Число Алеф - Aleph number

Алеф-ноль, алеф-ноль или алеф-ноль, наименьшее бесконечное кардинальное число

В математике , особенно в теории множеств , числа алеф - это последовательность чисел, используемая для представления мощности (или размера) бесконечных множеств, которые могут быть хорошо упорядочены . Они были введены математиком Георгом Кантором и названы в честь символа, который он использовал для их обозначения, еврейской буквы алеф ( ). ${\ Displaystyle \, \ Алеф \,}$

Мощность натуральных чисел равна (читайте aleph-naught или aleph-zero ; иногда также используется термин aleph-null ), следующая большая мощность хорошо упорядочиваемого набора - это aleph-one, затем и так далее. Продолжая таким образом, можно определить кардинальное число для каждого порядкового числа, как описано ниже. ${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {0} \,}$ ${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {1} \ ;,}$ ${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {2} \,}$ ${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {\ альфа} \,}$ ${\ Displaystyle \, \ альфа \ ;,}$

Концепция и обозначения принадлежат Георгу Кантору , который определил понятие мощности и понял, что бесконечные множества могут иметь разную мощность .

Числа алефов отличаются от бесконечности ( ), обычно встречающейся в алгебре и исчислении, тем, что алефы измеряют размеры множеств, в то время как бесконечность обычно определяется либо как крайний предел линии действительного числа (применяется к функции или последовательности, которая " расходится до бесконечности »или« неограниченно возрастает »), или как крайняя точка расширенной линии действительных чисел . ${\ Displaystyle \, \ infty \,}$

Алеф-ноль

${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {0} \,}$ (aleph-naught, также aleph-zero или aleph-null) - мощность множества всех натуральных чисел и является бесконечным кардиналом . Множество всех конечных ординалов , называемых или (где - строчная греческая буква омега ), имеет мощность А множество имеет мощность тогда и только тогда, когда оно счетно бесконечно , то есть существует взаимно однозначное соответствие (взаимно однозначное соответствие) между это и натуральные числа. Примеры таких наборов: ${\ displaystyle \, \ omega \,}$ ${\ displaystyle \, \ omega _ {0} \,}$ ${\ displaystyle \, \ omega \,}$ ${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {0} \ ;.}$ ${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {0} \,}$

набор всех целых чисел ,
любое бесконечное подмножество целых чисел, такое как набор всех квадратных чисел или набор всех простых чисел ,
набор всех рациональных чисел ,
множество всех конструктивных чисел (в геометрическом смысле),
набор всех алгебраических чисел ,
множество всех вычислимых чисел ,
набор всех двоичных строк конечной длины, и
множество всех конечных подмножеств любого данного счетно бесконечного множества.

Эти бесконечные ординалы: и находятся среди счетно бесконечных множеств. Например, последовательность (с порядком ω · 2) всех положительных нечетных целых чисел, за которыми следуют все положительные четные целые числа ${\ Displaystyle \, \ omega \ ;,}$ ${\ displaystyle \, \ omega +1 \ ;,}$ ${\ Displaystyle \, \ omega \, \ cdot 2 \ ,, \,}$ ${\ Displaystyle \, \ омега ^ {2} \ ,,}$ ${\ displaystyle \, \ omega ^ {\ omega} \,}$ ${\ displaystyle \, \ varepsilon _ {0} \,}$

{\ Displaystyle \, \ {\, 1,3,5,7,9, ..., 2,4,6,8,10, ... \, \} \,}

является упорядочением множества (с мощностью ) натуральных чисел. ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Если выполняется аксиома счетного выбора (более слабая версия аксиомы выбора ), то она меньше любого другого бесконечного кардинала. ${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {0} \,}$

Алеф-он

${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {1} \,}$ - это мощность множества всех счетных порядковых чисел , называемых или иногда. Это само по себе порядковое число больше всех счетных, поэтому это несчетное множество . Следовательно, отличается от Определение означает (в ZF, теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора), что никакое кардинальное число не находится между и. Если используется выбранная аксиома , можно дополнительно доказать, что класс кардинальных чисел это вполне упорядочено , и , таким образом , является вторым наименьшим бесконечное кардинальное число. Используя выбранную аксиому, можно показать одно из наиболее полезных свойств множества, у любого счетного подмножества есть верхняя граница в (Это следует из того факта, что объединение счетного числа счетных множеств само является счетным - одним из наиболее распространенные применения аксиомы выбора.) Этот факт аналогичен ситуации, когда каждое конечное множество натуральных чисел имеет максимум, который также является натуральным числом, а конечные объединения конечных множеств конечны. ${\ displaystyle \, \ omega _ {1} \,}$ ${\ Displaystyle \, \ Omega \ ;.}$ ${\ displaystyle \, \ omega _ {1} \,}$ ${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {1} \,}$ ${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {0} \ ;.}$ ${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {1} \,}$ ${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {0} \,}$ ${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {1} \ ;.}$ ${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {1} \,}$ ${\ displaystyle \, \ omega _ {1} ~:}$ ${\ displaystyle \, \ omega _ {1} \,}$ ${\ displaystyle \, \ omega _ {1} ~.}$ ${\ displaystyle \, \ aleph _ {0} ~:}$

${\ displaystyle \, \ omega _ {1} \,}$ на самом деле полезная концепция, хотя и звучит несколько экзотично. Примерное приложение «закрывается» по отношению к счетным операциям; например, попытка явно описать σ-алгебру, порожденную произвольным набором подмножеств (см., например, иерархию Бореля ). Это сложнее, чем большинство явных описаний «генерации» в алгебре ( векторные пространства , группы и т. Д.), Потому что в этих случаях нам нужно закрыть только в отношении конечных операций - сумм, произведений и т. Д. Процесс включает в себя определение для каждого счетного ординала с помощью трансфинитной индукции набора путем «добавления» всех возможных счетных объединений и дополнений и взятия объединения всего этого по всем параметрам. ${\ displaystyle \, \ omega _ {1} ~.}$

Гипотеза континуума

Мощность множества действительных чисел ( мощности континуума ) является Это не может быть определена из ZFC ( Цермело-Френкеля теории множеств дополненной с аксиомой выбора ) , где это число точно подходит в иерархии число алеф, но это следует из ZFC что гипотеза континуума CH эквивалентна тождеству ${\ displaystyle \, 2 ^ {\ aleph _ {0}} ~.}$

{\ Displaystyle 2 ^ {\ Алеф _ {0}} = \ Алеф _ {1} ~}

СН утверждает, что не существует множества, мощность которого строго находится между целыми и действительными числами. СН не зависит от ZFC : он не может быть ни доказано , ни опровергнуто в контексте этой системы аксиом ( при условии , что ZFC является последовательным ). То, что CH согласуется с ZFC, было продемонстрировано Куртом Гёделем в 1940 году, когда он показал, что его отрицание не является теоремой ZFC . То, что она не зависит от ZFC, было продемонстрировано Полом Коэном в 1963 году, когда он показал, наоборот, что CH сама по себе не является теоремой ZFC - с помощью (тогда еще нового) метода принуждения .

Алеф-омега

Алеф-омега - это

{\ displaystyle \ aleph _ {\ omega} = \ sup \, \ {\, \ aleph _ {n}: n \ in \ omega \} = \ sup \, \ {\, \ aleph _ {n}: n \ in \ left \ {\, 0,1,2, \ точки \, \ right \} \, \} ~}

где наименьший бесконечный ординал обозначен $ω$ . То есть, кардинальное число является не менее верхней границей из ${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {\ omega} \,}$

{\ displaystyle \ left \ {\, \ aleph _ {n}: n \ in \ left \ {\, 0,1,2, \ dots \, \ right \} \, \ right \} ~.}

${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {\ omega} \,}$ является первым несчетное кардинальное число , которое может быть продемонстрирована в рамках теории множеств Цермело-Френкеля не быть равна мощности множества всех действительных чисел ; для любого положительного целого числа n мы можем последовательно предполагать, что и, более того, можно предположить, что оно настолько велико, насколько нам нравится. Мы только вынуждены избегать установки его для определенных специальных кардиналов с конфинальностью, что означает, что существует неограниченная функция от до него (см . Теорему Истона ). ${\ Displaystyle \, 2 ^ {\ Алеф _ {0}} = \ Алеф _ {п} ~,}$ ${\ Displaystyle \, 2 ^ {\ алеф _ {0}} \,}$ ${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {0} ~,}$ ${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {0} \,}$

Aleph-α для общего α

Чтобы определить для произвольного порядкового числа, мы должны определить последующую кардинальную операцию , которая присваивает любому кардинальному числу следующий больший хорошо упорядоченный кардинал (если выполняется аксиома выбора , это следующий больший кардинал). ${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {\ альфа} \,}$ ${\ Displaystyle \, \ альфа ~,}$ ${\ Displaystyle \, \ rho \,}$ ${\ Displaystyle \, \ rho ^ {+} \,}$

Затем мы можем определить числа алеф следующим образом:

{\ displaystyle \ aleph _ {0} = \ omega}

{\ Displaystyle \ Алеф _ {\ альфа +1} = \ Алеф _ {\ альфа} ^ {+} ~}

и $Л$ , бесконечный предел порядковый ,

{\ displaystyle \ aleph _ {\ lambda} = \ bigcup _ {\ beta <\ lambda} \ aleph _ {\ beta} ~.}

Α-й бесконечные начальные порядковым записываются . Его мощность записывается в ZFC, функция алеф является биекцией порядковых чисел в бесконечные кардиналы. ${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$ ${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {\ альфа} ~.}$ ${\ Displaystyle \, \ Алеф \,}$

Неподвижные точки омеги

Для любого ординала α имеем

{\ displaystyle \ alpha \ leq \ omega _ {\ alpha} ~.}

Во многих случаях строго больше, чем $α$ . Например, для любого последующего ординала α это верно. Однако есть некоторые предельные ординалы, которые являются неподвижными точками омега-функции из -за леммы о неподвижной точке для нормальных функций . Первый из них - это предел последовательности ${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$

{\ displaystyle \ omega, \, \ omega _ {\ omega}, \, \ omega _ {\ omega _ {\ omega}}, \, \ ldots ~.}

Любой слабо недоступный кардинал также является фиксированной точкой функции алеф. Это можно показать в ZFC следующим образом. Допустим , это слабодоступный кардинал. Если бы был порядковый преемник , то он был бы кардиналом-преемником и, следовательно, не был бы слабо недоступным. Если бы предельный порядковый номер был меньше, то его конфинальность (и, следовательно, конфинальность ) была бы меньше, и поэтому не была бы регулярной и, следовательно, не была бы слабо недоступной. Таким образом и, следовательно, что делает его неподвижной точкой. ${\ displaystyle \, \ kappa = \ aleph _ {\ lambda} \,}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \, \ Алеф _ {\ lambda} \,}$ ${\ displaystyle \, \ lambda \,}$ ${\ Displaystyle \, \ каппа ~,}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}$ ${\ Displaystyle \, \ каппа \,}$ ${\ Displaystyle \, \ каппа \,}$ ${\ Displaystyle \, \ лямбда \ geq \ каппа \,}$ ${\ Displaystyle \, \ лямбда = \ каппа \,}$

Роль аксиомы выбора

Мощность любого бесконечного порядкового числа - это число алеф. Каждый алеф - это мощность некоторого ординала. Наименьшее из них - его начальный порядковый номер . Любой набор, мощность которого является алефом, равнозначен порядковому номеру и, следовательно, хорошо упорядочен .

Каждое конечное множество хорошо упорядочивается, но не имеет алеф в качестве его мощности.

Предположение, что мощность каждого бесконечного множества является алеф-числом, эквивалентно над ZF существованию хорошего упорядочения каждого набора, что, в свою очередь, эквивалентно выбранной аксиоме . Теория множеств ZFC, которая включает аксиому выбора, подразумевает, что каждое бесконечное множество имеет число алеф в качестве его мощности (т.е. равнозначно своему начальному порядковому номеру), и, таким образом, начальные порядковые числа чисел алефа служат классом представителей для всех возможные бесконечные кардинальные числа.

Когда мощность изучается в ZF без аксиомы выбора, уже невозможно доказать, что каждое бесконечное множество имеет некоторое число алеф в качестве мощности; множества, мощность которых является алеф-числом, - это в точности бесконечные множества, которые можно упорядочить. Метод уловки Скотта иногда используется как альтернативный способ построения представителей для количественных чисел в установке ZF. Например, можно определить $карту (S)$ как набор множеств с той же мощностью, что и $S,$ минимально возможного ранга. Это имеет свойство $card (S) = card (T)$ тогда и только тогда, когда $S$ и $T$ имеют одинаковую мощность. (В общем, установленная $карта (S)$ не имеет такой же мощности, как $S$ , но все ее элементы имеют.)

Смотрите также

Примечания

Цитаты

внешние ссылки

"Алеф-ноль" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Алеф-0» . MathWorld .

Languages

In other projects