Гиперболический треугольник - Hyperbolic triangle

В гиперболической геометрии , A гиперболической треугольник является треугольником в гиперболической плоскости . Он состоит из трех отрезков, называемых сторонами или ребрами, и трех точек, называемых углами или вершинами .

Как и в евклидовом случае, три точки гиперболического пространства произвольной размерности всегда лежат на одной плоскости. Следовательно, плоские гиперболические треугольники также описывают треугольники, возможные в любой более высокой размерности гиперболических пространств.

Определение

Гиперболический треугольник состоит из трех неколлинеарных точек и трех отрезков между ними.

Характеристики

Гиперболические треугольники обладают некоторыми свойствами, аналогичными свойствам треугольников в евклидовой геометрии :

• Каждый гиперболический треугольник имеет вписанную окружность, но не каждый гиперболический треугольник имеет описанную окружность (см. Ниже). Его вершины могут лежать на орицикле или гиперцикле .

Гиперболические треугольники обладают некоторыми свойствами, аналогичными свойствам треугольников в сферической или эллиптической геометрии :

• Два треугольника с одинаковой суммой углов равны по площади.
• Есть верхняя граница площади треугольников.
• Имеется верхняя граница радиуса вписанной окружности .
• Два треугольника конгруэнтны тогда и только тогда, когда они соответствуют конечному произведению линейных отражений.
• Два треугольника с соответствующими углами равны конгруэнтны (т. Е. Все подобные треугольники конгруэнтны).

Гиперболические треугольники обладают некоторыми свойствами, противоположными свойствам треугольников в сферической или эллиптической геометрии:

• Сумма углов треугольника меньше 180 °.
• Площадь треугольника пропорциональна дефициту его суммы углов от 180 °.

Гиперболические треугольники также обладают некоторыми свойствами, которых нет в других геометриях:

• Некоторые гиперболические треугольники не имеют описанной окружности , это тот случай, когда хотя бы одна из его вершин является идеальной точкой или когда все его вершины лежат на орицикле или одностороннем гиперцикле .
• Гиперболические треугольники тонкие , максимальное расстояние δ от точки на ребре до одного из двух других ребер. Этот принцип дал начало δ-гиперболическому пространству .

Треугольники с идеальными вершинами

Определение треугольника можно обобщить, разрешив вершины на идеальной границе плоскости, сохраняя стороны внутри плоскости. Если пара сторон является предельной параллелью (то есть расстояние между ними приближается к нулю, поскольку они стремятся к идеальной точке , но не пересекаются), то они заканчиваются в идеальной вершине, представленной как точка омега .

Можно также сказать, что такая пара сторон образует нулевой угол .

Треугольник с нулевым углом невозможен в евклидовой геометрии для прямых сторон, лежащих на различных прямых. Однако такие нулевые углы возможны с касательными окружностями .

Треугольник с одной идеальной вершиной называется омега-треугольником .

Особые треугольники с идеальными вершинами:

Треугольник параллельности

Треугольник, в котором одна вершина - идеальная точка, один угол - прямой: третий угол - это угол параллельности длины стороны между прямым и третьим углом.

Швейкартский треугольник

Треугольник, в котором две вершины - идеальные точки, а оставшийся угол - прямой , - один из первых гиперболических треугольников (1818 г.), описанных Фердинандом Карлом Швейкартом .

Идеальный треугольник

Треугольник, все вершины которого являются идеальными точками, идеальный треугольник - это самый большой из возможных треугольников в гиперболической геометрии из-за нулевой суммы углов.

Стандартизированная гауссова кривизна

Отношения между углами и сторонами аналогичны отношениям сферической тригонометрии ; масштаб длины как для сферической геометрии, так и для гиперболической геометрии может быть определен, например, как длина стороны равностороннего треугольника с фиксированными углами.

Шкала длины наиболее удобна, если длины измеряются в единицах абсолютной длины (особая единица измерения длины, аналогичная соотношению расстояний в сферической геометрии ). Такой выбор этой шкалы длины упрощает формулы.

В рамках модели полуплоскости Пуанкаре абсолютная длина соответствует бесконечно малой метрике, а в модели диска Пуанкаре - . ${\ displaystyle ds = {\ frac {| dz |} {\ operatorname {Im} (z)}}}$${\ displaystyle ds = {\ frac {2 | dz |} {1- | z | ^ {2}}}}$

В терминах (постоянной и отрицательной) гауссовой кривизны K гиперболической плоскости единица абсолютной длины соответствует длине

${\ displaystyle R = {\ frac {1} {\ sqrt {-K}}}}$ .

В гиперболическом треугольнике сумма углов A , B , C (соответственно противоположных стороне с соответствующей буквой) строго меньше прямого угла . Разница между мерой прямого угла и суммой размеров углов треугольника называется дефектом треугольника. Площадь гиперболического треугольника равна его дефект , умноженной на квадрат из  R :

${\ displaystyle (\ pi -ABC) R ^ {2} {} {} \!}$ .

Эта теорема, впервые доказанная Иоганном Генрихом Ламбертом , связана с теоремой Жирара в сферической геометрии.

Тригонометрия

Во всех формулах, приведенных ниже, стороны a , b и c должны быть измерены в абсолютной длине , единице так, чтобы гауссова кривизна K плоскости была равна -1. Другими словами, величина R в предыдущем абзаце должна быть равна 1.

Тригонометрические формулы для гиперболических треугольников зависят от гиперболических функций sh, ch и tanh.

Тригонометрия прямоугольных треугольников

Если C - прямой угол, то:

• Синус угла А является гиперболический синус стороны , противоположной от угла , деленной на синус гиперболический на гипотенузе .

${\ displaystyle \ sin A = {\ frac {\ textrm {sinh (напротив)}} {\ textrm {sinh (гипотенуза)}}} = {\ frac {\ sinh a} {\, \ sinh c \,}} . \,}$

• Косинус угла А является гиперболическим тангенсом смежной ноги , разделенной на гиперболическом тангенсе гипотенузы.

${\ displaystyle \ cos A = {\ frac {\ textrm {tanh (смежный)}} {\ textrm {tanh (гипотенуза)}}} = {\ frac {\ tanh b} {\, \ tanh c \,}} . \,}$

• Касательное угла А является гиперболическим тангенсом противоположной ноги , разделенной на гиперболическом синусе смежной ноги.

${\ displaystyle \ tan A = {\ frac {\ textrm {tanh (напротив)}} {\ textrm {sinh (смежный)}}} = {\ frac {\ tanh a} {\, \ sinh b \,}} }$ .

• Гиперболический косинус прилегающей к ноге угла А является косинус угла B , деленной на синус угла А.

${\ displaystyle {\ textrm {cosh (смежный)}} = {\ frac {\ cos B} {\ sin A}}}$ .

• Гиперболический косинус гипотенузы является продуктом из гиперболических косинусов ног.

${\ displaystyle {\ textrm {cosh (гипотенуза)}} = {\ textrm {cosh (смежный)}} {\ textrm {cosh (напротив)}}}$ .

• Гиперболический косинус гипотенузы также является произведением косинусов углов , деленное на произведение их синусов .

${\ displaystyle {\ textrm {cosh (гипотенуза)}} = {\ frac {\ cos A \ cos B} {\ sin A \ sin B}} = \ cot A \ cot B}$

Отношения между углами

У нас также есть следующие уравнения:

${\ Displaystyle \ соз А = \ сп а \ грех В}$

${\ displaystyle \ sin A = {\ frac {\ cos B} {\ cosh b}}}$

${\ displaystyle \ tan A = {\ frac {\ cot B} {\ cosh c}}}$

${\ Displaystyle \ соз В = \ сш б \ грех А}$

${\ Displaystyle \ сш с = \ детская кроватка А \ детская кроватка В}$

Область

Площадь прямоугольного треугольника составляет:

${\ displaystyle {\ textrm {Area}} = {\ frac {\ pi} {2}} - \ angle A- \ angle B}$

также

${\ displaystyle {\ textrm {Area}} = 2 \ arctan (\ tanh ({\ frac {a} {2}}) \ tanh ({\ frac {b} {2}}))}$

Угол параллельности

Пример омега-треугольника с прямым углом обеспечивает конфигурацию для проверки угла параллельности в треугольнике.

В этом случае угол B = 0, a = c = и , в результате . ${\ displaystyle \ infty}$${\ Displaystyle {\ textrm {tanh}} (\ infty) = 1}$${\ displaystyle \ cos A = {\ textrm {tanh (смежный)}}}$

Равносторонний треугольник

В тригонометрических формулах правильных треугольников также дают отношения между сторонами s и углами А в качестве равностороннего треугольника (треугольник , где все стороны имеют одинаковую длину и все углы равны).

Отношения бывают:

${\ displaystyle \ cos A = {\ frac {{\ textrm {tanh}} ({\ frac {1} {2}} s)} {{\ textrm {tanh}} (s)}}}$

${\ displaystyle \ cosh ({\ frac {1} {2}} s) = {\ frac {\ cos ({\ frac {1} {2}} A)} {\ sin (A)}} = {\ гидроразрыв {1} {2 \ sin ({\ frac {1} {2}} A)}}}$

Общая тригонометрия

Независимо от того, является ли C прямым углом или нет, выполняются следующие соотношения: гиперболический закон косинусов выглядит следующим образом:

${\ Displaystyle \ сш с = \ сш а \ сш б- \ зп а \ зп б \ соз С,}$

Его двойственная теорема является

${\ Displaystyle \ соз С = - \ соз А \ соз В + \ грех А \ грех В \ сч с,}$

Также существует закон синусов :

${\ displaystyle {\ frac {\ sin A} {\ sinh a}} = {\ frac {\ sin B} {\ sinh b}} = {\ frac {\ sin C} {\ sinh c}},}$

и формула из четырех частей:

${\ Displaystyle \ соз С \ сп а = \ зп а \ ко Ь- \ грех С \ кроватка В}$

который выводится так же, как и аналогичная формула в сферической тригонометрии .

Смотрите также

• Пара штанов (математика)
• Группа треугольников

Для гиперболической тригонометрии:

• Гиперболический закон косинусов
• Гиперболический закон синусов
• Четырехугольник Ламберта
• Четырехугольник Саккери

использованная литература

дальнейшее чтение

• Светлана Каток (1992) Fuchsian Groups , University of Chicago Press ISBN   0-226-42583-5