Логика Лукасевича - Łukasiewicz logic

В математике и философии , Лукасевич логике ( / ˌ л ¯u к ə ʃ ɛ против ɪ tʃ / ЛОО -kə- дымо- -itch , польский: [wukaɕɛvitʂ] ) является неклассической , многозначной логикой . Первоначально она была определена в начале 20 века Яном Лукасевичем как трехзначная логика ; позже он был обобщен на n -значные (для всех конечных n ), а также на бесконечно многозначные ( ℵ ₀ -значные) варианты как пропозиционального, так и первого порядка. Версия с оценкой ℵ ₀ была опубликована в 1930 году Лукасевичем и Альфредом Тарским ; поэтому ее иногда называют логикой Лукасевича – Тарского . Он принадлежит к классам нечетких логик с t-нормой и субструктурных логик .

В статье представлена логика Лукасевича (–Тарского) в ее полной общности, т.е. как бесконечнозначная логика. Для элементарного введения в трехзначную реализацию Ł ₃ см. Трехзначную логику .

Язык

Пропозициональными связками логики Лукасевича являются импликация , отрицание , эквивалентность , слабая связь , сильная связь , слабая дизъюнкция , сильная дизъюнкция , а также пропозициональные константы и . Наличие конъюнкции и дизъюнкции - общая черта субструктурных логик без правила сжатия, к которому принадлежит логика Лукасевича. ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ neg}$ ${\ displaystyle \ leftrightarrow}$ ${\ Displaystyle \ клин}$ ${\ displaystyle \ otimes}$ ${\ displaystyle \ vee}$ ${\ displaystyle \ oplus}$ ${\ displaystyle {\ overline {0}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {1}}}$

Аксиомы

Исходная система аксиом пропозициональной бесконечнозначной логики Лукасевича использовала импликацию и отрицание в качестве примитивных связок:

{\ Displaystyle {\ begin {align} A & \ rightarrow (B \ rightarrow A) \\ (A \ rightarrow B) & \ rightarrow ((B \ rightarrow C) \ rightarrow (A \ rightarrow C)) \\ ((A \ rightarrow B) \ rightarrow B) & \ rightarrow ((B \ rightarrow A) \ rightarrow A) \\ (\ neg B \ rightarrow \ neg A) & \ rightarrow (A \ rightarrow B). \ end {align}} }

Пропозициональная бесконечнозначная логика Лукасевича также может быть аксиоматизирована путем добавления следующих аксиом к аксиоматической системе моноидальной логики с t-нормой :

Делимость: ${\ Displaystyle (A \ клин B) \ rightarrow (A \ otimes (A \ rightarrow B))}$
Двойное отрицание: ${\ displaystyle \ neg \ neg A \ rightarrow A.}$

То есть бесконечнозначная логика Лукасевича возникает путем добавления аксиомы двойного отрицания к базовой t-норме логики BL или путем добавления аксиомы делимости к логике IMTL.

Конечнозначные логики Лукасевича требуют дополнительных аксиом.

Семантика с действительным знаком

Бесконечнозначная логика Лукасевича - это вещественная логика, в которой предложениям из сентенциального исчисления может быть присвоено значение истинности не только ноль или единица, но и любое действительное число между ними (например, 0,25). Оценки имеют рекурсивное определение, где:

${\ Displaystyle вес (\ тета \ circ \ phi) = F _ {\ circ} (вес (\ theta), w (\ phi))}$ для двоичной связки ${\ displaystyle \ circ,}$
${\ Displaystyle вес (\ neg \ theta) = F _ {\ neg} (вес (\ theta)),}$
${\ displaystyle w \ left ({\ overline {0}} \ right) = 0}$ а также ${\ displaystyle w \ left ({\ overline {1}} \ right) = 1,}$

и где определения операций следующие:

Последствия: ${\ Displaystyle F _ {\ rightarrow} (х, у) = \ мин \ {1,1-х + у \}}$
Эквивалентность: ${\ Displaystyle F _ {\ leftrightarrow} (х, у) = 1- | ху |}$
Отрицание: ${\ Displaystyle F _ {\ neg} (х) = 1-х}$
Слабое соединение: ${\ Displaystyle F _ {\ клин} (х, у) = \ мин \ {х, у \}}$
Слабая дизъюнкция: ${\ Displaystyle F _ {\ vee} (х, у) = \ макс \ {х, у \}}$
Сильное соединение: ${\ Displaystyle F _ {\ otimes} (х, у) = \ макс \ {0, х + у-1 \}}$
Сильная дизъюнкция: ${\ displaystyle F _ {\ oplus} (x, y) = \ min \ {1, x + y \}.}$

Функция истинности сильной конъюнкции - это t-норма Лукасевича, а функция истинности сильной дизъюнкции - ее двойственная t-конорма . Очевидно, и , так, если , то в то время как соответствующие логически эквивалентные предложения имеют . ${\ displaystyle F _ {\ otimes}}$ ${\ displaystyle F _ {\ oplus}}$ ${\ Displaystyle F _ {\ otimes} (. 5, .5) = 0}$ ${\ Displaystyle F _ {\ oplus} (. 5, .5) = 1}$ ${\ Displaystyle Т (р) =. 5}$ ${\ Displaystyle Т (п \ клин р) = Т (\ отр р \ клин \ отр р) = 0}$ ${\ Displaystyle Т (п \ Ви р) = Т (\ Нег р \ Ви \ Нег р) = 1}$

Функция истинности - это остаток t-нормы Лукасевича. Все функции истинности основных связок непрерывны. ${\ displaystyle F _ {\ rightarrow}}$

По определению, формула является тавтологией бесконечнозначной логики Лукасевича, если она дает оценку 1 при каждой оценке пропозициональных переменных действительными числами в интервале [0, 1].

Конечнозначная и счетнозначная семантика

Используя точно такие же формулы оценки, что и для вещественной семантики, Лукасевич (1922) также определил (с точностью до изоморфизма) семантику над

любое конечное множество мощности n ≥ 2, выбирая область как {0, 1 / ( n - 1), 2 / ( n - 1), ..., 1 }
любое счетное множество , выбирая область как { p / q | 0 ≤ p ≤ q, где p - неотрицательное целое число, а q - положительное целое число}.

Общая алгебраическая семантика

Стандартная вещественная семантика, определяемая t-нормой Лукасевича, не является единственной возможной семантикой логики Лукасевича. Общая алгебраическая семантика пропозициональной бесконечнозначной логики Лукасевича формируется классом всех MV-алгебр . Стандартная вещественная семантика - это специальная MV-алгебра, называемая стандартной MV-алгеброй .

Подобно другим нечетким логикам с t-нормой , пропозициональная бесконечнозначная логика Лукасевича обладает полнотой по отношению к классу всех алгебр, для которых логика является правильной (т.е. MV-алгебры), а также по отношению только к линейным. Это выражается общей, линейной и стандартной теоремами о полноте:

Следующие условия эквивалентны:

${\ displaystyle A}$ доказуема в пропозициональной бесконечнозначной логике Лукасевича
${\ displaystyle A}$ справедливо во всех MV-алгебрах ( общая полнота )
${\ displaystyle A}$ справедливо во всех линейно упорядоченных MV-алгебрах ( линейная полнота )
${\ displaystyle A}$ справедливо в стандартной MV-алгебре ( стандартная полнота ).

Фонт, Родригес и Торренс в 1984 году представили алгебру Вайсберга как альтернативную модель для бесконечнозначной логики Лукасевича.

Попытка 1940-х годов Григоре Мойсила предоставить алгебраическую семантику для n- значной логики Лукасевича с помощью его алгебры Лукасевича – Мойсила (LM) (которую Мойсил называл алгебрами Лукасевича ) оказалась неправильной моделью для n ≥ 5. Эта проблема была обнародована Аланом Роузом в 1956. MV-алгебра Ч. Чанга , которая является моделью ℵ ₀ -значной (бесконечно-многозначной) логики Лукасевича – Тарского, была опубликована в 1958 году. ) n -значные логики Лукасевича, подходящие алгебры были опубликованы в 1977 г. Ревазом Григолией и названы MV _n -алгебрами. _N -алгебры MV являются подклассом _n -алгебр LM , и включение строго для n ≥ 5. В 1982 году Роберто Чиньоли опубликовал некоторые дополнительные ограничения, добавленные к _n -алгебрам LM, которые создают подходящие модели для n -значной логики Лукасевича; Чиньоли назвал свое открытие собственно алгебрами Лукасевича .

дальнейшее чтение

Rose, A .: 1956, Formalization du Calcul Propositionnel Implicatif ℵ ₀ Valeurs de Lukasiewicz, CR Acad. Sci. Париж, 243, 1183–1185.
Роуз, A .: 1978, Формализация дальнейших ₀ -значных пропозициональных исчислений Лукасевича, Журнал символической логики 43 (2), 207–210. DOI : 10,2307 / 2272818
Чиньоли, Р., «Алгебры многозначной логики Лукасевича - исторический обзор», в С. Агуццоли и др. (Ред.), Алгебраические и теоретико-доказательные аспекты неклассической логики, LNAI 4460, Springer, 2007. , 69-83. DOI : 10.1007 / 978-3-540-75939-3_5

[Luk1920-1] Лукасевич J., 1920, O logice trójwartościowej (на польском языке). Ручей философский 5 : 170–171. Английский перевод: О трехзначной логике, в Л. Борковском (ред.), Избранные произведения Яна Лукасевича , Северная Голландия, Амстердам, 1970, стр. 87–88. ISBN 0-7204-2252-3

[Hay1963-2] Хэй, LS, 1963, Аксиоматизация бесконечнозначного исчисления предикатов . Журнал символической логики 28 : 77–86.

[Ciungu2013-3] Лавиния Корина Ciungu (2013). Некоммутативные многозначные логические алгебры . Springer. п. vii. ISBN 978-3-319-01589-7.со ссылкой на Лукасевич, Дж., Тарский, А .: Untersuchungen über den Aussagenkalkül . Комп. Ренд. Soc. Sci. et Lettres Varsovie Cl. III 23, 30–50 (1930).

[Hájek1998-4] Хайек П. , 1998, Метаматематика нечеткой логики . Дордрехт: Клувер.

[Ono2003-5] Оно, Х., 2003, "Субструктурные логики и решетки с делениями - введение". В FV Hendricks, J. Malinowski (eds.): Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica, Trends in Logic 20 : 177–212.

[6] ttp://journal.univagora.ro/download/pdf/28.pdf со ссылкой на JM Font, AJ Rodriguez, A. Torrens, Wajsberg Algebras, Stochastica, VIII, 1, 5-31, 1984

[Ciungu2013bis-7] Лавиния Корина Ciungu (2013). Некоммутативные многозначные логические алгебры . Springer. стр. vii – viii. ISBN 978-3-319-01589-7.со ссылкой на Grigolia, RS: «Алгебраический анализ n-значных логических систем Лукасевича-Тарского». В: Wójcicki, R., Malinkowski, G. (eds.) Selected Papers on Lukasiewicz Sentential Calculi, pp. 81–92. Польская академия наук, Вроцлав (1977)

[8] Iorgulescu, А .: Связь между MV_н -алгебрами и п -значной Лукасевич-Мойсили алгебры-я. Дискретная математика. 181, 155-177 (1998) DOI : 10.1016 / S0012-365X (97) 00052-6

[9] Р. Cignoli, Правильный п-Valued Лукасевич алгебракак S-алгебра Лукасевича н-Valued пропозициональных исчисления, Studia Logica, 41, 1982, 3-16, DOI : 10.1007 / BF00373490

Languages

In other projects