональных чисел в 19 - м веке, и разработали аксиомой непрерывности о том , что одно правильное значение существует на пределе любых проб и ошибок аппроксимации . Феликс Хаусдорф продемонстрировал логическую возможность абсолютно непрерывного упорядочивания слов, содержащих бивалентные значения, причем каждое слово имеет абсолютно бесконечную длину, в 1938 году. Однако определение случайного действительного числа, означающего действительное число, которое не имеет никакого конечного описания, остается в некоторой степени в царстве парадокса .

Ян Лукасевич разработал систему трехзначной логики в 1920 году. Он обобщил систему до многозначной логики в 1922 году и продолжил разработку логики с (бесконечным в пределах диапазона) значениями истинности. Курт Гёдель разработал дедуктивную систему , применимую как для конечно-, так и для бесконечнозначной логики первого порядка (формальная логика, в которой предикат может относиться к одному предмету ), а также для промежуточной логики (формальная интуиционистская логика, используемая для предоставления доказательств). такие , как доказательство непротиворечивости для арифметического ), и показал , что в 1932 году логическая интуиция не может быть охарактеризована конечным-значной логикой .

Концепция выражения значений истинности как действительных чисел в диапазоне от 0 до 1 может напомнить о возможности использования комплексных чисел для выражения значений истинности. Эти значения истинности будут иметь мнимое измерение, например между 0 и i . Двумерная или многомерная истина потенциально может быть полезна в системах паранепротиворечивой логики . Если бы у таких систем возникли практические приложения, многомерная бесконечнозначная логика могла бы развиться как концепция, независимая от действительной логики.

Лотфи А. Заде предложил формальную методологию нечеткой логики и ее приложений в начале 1970-х годов. К 1973 году другие исследователи применяли теорию нечетких контроллеров Заде к различным механическим и промышленным процессам. Концепция нечеткого моделирования , появившаяся в результате этого исследования, была применена к нейронным сетям в 1980-х и к машинному обучению в 1990-х. Формальная методология также привела к обобщениям математических теорий в семействе нечетких логик с t-нормой .

Примеры

Базовая нечеткая логика - это логика непрерывных t-норм ( бинарные операции на реальном единичном интервале [0, 1]). Приложения, включающие нечеткую логику, включают системы распознавания лиц , бытовую технику , антиблокировочные тормозные системы , автоматические трансмиссии , контроллеры для систем скоростного транспорта и беспилотных летательных аппаратов , интеллектуальные и инженерные системы оптимизации, системы прогнозирования погоды , ценообразования и моделирования оценки рисков , медицинская диагностика и планирование лечения, системы торговли товарами и многое другое. Нечеткая логика используется для оптимизации эффективности термостатов для управления нагревом и охлаждением, для промышленной автоматизации и управления процессами , компьютерной анимации , обработки сигналов и анализа данных . Нечеткая логика внесла значительный вклад в области машинного обучения и интеллектуального анализа данных .

В бесконечной логике степени доказуемости предложений могут быть выражены в терминах бесконечнозначной логики, которая может быть описана с помощью вычисляемых формул, записанных в виде упорядоченных пар, каждая из которых состоит из символа степени истинности и формулы.

В математике безчисловая семантика может выражать факты о классических математических понятиях и делать их выводимыми с помощью логических выводов в бесконечнозначной логике. Нечеткая логика T-нормы может применяться для исключения ссылок на действительные числа из определений и теорем, чтобы упростить определенные математические концепции и облегчить определенные обобщения. Структура, используемая для безчисловой формализации математических понятий, известна как теория нечетких классов.

Философские вопросы, в том числе парадокс Сорита , рассматривались на основе бесконечнозначной логики, известной как нечеткий эпистемизм . Парадокс Сорита предполагает, что если добавление песчинки к чему-то, что не является кучей, не может создать кучу, то и куча песка не может быть создана. Поэтапный подход к пределу, при котором правда постепенно «просачивается», имеет тенденцию опровергать это предположение.

При изучении самой логики бесконечнозначная логика помогает понять природу человеческого понимания логических понятий. Курт Гёдель попытался понять человеческую способность к логической интуиции в терминах конечно-значной логики, прежде чем пришел к выводу, что эта способность основана на бесконечнозначной логике. Остаются открытыми вопросы относительно обработки в семантике естественного языка неопределенных истинностных значений.

Смотрите также

Рекомендации