Курт Гёдель - Kurt Gödel

Курт Гёдель
Курт гёдел.jpg
Родился
Курт Фридрих Гёдель

( 1906-04-28 )28 апреля 1906 г.
Умер 14 января 1978 г. (1978-01-14)(71 год)
Принстон , Нью-Джерси, США
Гражданство
Альма-матер Венский университет
Известен
Супруг (а)
Адель Нимбурски
( М.  1938)
Награды
Научная карьера
Поля Математика , математическая логика , аналитическая философия , физика
Учреждения Институт перспективных исследований
Тезис Über die Vollständigkeit des Logikkalküls (О полноте исчисления логики)  (1929)
Докторант Ганс Хан
Подпись
Курт Гёдель signature.svg

Курт Фридрих Гёдель ( / ɡ ɜːr d əl / ; немецкий: [kʊɐ̯t ɡøːdl̩] ( слушать )Об этом звуке ; 28 апреля 1906 - 14 января 1978) был логик , математик и философ . Считающийся наряду с Аристотелем и Готтлобом Фреге одним из самых значительных логиков в истории, Гёдель оказал огромное влияние на научное и философское мышление в 20-м веке, когда другие, такие как Бертран Рассел , Альфред Норт Уайтхед и Дэвид Гильберт, были используя логику и теорию множеств для исследования основ математики , опираясь на более ранние работы таких авторов , как Ричард Дедекинд , Георг Кантор и Фреге.

Гедель опубликовал свою первую теорему о неполноте в 1931 году, когда ему было 25 лет, через год после получения докторской степени в Венском университете . Первая теорема о неполноте утверждает, что для любой ω-непротиворечивой рекурсивной аксиоматической системы, достаточно мощной для описания арифметики натуральных чисел (например, арифметики Пеано ), существуют истинные утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть с помощью аксиом. Чтобы доказать это, Гёдель разработал метод, теперь известный как нумерация Гёделя , который кодирует формальные выражения как натуральные числа. Вторая теорема о неполноте, вытекающая из первой, утверждает, что система не может доказать свою непротиворечивость.

Гёдель также показал, что ни аксиома выбора, ни гипотеза континуума не могут быть опровергнуты принятой теорией множеств Цермело-Френкеля , предполагая, что ее аксиомы непротиворечивы. Первый результат открыл математикам возможность принять аксиому выбора в своих доказательствах. Он также внес важный вклад в теорию доказательств , прояснив связи между классической логикой , интуиционистской логикой и модальной логикой .

ранняя жизнь и образование

Детство

Гёдель родился 28 апреля 1906 года в Брюнне, Австро-Венгрия (ныне Брно , Чешская Республика ), в немецкоязычной семье Рудольфа Гёделя (1874–1929), управляющего директора и совладельца крупной текстильной фирмы, и Марианны. Гёдель ( урожденная Хандшу, 1879–1966). На протяжении всей своей жизни Гёдель оставался рядом со своей матерью; их переписка была частой и обширной. На момент его рождения в городе было немецкоязычное большинство, включая его родителей. Его отец был католиком, а мать - протестанткой, а дети воспитывались протестантами. Предки Курта Гёделя часто принимали активное участие в культурной жизни Брюнна. Например, его дед Йозеф Гёдель был известным певцом в свое время и в течение нескольких лет был членом Brünner Männergesangverein (Мужской хоровой союз Брюнна).

Гедель автоматически стал гражданином Чехословакии в возрасте 12 лет, когда Австро-Венгерская империя рухнула после поражения в Первой мировой войне . (По словам его одноклассника Клепетаржа , как и многих жителей преимущественно немецких Судетенландеров , «Гёдель всегда считал себя австрийцем и изгнанником в Чехословакию».) В феврале 1929 года он был освобожден от чехословацкого гражданства, а затем, в апреле, получил австрийский гражданство. Когда Германия аннексировала Австрию в 1938 году, Гёдель автоматически стал гражданином Германии в возрасте 32 лет. В 1948 году, после Второй мировой войны , в возрасте 42 лет он стал гражданином США.

В семье молодого Гёделя прозвали Герр Варум («Мистер Почему») из-за его ненасытного любопытства. По словам его брата Рудольфа, в возрасте шести или семи лет Курт страдал ревматической лихорадкой ; он полностью выздоровел, но всю оставшуюся жизнь оставался убежденным, что его сердце необратимо повреждено. Начиная с четырехлетнего возраста, Гедель страдал от «частых эпизодов плохого здоровья», которые продолжались всю его жизнь.

Гёдель посещал Evangelische Volksschule , лютеранскую школу в Брюнне с 1912 по 1916 год, а с 1916 по 1924 год был зачислен в Deutsches Staats-Realgymnasium , с отличием отличившись по всем предметам, особенно по математике, языкам и религии. Хотя Гедель сначала преуспел в языках, позже он стал больше интересоваться историей и математикой. Его интерес к математике возрос, когда в 1920 году его старший брат Рудольф (родился в 1902 году) уехал в Вену , где он учился в медицинской школе Венского университета . Во время юности, Гедель изучал Gabelsberger обсчитывать , Гете «s Теория цвета и критики Исаака Ньютона , и труды Иммануила Канта .

Учеба в Вене

В 18 лет Гёдель присоединился к своему брату в Венском университете . К тому времени он уже освоил математику университетского уровня. Хотя изначально он намеревался изучать теоретическую физику , он также посещал курсы математики и философии. За это время он перенял идеи математического реализма . Он читал « Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft» Канта и участвовал в Венском кружке с Морицем Шликом , Гансом Ханом и Рудольфом Карнапом . Затем Гёдель изучал теорию чисел , но когда он принял участие в семинаре Морица Шлика, который изучал книгу Бертрана Рассела « Введение в математическую философию» , он заинтересовался математической логикой . Согласно Гёделю, математическая логика была «наукой, предшествующей всем остальным, которая содержала идеи и принципы, лежащие в основе всех наук».

Посещение лекции Дэвида Гильберта в Болонье о полноте и непротиворечивости математических систем, возможно, определило жизненный курс Гёделя. В 1928 году Гильберт и Вильгельм Аккерман опубликовали Grundzüge der Theoretischen Logik ( Принципы математической логики ), введение в логику первого порядка, в котором была поставлена ​​проблема полноты: «Достаточны ли аксиомы формальной системы, чтобы вывести каждое утверждение, которое является верно во всех моделях системы? "

Эта проблема стала темой, которую Гёдель выбрал для своей докторской работы. В 1929 году в возрасте 23 лет он защитил докторскую диссертацию под руководством Ханса Хана. В нем он установил свою одноименную теорему о полноте относительно исчисления предикатов первого порядка . В 1930 году ему была присуждена докторская степень, а его диссертация (вместе с некоторыми дополнительными работами) была опубликована Венской академией наук .

Карьера

Теорема о неполноте

Достижения Курта Гёделя в современной логике уникальны и монументальны - на самом деле это больше, чем памятник, это ориентир, который останется видимым далеко в пространстве и времени. ... Тема логики, безусловно, полностью изменила свою природу и возможности с достижениями Гёделя.

В 1930 году Гёдель посетил Вторую конференцию по эпистемологии точных наук , проходившую в Кенигсберге 5–7 сентября. Здесь он изложил свои теоремы о неполноте .

Гёдель опубликовал свои теоремы о неполноте в Über формальных unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (на английском языке « О формально неразрешимых предложениях принципов математики и связанных систем »). В этой статье он доказал для любой вычислимой аксиоматической системы , достаточно мощной для описания арифметики натуральных чисел (например, аксиом Пеано или теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора ), что:

  1. Если (логическая или аксиома формальная) система является омегой-последовательной , она не может быть синтаксический завершена .
  2. Непротиворечивость аксиом не может быть доказана в рамках их собственной системы .

Эти теоремы положили конец полувековым попыткам найти набор аксиом, достаточный для всей математики , начиная с работ Готтлоба Фреге и заканчивая Principia Mathematica и формализмом Гильберта .

Оглядываясь назад, можно сказать, что основная идея, лежащая в основе теоремы о неполноте, довольно проста. Гёдель, по сути, построил формулу, утверждающую, что она недоказуема в данной формальной системе. Если бы это было доказуемо, это было бы ложью. Таким образом, всегда будет хотя бы одно верное, но недоказуемое утверждение. То есть для любого вычислимо перечислимого набора аксиом арифметики (то есть набора, который в принципе может быть распечатан идеализированным компьютером с неограниченными ресурсами), существует формула, которая верна для арифметики, но не доказуема в эта система. Однако, чтобы сделать это точным, Гёделю потребовалось разработать метод кодирования (в виде натуральных чисел) утверждений, доказательств и концепции доказуемости; он сделал это, используя процесс, известный как нумерация Гёделя .

В своей двухстраничной статье « Zum intuitionistischen Aussagenkalkül» (1932) Гёдель опровергает конечнозначность интуиционистской логики . В доказательстве он неявно использовал то, что позже стало известно как промежуточная логика Гёделя – Даммета (или нечеткая логика Гёделя ).

Середина 1930-х: дальнейшая работа и визиты в США

Гёдель получил степень бакалавра в Вене в 1932 году, а в 1933 году он стал там приват-доцентом (неоплачиваемым лектором). В 1933 году к власти в Германии пришел Адольф Гитлер , и в последующие годы нацисты усилили влияние в Австрии и среди венских математиков. В июне 1936 года Мориц Шлик , чей семинар пробудил интерес Гёделя к логике, был убит одним из его бывших учеников, Иоганном Нельбёком . Это вызвало у Гёделя «тяжелый нервный кризис». У него развились параноидальные симптомы, включая страх отравления, и он провел несколько месяцев в санатории для лечения нервных заболеваний.

В 1933 году Гёдель впервые поехал в США, где познакомился с Альбертом Эйнштейном , который стал его хорошим другом. Он выступил с речью на ежегодном собрании Американского математического общества . В течение этого года Гёдель также развил идеи вычислимости и рекурсивных функций до такой степени, что он смог прочитать лекцию об общих рекурсивных функциях и концепции истины. Эта работа была разработана в теории чисел с использованием нумерации Гёделя .

В 1934 году Гёдель прочитал серию лекций в Институте перспективных исследований (IAS) в Принстоне , штат Нью-Джерси, под названием « О неразрешимых предложениях формальных математических систем» . Стивен Клини , который только что защитил докторскую диссертацию в Принстоне, записал эти лекции, которые впоследствии были опубликованы.

Осенью 1935 года Гёдель снова посетил IAS. Путешествие и тяжелая работа утомили его, и в следующем году он сделал перерыв, чтобы оправиться от депрессивного эпизода. Он вернулся к преподаванию в 1937 году. В течение этого времени он работал над доказательством непротиворечивости аксиомы выбора и гипотезы континуума ; Далее он показал, что эти гипотезы не могут быть опровергнуты общей системой аксиом теории множеств.

Он женился на Адель Нимбурски  [ es ; ast ] (урожденная Поркерт, 1899–1981), которую он знал более 10 лет, 20 сентября 1938 года. Родители Гёделя выступали против их отношений, потому что она была разведенной танцовщицей, на шесть лет старше его.

Впоследствии он уехал с очередным визитом в Соединенные Штаты, проведя осень 1938 года в IAS и опубликовав « Согласованность аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума с аксиомами теории множеств, классики современной математики». В этой работе он представил конструируемую вселенную , модель теории множеств, в которой существуют только те множества, которые могут быть построены из более простых множеств. Гёдель показал, что и аксиома выбора (AC), и гипотеза обобщенного континуума (GCH) верны в конструируемой вселенной и, следовательно, должны согласовываться с аксиомами Цермело – Френкеля для теории множеств (ZF). Этот результат имел значительные последствия для работающих математиков, поскольку он означает, что они могут принять аксиому выбора при доказательстве теоремы Хана – Банаха . Позже Пол Коэн построил модель ZF, в которой AC и GCH ложны; вместе эти доказательства означают, что AC и GCH не зависят от аксиом ZF теории множеств.

Весну 1939 года Гёдель провел в университете Нотр-Дам .

Принстон, Эйнштейн, гражданство США

После аншлюса 12 марта 1938 года Австрия стала частью нацистской Германии . Германия отменила титул Privatdozent , поэтому Гёдель должен был подать заявку на другую должность в соответствии с новым порядком. Его прежняя связь с еврейскими членами Венского кружка, особенно с Ханом, была против него. Венский университет отклонил его заявку.

Его затруднительное положение усугубилось, когда немецкая армия сочла его годным к призыву. Вторая мировая война началась в сентябре 1939 года. Еще до того, как закончился год, Гёдель и его жена уехали из Вены в Принстон . Чтобы избежать трудностей при переходе через Атлантику, Гедели по Транссибирской магистрали отправились в Тихий океан, отплыли из Японии в Сан-Франциско (куда они прибыли 4 марта 1940 года), а затем пересекли США поездом в Принстон. Там Гёдель принял должность в Институте перспективных исследований (IAS), который он ранее посещал в 1933–1934 годах.

Альберт Эйнштейн также жил в Принстоне в то время. Гедель и Эйнштейн подружились, и, как известно, вместе совершали долгие прогулки в Институт перспективных исследований и обратно. Характер их разговоров оставался загадкой для других членов Института. Экономист Оскар Моргенштерн вспоминает, что ближе к концу своей жизни Эйнштейн признался, что «его собственная работа больше не имела большого значения, что он пришел в Институт просто ... чтобы иметь честь идти домой с Геделем».

Гёдель и его жена Адель провели лето 1942 года в Блю-Хилл, штат Мэн , в отеле Blue Hill Inn на вершине залива. Гёдель не просто отдыхал, но и провел очень продуктивное лето на работе. Используя Heft 15 [том 15] еще неопубликованных Arbeitshefte [рабочих тетрадей] Гёделя , Джон У. Доусон-младший делает гипотезу о том, что Гёдель открыл доказательство независимости аксиомы выбора от теории конечных типов, ослабленной формы теории множеств. в то время как в Blue Hill в 1942 году. Близкий друг Гёделя Хао Ван поддерживает эту гипотезу, отмечая, что записные книжки Гёделя Blue Hill содержат его наиболее обширное изложение проблемы.

5 декабря 1947 года Эйнштейн и Моргенштерн сопровождали Геделя на экзамен на получение гражданства США , где они выступили в качестве свидетелей. Гёдель признался им, что обнаружил несоответствие в Конституции США, которое могло позволить США стать диктатурой; это с тех пор было названо лазейкой Гёделя . Эйнштейн и Моргенштерн были обеспокоены тем, что непредсказуемое поведение их друга может поставить под угрозу его заявление. Судьей оказался Филипп Форман , который знал Эйнштейна и принес присягу на слушании дела о гражданстве Эйнштейна. Все шло гладко, пока Форман случайно не спросил Гёделя, думает ли он, что в США может произойти диктатура, подобная нацистскому режиму , а затем Гёдель начал объяснять свое открытие Форману. Форман понял, что происходит, отключил Геделя и перешел на слушание к другим вопросам и обычному заключению.

Гёдель стал постоянным членом Института перспективных исследований в Принстоне в 1946 году. Примерно в это же время он прекратил публиковаться, но продолжал работать. Он стал профессором института в 1953 году и почетным профессором в 1976 году.

Во время его пребывания в Институте интересы Гёделя обратились к философии и физике. В 1949 году он показал существование решений , связанных с закрытых времениподобные кривых , в полевых уравнений Эйнштейна в общей теории относительности . Говорят, что он подарил Эйнштейну эту разработку на его 70-летие. Его «вращающиеся вселенные» позволили бы путешествовать во времени в прошлое и заставили Эйнштейна усомниться в его собственной теории. Его решения известны как метрика Гёделя (точное решение уравнения поля Эйнштейна ).

Он изучал и восхищался работами Готфрида Лейбница , но пришел к выводу, что враждебный заговор привел к закрытию некоторых работ Лейбница. В меньшей степени он изучал Иммануила Канта и Эдмунда Гуссерля . В начале 1970 - х годов, Гедель распространен среди своих друзей в разработке версии Лейбница Ансельм Кентерберийский «ы онтологического доказательства существования Бога. Это теперь известно как онтологическое доказательство Гёделя .

Награды и почести

Гедель был награжден (вместе с Джулианом Швингером ) первой премией Альберта Эйнштейна в 1951 году, а также был награжден Национальной медалью науки в 1974 году. Гедель был избран постоянным членом Американского философского общества в 1961 году и иностранным членом Королевского общества. (ForMemRS) в 1968 году . Он был пленарным спикером ICM в 1950 году в Кембридже, штат Массачусетс. Премия Гёделя , ежегодная премия за выдающиеся работы в области теоретической информатики, названа в его честь.

Надгробие Курта и Адели Гедель в Принстоне, штат Нью-Джерси, кладбище

Позже жизнь и смерть

Позже Гёдель страдал от периодов психической нестабильности и болезней. После убийства своего близкого друга Морица Шлика у Гёделя был навязчивый страх быть отравленным ; он ел только ту пищу, которую приготовила для него его жена Адель. В конце 1977 года она была госпитализирована на шесть месяцев и впоследствии больше не могла готовить еду для мужа. В ее отсутствие он отказался от еды и в конце концов умер от голода. На момент смерти он весил 29 килограммов (65 фунтов). В его свидетельстве о смерти сообщалось, что он умер от «недоедания и истощения, вызванных расстройством личности» в больнице Принстона 14 января 1978 года. Он был похоронен на Принстонском кладбище . Смерть Адель последовала в 1981 году.

Религиозные взгляды

Гёдель был теистом христианской традиции. Он верил, что Бог был личным, и называл свою философию «рационалистической, идеалистической, оптимистической и теологической».

Гёдель твердо верил в загробную жизнь, говоря: «Конечно, это предполагает, что есть много отношений, о которых сегодняшняя наука и полученная мудрость не подозревают. Но я убежден в этом [загробной жизни], независимо от какой-либо теологии». Сегодня «чисто рассуждением можно понять», что это «полностью согласуется с известными фактами». «Если мир устроен рационально и имеет смысл, тогда должна быть такая вещь [как загробная жизнь]».

В неотправленном ответе на анкету Гёдель описал свою религию как «крещеный лютеран (но не член какой-либо религиозной общины). Моя вера является теистической , а не пантеистической , следуя Лейбницу, а не Спинозе ». О религии (ах) в целом он сказал: «Религии по большей части плохи, но религия - нет». По словам его жены Адель, «Гедель, хотя он и не ходил в церковь, был религиозным и читал Библию в постели каждое воскресное утро», а в отношении ислама он сказал: «Мне нравится ислам: это последовательный [или последовательный] идея религии и непредубежденности ".

Наследие

Общество Курта Гёделя , основанное в 1987 году, было названо в его честь. Это международная организация по продвижению исследований в области логики, философии и истории математики . В Венском университете находится Исследовательский центр математической логики Курта Гёделя. Ассоциация символической логики предложила ежегодный Курт Гедель преподавателя каждого года с 1990 года Философские тетрадей Гёделя редактируются в Исследовательском центре Курта Гёделя , который расположен в Берлине-Бранденбурге академии наук и гуманитарных наук в Германии.

Опубликовано пять томов собрания сочинений Гёделя. Первые два включают его публикации; третий включает неопубликованные рукописи из его Nachlass , а последние два включают переписку.

в 2005 году Джон Доусон опубликовал биографию Гёделя « Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя» ( AK Peters , Wellesley, MA, ISBN  1-56881-256-6 ). Гёдель был также одним из четырех математиков, исследованных в документальном фильме BBC Дэвида Мэлоуна « Опасные знания» 2008 года .

Дуглас Хофштадтер написал книгу 1979 года « Гёдель, Эшер, Бах», чтобы отметить работы и идеи Гёделя, М.С. Эшера и Иоганна Себастьяна Баха . В нем частично исследуются разветвления того факта, что теорема Гёделя о неполноте может быть применена к любой полной по Тьюрингу вычислительной системе, которая может включать человеческий мозг .

Лу Якоби играет Гёделя в фильме 1994 года IQ.

Библиография

Важные публикации

На немецком:

  • 1930, "Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls". Monatshefte für Mathematik und Physik 37 : 349–60.
  • 1931, "Uber Formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und Verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik 38 : 173–98.
  • 1932, "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül", Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69 : 65–66.

На английском:

  • 1940. Согласованность аксиомы выбора и гипотезы обобщенного континуума с аксиомами теории множеств. Издательство Принстонского университета.
  • 1947. "Что такое проблема континуума Кантора?" Американский математический ежемесячник 54 : 515–25. Пересмотренная версия в Paul Benacerraf and Hilary Putnam , eds., 1984 (1964). Философия математики: Избранные чтения . Cambridge Univ. Пресс: 470–85.
  • 1950, "Вращающиеся вселенные в общей теории относительности". Труды международного конгресса математиков в Кембридже, Vol. 1. С. 175–81.

В английском переводе:

  • Курт Гёдель, 1992. О формально неразрешимых предложениях принципов математики и родственных систем , тр. Б. Мельцер, всестороннее введение Ричарда Брейтуэйта . Дуврское переиздание издания Basic Books 1962 года.
  • Курт Гёдель, 2000. О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем , тр. Мартин Хирзель
  • Жан ван Хейеноорт , 1967. Справочник по математической логике, 1879–1931 . Harvard Univ. Нажмите.
    • 1930. «Полнота аксиом функционального исчисления логики», 582–91.
    • 1930. «Некоторые метаматематические результаты о полноте и непротиворечивости», 595–96. Аннотация к (1931).
    • 1931. «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем», 596–616.
    • 1931а. «О полноте и непротиворечивости», 616–17.
  • «Моя философская точка зрения» , гр. 1960 г., не опубликовано.
  • «Современное развитие основ математики в свете философии» , 1961 г., не опубликовано.
  • Собрание сочинений : Издательство Оксфордского университета: Нью-Йорк. Главный редактор: Соломон Феферман .
  • Philosophische Notizbücher / Философские тетради : De Gruyter: Berlin / München / Boston. Редактор: Ева-Мария Энгелен .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

  • Доусон, Джон В. (1997), Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя , Уэлсли, Массачусетс: А.К. Петерс.
  • Гольдштейн, Ребекка (2005), Неполнота: доказательство и парадокс Курта Гёделя , Нью-Йорк: WW Norton & Co, ISBN 978-0-393-32760-1.

дальнейшее чтение

  • Стивен Будянски , 2021. Путешествие к краю разума: жизнь Курта Гёделя . WW Norton & Company.
  • Касти, Джон Л; DePauli, Werner (2000), Gödel: A Life of Logic , Cambridge, MA: Basic Books (Perseus Books Group), ISBN 978-0-7382-0518-2.
  • Доусон, Джон У., младший (1996), Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя , А. К. Петерс.
  • Доусон, Джон W, Jr (1999), "Гедель и пределы логики", Scientific American , 280 (6): 76-81, Bibcode : 1999SciAm.280f..76D , DOI : 10.1038 / scientificamerican0699-76 , PMID  10048234.
  • Франзен, Торкель (2005), Теорема Гёделя: неполное руководство по ее использованию и злоупотреблениям , Уэлсли, Массачусетс: AK Peters.
  • Айвор Граттан-Гиннесс , 2000. В поисках математических корней 1870–1940 . Princeton Univ. Нажмите.
  • Хямеен-Анттила, Мария (2020). Гёделя об интуиционизме и конструктивных основах математики (докторская диссертация). Хельсинки: Университет Хельсинки. ISBN 978-951-51-5922-9.
  • Яакко Хинтикка , 2000. О Геделе . Уодсворт.
  • Дуглас Хофштадтер , 1980. Гедель, Эшер, Бах . Винтаж.
  • Стивен Клини , 1967. Математическая логика . Переиздание Dover в мягкой обложке c. 2001 г.
  • Стивен Клини, 1980. Введение в метаматематику . ISBN  Северной Голландии 0-7204-2103-9 (мягкая обложка Ishi Press. 2009. ISBN  978-0-923891-57-2 )
  • Дж. Р. Лукас , 1970. Свобода воли . Кларендон Пресс, Оксфорд.
  • Эрнест Нагель и Ньюман, Джеймс Р., 1958. Доказательство Гёделя. New York Univ. Нажмите.
  • Прохазка, Иржи, 2006, 2006, 2008, 2008, 2010. Курт Гёдель: 1906–1978: Генеалогия . ПУНКТ, Брно. Том I. Брно 2006, ISBN  80-902297-9-4 . На немецком, английском. Том II. Брно 2006, ISBN  80-903476-0-6 . На немецком, английском. Том III. Брно 2008, ISBN  80-903476-4-9 . На немецком, английском. Том IV. Брно, Принстон 2008, ISBN  978-80-903476-5-6 . На немецком, английском томе V, Брно, Принстон 2010, ISBN  80-903476-9-X . На немецком, английском.
  • Procházka, Jiří, 2012. «Курт Гёдель: 1906–1978: История». ПУНКТ, Брно, Вена, Принстон. Том I. ISBN  978-80-903476-2-5 . На немецком, английском.
  • Эд Регис , 1987. Кто получил кабинет Эйнштейна? Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
  • Раймонд Смуллян , 1992. Теоремы Гёделя о неполноте . Издательство Оксфордского университета.
  • Ольга Таусская-Тодд , 1983. Воспоминания Курта Гёделя . Техника и наука, зима 1988 г.
  • Гёдель, Алоис, 2006. Brünn 1679–1684. ПУНКТ, Брно 2006, под редакцией Иржи Прохазки , ISBN  80-902297-8-6
  • Procházka, Jiří 2017. «Курт Гёдель: 1906–1978: биография». ПУНКТ, Брно, Вена, Принстон, 2017. Том I. ( ISBN  978-80-903476-9-4 ). На немецком, английском.
  • Прохазка, Иржи 2019. "Курт Гедель 1906-1978: Биографическая справка". ПУНКТ, Брно, Вена, Принстон, 2019. Том II. ( ISBN  978-80-903476-1-8 ). На немецком, английском.
  • Хао Ван , 1987. Размышления о Курте Гёделе. MIT Press.
  • Хао Ван, 1996. Логическое путешествие: от Геделя к философии . MIT Press.
  • Yourgrau, Palle, 1999. Гедель встречает Эйнштейна: путешествие во времени во Вселенной Геделя. Чикаго: Открытый суд.
  • Yourgrau, Palle, 2004. Мир без времени: забытое наследие Геделя и Эйнштейна. Основные книги. Рецензия на книгу Джона Стэчела в Извещениях Американского математического общества ( 54 (7), стр. 861–68):

внешние ссылки